Mostrar código-fonte de Autovetor generalizado

Em [[álgebra linear]], um '''autovetor generalizado''' ({{lang-en|''generalized eigenvector''}}) de uma [[Matriz (matemática)|matriz]] quadrada <math>A</math> de ordem ''n'' é um [[Vetor (matemática)|vetor]] de ordem ''n'' que satisfaz certos critérios que são mais fracos que aqueles de um [[Autovalores e autovetores|autovetor]] ordinário.<ref name="Bronson 1970 189">{{harvtxt|Bronson|1970|p=189}}</ref>

Seja <math>V</math> um [[espaço vetorial]] ''n''-dimensional; seja <math>\phi</math> uma [[transformação linear]] em {{math|''L''(''V'')}}, o conjunto de todas as transformações lineares de <math>V</math> sobre si mesmo; e seja <math>A</math> a representação matricial de <math>\phi</math> em relação a alguma [[Base (álgebra linear)|base]] ordenada.

Pode não haver sempre um conjunto completo de ''n'' autovetores [[Independência linear|linearmente independentes]] de <math>A</math> que formam uma base completa de <math>V</math>. Isto é, a matriz <math>A</math> pode não ser [[Matriz diagonalizável|diagonalizável]].<ref name="Beauregard 1973 310">{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=310}}</ref><ref name="Nering 1970 118">{{harvtxt|Nering|1970|p=118}}</ref> Isto ocorre quando a [[Autovalores e autovetores#Multiplicidade|multiplicidade algébrica]] de pelo menos um [[autovalor]] <math>\lambda_i</math> é maior que sua [[multiplicidade geométrica]] (a [[Núcleo (álgebra linear)|nulidade]] da matriz <math>(A-\lambda_i I)</math>, ou a dimensão de seu [[Núcleo (álgebra linear)|espaço nulo]]). Neste caso, <math>\lambda_i</math> é denominado um [[Matriz defectiva|autovalor defectivo]] e <math>A</math> é denominada uma [[matriz defectiva]].<ref name="Golub 1996 316">{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=316}}</ref>

Um  autovetor generalizado <math>x_i</math> correspondendo a <math>\lambda_i</math>, juntamente com a matriz <math>(A-\lambda_i I)</math>, gera uma cadeia de Jordan de autovetores generalizados linearmente independentes que formam uma base para um [[subespaço invariante]] de <math>V</math>.<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=319}}</ref><ref name="Bronson 1970 194–195">{{harvtxt|Bronson|1970|pp=194–195}}</ref><ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=311}}</ref>

Usando autovetores generalizados, um conjunto de autovetores linearmente independentes de <math>A</math> pode ser estendido para uma base completa para <math>V</math>.<ref name="Bronson 1970 196">{{harvtxt|Bronson|1970|p=196}}</ref> Esta base pode ser usada para determinar uma ''matriz quasi-diagonal'' <math>J</math> em [[forma canônica de Jordan]], [[Matrizes semelhantes|semelhante]] a <math>A</math>, que é de uso prático no cálculo de certas [[Função matricial|funções matriciais]] de <math>A</math>.<ref name="Bronson 1970 189"/> A matriz <math>J</math> é também útil na solução de sistemas de [[Equação diferencial ordinária|equações diferenciais ordinárias]] <math>\mathbf x' = A \mathbf x,</math> onde <math>A</math> não precisa ser diagonalizável.<ref name="Nering 1970 118"/><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=316–318}}</ref>

==Visão geral e definição==
Existem diversas formas equivalentes de definir um '''autovetor ordinário'''.<ref>{{harvtxt|Anton|1987|pp=301–302}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=266}}</ref><ref name="Burden 1993 401">{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=401}}</ref><ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|pp=310–311}}</ref><ref>{{harvtxt|Harper|1976|p=58}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=225}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=273,684}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=104}}</ref> Para nossos propósito aqui, um autovetor<math>\mathbf u</math> associado com um autovalor <math>\lambda</math> de uma matriz <math>A</math> de ordem <math>n</math> × <math>n</math> é um vetor não nulo para o qual <math>(A - \lambda I) \mathbf u = \mathbf 0</math>, sendo <math>I</math> a [[matriz identidade]] <math>n</math> × <math>n</math> e <math>\mathbf 0</math> o [[Vector nulo|vetor nulo]] de ordem <math>n</math>.<ref name="Burden 1993 401"/>  Isto é, <math>\mathbf u</math> é o [[Núcleo (álgebra linear)|núcleo]] da [[transformação linear]] <math>(A - \lambda I)</math>. Se <math>A</math> tem <math>n</math> autovetores linearmente independentes, então <math>A</math> é similar a uma matriz diagonal <math>D</math>. Isto é, existe uma [[matriz inversível]] <math>M</math> tal que <math>A</math> é diagonalizável através da transformação similar <math>D = M^{-1}AM</math>.<ref name="Beauregard 1973 270–274">{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=270–274}}</ref><ref name="Bronson 1970 179–183">{{harvtxt|Bronson|1970|pp=179–183}}</ref>  A matriz <math>D</math> é denominada [[matriz espectral]] de <math>A</math>. A matriz <math>M</math> é denominada [[matriz modal]] de <math>A</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=181}}</ref> Matrizes diagonalizáveis são de particular interesse, por funções matriciais poderem ser facilmente computadas.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=179}}</ref>

De outro modo, se <math>A</math> não tem <math>n</math> autovetores linearmente independentes associados, então <math>A</math> não é diagonalizável.<ref name="Beauregard 1973 270–274"/><ref name="Bronson 1970 179–183"/>

'''Definição:'''  Um vetor <math>\mathbf x_m</math> é um '''autovetor generalizado de grau ''m''''' da matriz <math>A</math> e correspondente ao autovalor <math>\lambda</math> se

:<math>(A - \lambda I)^m \mathbf x_m = \mathbf 0</math>
mas

:<math>(A - \lambda I)^{m-1} \mathbf x_m \ne \mathbf 0.</math> <ref name="Bronson 1970 189"/>

Claramente, um autovetor generalizado de grau 1 é um autovetor ordinário.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=190,202}}</ref> Toda matriz <math>A</math> <math>n</math> × <math>n</math> tem <math>n</math> autovetores generalizados linearmente independentes associados a ela e pode ser mostrado ser similar a uma matriz "quase diagonal" <math>J</math> na forma normal de Jordan.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=189,203}}</ref> Isto é, existe uma matriz inversível <math>M</math> tal que <math>J = M^{-1}AM</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=206–207}}</ref> A matriz <math>M</math> neste caso é denominada uma [[matriz modal generalizada]] de <math>A</math>.<ref name="Não-nomeado-xYrT-1">{{harvtxt|Bronson|1970|p=205}}</ref> Se <math>\lambda</math> é um autovalor de multiplicidade algébrica <math>\mu</math>, então <math>A</math> terá <math>\mu</math> autovetores generalizados linearmente independentes correspondendo a <math>\lambda</math>.<ref name="Bronson 1970 196"/> Este resultado, por sua vez, fornece um método direto para o cálculo de funções matriciais de <math>A</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=189,209–215}}</ref>

{{anchor|Note}}Nota: Para uma matriz <math>A</math> de ordem <math>n \times n</math> sobre um [[Corpo (matemática)|corpo]] <math>F</math> poder ser expressa na forma normal de Jordan, todos os autovalores de <math>A</math> devem estar em <math>F</math>. Isto é, o [[polinômio característico]] <math>f(x)</math> deve ser fatorado completamente em fatores lineares. Por exemplo, se <math>A</math> tem elementos pertencentes ao conjunto dos [[Número real|números reais]], então pode ser necessário que os autovalores e as componentes dos autovetores tenham [[Número complexo|valores complexos]].<ref name="Nering 1970 118"/><ref name="Golub 1996 316"/><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=259}}</ref>

O conjunto [[Espaço vectorial gerado|gerado]] por todos os autovetores generalizados para um dado <math>\lambda</math> forma o '''autoespaço generalizado''' para  <math>\lambda</math>.<ref name="Nering 1970 118"/>

==Exemplos==
Aqui estão alguns exemplos para ilustrar o conceito de autovetores generalizados. Alguns dos detalhes são descritos depois.

===Exemplo 1===
Este exemplo é simples mas ilustra claramente o problema. Este tipo de matriz é usado frequentemente em livros-texto.<ref name="Beauregard 1973 310"/><ref name="Nering 1970 118"/><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=261}}</ref>

Seja
:<math> A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. </math>
Então existe apenas um autovalor, <math> \lambda = 1</math>, sendo sua multiplicidade algébrica ''m'' = 2.

Note que esta matriz está na forma normal de Jordan, mas não é [[Matriz diagonal|diagonal]]. Portanto, esta matriz não é diagonalizável. Como há uma [[superdiagonal]], existe um autovetor generalizado de ordem maior que 1 (ou pode-se notar que o espaço vetorial <math> V </math> é de dimensão 2, devendo assim existir no mínimo um autovetor generalizado de grau maior que 1). Alternativamente, pode ser computada a dimensão do [[Núcleo (álgebra linear)|núcleo]] (espaço nulo) de <math> A - \lambda I </math> como sendo ''p'' = 1, e assim existem ''m'' – ''p'' = 1 autovetores generalizados de grau maior que 1.

O autovetor ordinário <math>\mathbf v_1=\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}</math> é computado da forma usual. Usando este autovetor é computado o autovetor generalizado <math> \mathbf v_2 </math> resolvendo

:<math> (A-\lambda I) \mathbf v_2 = \mathbf v_1. </math>

Explicitando os valores:
:<math> \left(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}.</math>
Isto se simplifica como

:<math> v_{22}= 1. </math>

O elemento <math>v_{21}</math> não tem restrições. O autovetor generalizado de grau 2 é então <math> \mathbf v_2=\begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix}</math>, onde ''a'' pode assumir qualquer valor escalar. A escolha ''a'' = 0 é usualmente a mais simples.

Note que

:<math> (A-\lambda I) \mathbf v_2 =  \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf v_1,</math>

tal que <math> \mathbf v_2 </math> é um autovetor generalizado,

:<math> (A-\lambda I) \mathbf v_1 =  \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf 0,</math>

tal que <math> \mathbf v_1 </math> é um autovetor ordinário, e que <math> \mathbf v_1</math> e <math> \mathbf v_2</math> são linearmente independentes e constituem assim uma base para o espaço vetorial <math> V </math>.

===Exemplo 2===
Este exemplo é mais elaborado que o [[Autovetor generalizado#Exemplo 1|Exemplo 1]]. Infelizmente é dificultoso elaborar um exemplo interessante de baixa ordem.<ref>{{harvtxt|Nering|1970|pp=122,123}}</ref>
A matriz

:<math>A = \begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 2 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 2
\end{pmatrix}</math>

tem ''autovalores'' <math> \lambda_1 = 1 </math> e <math> \lambda_2 = 2 </math> com ''multiplicidades algébricas'' <math> \mu_1 = 2 </math> e <math> \mu_2 = 3 </math>, mas ''multiplicidades geométricas'' <math> \gamma_1 = 1 </math> e <math> \gamma_2 = 1</math>.

Os ''autoespaços generalizados'' de <math>A</math> são calculados abaixo.
<math> \mathbf x_1 </math> é o autovetor ordinário associado com <math> \lambda_1 </math>.
<math> \mathbf x_2 </math> é um autovetor generalizado associado com <math> \lambda_1 </math>.
<math> \mathbf y_1 </math> é o autovetor ordinário associado com <math> \lambda_2 </math>.
<math> \mathbf y_2 </math> e <math> \mathbf y_3 </math> são autovetores generalizados associados com <math> \lambda_2 </math>.

:<math>(A-1 I) \mathbf x_1
 = \begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} = \mathbf 0 ,</math>

:<math>(A - 1 I) \mathbf x_2
 = \begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3
\end{pmatrix} = \mathbf x_1 ,</math>

:<math>(A - 2 I) \mathbf y_1
 = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} = \mathbf 0 ,</math>

:<math>(A - 2 I) \mathbf y_2 = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9
\end{pmatrix} = \mathbf y_1 ,</math>

:<math>(A - 2 I) \mathbf y_3 = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0
\end{pmatrix} = \mathbf y_2 .</math>

Isto resulta em uma base para cada um dos ''autoespaços generalizados'' de <math>A</math>. Juntamente as duas ''cadeias'' de autovetores generalizados cobrem o espaço de todo os vetores colunas 5-dimensionais.

:<math>
\left\{ \mathbf x_1, \mathbf x_2 \right\} =
\left\{
\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45 \end{pmatrix} 
\right\},
\left\{ \mathbf y_1, \mathbf y_2, \mathbf y_3 \right\} =
\left\{ 
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}
\right\}.
</math>

Uma matriz "quasi-diagonal" <math>J</math> na ''forma normal de Jordan'', similar a <math>A</math> é obtida como segue:

:<math>
M =
\begin{pmatrix} \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf y_1 & \mathbf y_2 & \mathbf y_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 &  1 & 0 &0& 0 \\
3 &  -15 & 0 &0& 0 \\
-9 &  30 & 0 &0& 1 \\
9 &  -1 & 0 &3& -2 \\
-3 &  -45 & 9 &0& 0
\end{pmatrix},</math>
:<math>J = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix},
</math>

onde <math>M</math> é uma [[matriz modal generalizada]] para <math>A</math>, as colunas de <math>M</math> são uma [[base canônica]] para <math>A</math>, e <math>AM = MJ</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=189–209}}</ref>

==Cadeias de Jordan==
'''Definição:''' Seja <math>\mathbf x_m</math> um autovetor generalizado de grau ''m'' correspondente à matriz <math>A</math> e o autovalor <math>\lambda</math>. A '''cadeia gerada por''' <math>\mathbf x_m</math> é um conjunto de vetores <math>\left\{ \mathbf x_m, \mathbf x_{m-1}, \dots , \mathbf x_1 \right\}</math> dado por

:{{NumBlk|:|
<math> \mathbf x_{m-1} = (A - \lambda I) \mathbf x_m, </math><br>
<math> \mathbf x_{m-2} = (A - \lambda I)^2 \mathbf x_m = (A - \lambda I) \mathbf x_{m-1}, </math><br>
<math> \mathbf x_{m-3} = (A - \lambda I)^3 \mathbf x_m = (A - \lambda I) \mathbf x_{m-2}, </math><br>
::<math> \vdots </math>
<math> \mathbf x_1 = (A - \lambda I)^{m-1} \mathbf x_m = (A - \lambda I) \mathbf x_2. </math>
|{{EquationRef|1}}}}

Assim, em geral

:{{NumBlk|:|<math> \mathbf x_j = (A - \lambda I)^{m-j} \mathbf x_m = (A - \lambda I) \mathbf x_{j+1} \qquad (j = 1, 2, \dots , m - 1). </math>|{{EquationRef|2}}}}

O vetor <math>\mathbf x_j </math>, dado pela Eq. ({{EquationNote|2}}), é um autovetor generalizado de grau ''j'' correspondente ao autovalor <math>\lambda</math>. Uma cadeia e um conjunto linearmente independente de vetores.<ref name="Bronson 1970 194–195"/>

==Base canônica==
{{Artigo principal|Base canônica}}
'''Definição:''' Um conjunto de ''n'' autovetores generalizados linearmente independentes é uma '''base canônica''' se for composto inteiramente de cadeias de Jordan.

Então, uma vez determinado que um autovetor generalizado de [[Posto matricial|posto]] ''m'' é uma base canônica, segue que os ''m''-1 vetores <math> \mathbf x_{m-1}, \mathbf x_{m-2}, \ldots , \mathbf x_1 </math>que estão na cadeia de Jordan, gerados por <math> \mathbf x_m </math>. também estão em base canônica.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=196,197}}</ref>

Dado <math> \lambda_i </math> um autovalor de <math>A</math> de [[Autovalores e autovetores#Multiplicidade algébrica|multiplicidade algébrica]] Primeiro, determine os postos das matrizes <math> (A - \lambda_i I), (A - \lambda_i I)^2, \ldots , (A - \lambda_i I)^{m_i} </math>.  O inteiro <math>m_i</math> é definido como o primeiro inteiro para o qual <math> (A - \lambda_i I)^{m_i} </math> possui posto <math>n - \mu_i </math> (''n'' sendo o número de linhas e colunas de <math>A</math>, isto é, <math>A</math> é ''n'' × ''n'').

Então define-se:

:<math> \rho_k = rank(A - \lambda_i I)^{k-1} - rank(A - \lambda_i I)^k \qquad (k = 1, 2, \ldots , m_i).</math>

A variável <math> \rho_k </math> designa o número de autovetores generalizados linearmente independentes de posto ''k'' correspondendo ao autovalor <math> \lambda_i </math> que aparecerá em uma base canônica de <math>A</math>.  Observa-se que:

:<math> rank(A - \lambda_i I)^0 = rank(I) = n </math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=197,198}}</ref>


==Cálculo de autovetores generalizados==
Nas seções precedentes vimos técnicas para obter ''n'' autovetores generalizados linearmente independentes de uma base canônica para o espaço vetorial <math>V</math> associado com uma matriz ''n'' × ''n'' <math>A</math>. Estas técnicas podem ser combinadas em um procedimento:

:Resolva a [[Polinômio característico|equação característica]] de <math>A</math> para os autovalores <math>\lambda_i</math> e suas multiplicidades algébricas <math>\mu_i</math>;
:Para cada <math>\lambda_i:</math>
::Determine <math>n - \mu_i</math>;
::Determine <math>m_i</math>;
::Determine <math>\rho_k</math> para <math>(k = 1, \ldots , m_i)</math>;
::Determine cada cadeia de Jordan para  <math>\lambda_i</math>.

===Exemplo 3===
A matriz

:<math>
A = 
\begin{pmatrix}
 5 &  1 & -2 &  4 \\
 0 &  5 &  2 &  2 \\
 0 &  0 &  5 &  3 \\
 0 &  0 &  0 &  4
\end{pmatrix}
</math>

tem um autovalor <math>\lambda_1 = 5</math> de multiplicidade algébrica <math>\mu_1 = 3</math> e um autovalor <math>\lambda_2 = 4</math> de multiplicidade algébrica <math>\mu_2 = 1</math>.  Temos ''n'' = 4. Para <math>\lambda_1</math> temos <math>n - \mu_1 = 4 - 3 = 1</math>.

:<math>
(A - 5I) =
\begin{pmatrix}
 0 &  1 & -2 &  4 \\
 0 &  0 &  2 &  2 \\
 0 &  0 &  0 &  3 \\
 0 &  0 &  0 & -1
\end{pmatrix},
\qquad posto(A - 5I) = 3.
</math>
:<math>
(A - 5I)^2 =
\begin{pmatrix}
 0 &  0 &  2 & -8 \\
 0 &  0 &  0 &  4 \\
 0 &  0 &  0 & -3 \\
 0 &  0 &  0 &  1
\end{pmatrix},
\qquad posto(A - 5I)^2 = 2.
</math>
:<math>
(A - 5I)^3 =
\begin{pmatrix}
0 &  0 &  0 & 14 \\
 0 &  0 &  0 & -4 \\
 0 &  0 &  0 &  3 \\
 0 &  0 &  0 & -1
\end{pmatrix},
\qquad posto(A - 5I)^3 = 1.
</math>

O primeiro inteiro <math>m_1</math> para o qual <math>(A - 5I)^{m_1}</math> tem posto <math>n - \mu_1 = 1</math> é <math>m_1 = 3</math>.

Definimos agora

:<math> \rho_3 = posto(A - 5I)^2 - posto(A - 5I)^3 = 2 - 1 = 1 ,</math>
:<math> \rho_2 = posto(A - 5I)^1 - posto(A - 5I)^2 = 3 - 2 = 1 ,</math>
:<math> \rho_1 = posto(A - 5I)^0 - posto(A - 5I)^1 = 4 - 3 = 1 .</math>

Consequentemente, existem três autovetores generalizados linearmente independentes; cada qual de postos 3, 2 a 1. Como <math>\lambda_1</math> corresponde a uma simples cadeia de três autovetores generalizados linearmente independentes, sabemos que existe um autovetor generalizado <math>\mathbf x_3</math> de posto 3 correspondente a <math>\lambda_1</math> tal que

::{{NumBlk|:|<math>(A - 5I)^3 \mathbf x_3 = \mathbf 0</math>|{{EquationRef|3}}}}

mas

::{{NumBlk|:|<math>(A - 5I)^2 \mathbf x_3\neq \mathbf 0 .</math>|{{EquationRef|4}}}}

As equações ({{EquationNote|3}}) e ({{EquationNote|4}}) representam [[Sistema de equações lineares|sistemas lineares]] que podem ser resolvidos para <math>\mathbf x_3</math>. Seja

:<math>
\mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
x_{31} \\
x_{32} \\
x_{33} \\
x_{34}
\end{pmatrix}.
</math>

Então

:<math>
(A - 5I)^3 \mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
 0 &  0 &  0 & 14 \\
 0 &  0 &  0 & -4 \\
 0 &  0 &  0 &  3 \\
 0 &  0 &  0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{31} \\
x_{32} \\
x_{33} \\
x_{34}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
14 x_{34} \\
-4 x_{34} \\
 3 x_{34} \\
-  x_{34}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
 0 \\
 0 \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix}
</math>

e

:<math>
(A - 5I)^2 \mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
 0 &  0 &  2 & -8 \\
 0 &  0 &  0 &  4 \\
 0 &  0 &  0 & -3 \\
 0 &  0 &  0 &  1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{31} \\
x_{32} \\
x_{33} \\
x_{34}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
 2 x_{33} - 8 x_{34} \\
 4 x_{34} \\
-3 x_{34} \\
    x_{34}
\end{pmatrix} \ne 
\begin{pmatrix}
 0 \\
 0 \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix}.
</math>

Assim, a fim de satisfazer as condições ({{EquationNote|3}}) e ({{EquationNote|4}}), devemos ter <math>x_{34} = 0</math> e <math>x_{33} \ne 0</math>. Nenhuma restrição é imposta sobre <math>x_{31}</math> e <math>x_{32}</math>. Escolhendo <math>x_{31} = x_{32} = x_{34} = 0, x_{33} = 1</math>, obtemos

:<math>
\mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
0 \\
 0 \\
 1 \\
 0
\end{pmatrix}
</math>

como um autovetor generalizado de posto 3 correspondente a <math>\lambda_1 = 5</math>. Note que é possível obter infinitos outros autovetores generalizados de posto 3 escolhendo diferentes valores de <math>x_{31}</math>, <math>x_{32}</math> e <math>x_{33}</math>, com <math>x_{33} \ne 0</math>. Nossa primeira escolha, contudo, é a mais simples.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=190–191}}</ref>

Agora usando as equações ({{EquationNote|1}}), obtemos <math>\mathbf x_2</math> e <math>\mathbf x_1</math> como autovetores generalizados de postos 2 e 1 respectivamente,onde

:<math>
\mathbf x_2 = (A - 5I) \mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
-2 \\
 2 \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix},
</math>

e

:<math>
\mathbf x_1 = (A - 5I) \mathbf x_2 = 
\begin{pmatrix}
 2 \\
 0 \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix}.
</math>

O autovalor simples <math>\lambda_2 = 4</math> pode ser tratado usando técnicas padrão e tem um autovetor ordinário

:<math>
\mathbf y_1 = 
\begin{pmatrix}
-14 \\
  4 \\
 -3 \\
  1
\end{pmatrix}.
</math>

Uma base canônica para <math>A</math> é

:<math>
\left\{ \mathbf x_3, \mathbf x_2, \mathbf x_1, \mathbf y_1 \right\} =
\left\{
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -14 \\ 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}
\right\}.
</math>

<math>\mathbf x_1, \mathbf x_2</math> e <math>\mathbf x_3</math> são autovetores generalizados associados com <math>\lambda_1</math>.  
<math>\mathbf y_1</math> é o autovetor ordinário associado com <math>\lambda_2</math>.

Deve ser notado que este é um exemplo simples. Em geral, os números <math>\rho_k</math> de autovetores generalizados linearmente independentes de posto ''k'' não serão sempre iguais. Isto é, pode haver diversas cadeias de comprimentos diferentes correspondentes a um particular autovalor.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=197–198}}</ref>

==Matriz modal generalizada==
Seja <math>A</math> uma matriz ''n'' × ''n''. Uma '''matriz modal generalizada''' <math>M</math> para <math>A</math> é uma matriz ''n'' × ''n'' cujas colunas, consideradas como vetores, forma uma base canônica para <math>A</math> e aparece em <math>M</math> de acordo com as seguintes regras:

*Todas as cadeias de Jordan consistindo de um vetor (isto, um vetor no comprimento) aparece nas primeiras colunas de <math>M</math>.
*Todos os vetores de uma cadeia aparecem juntos em colunas adjacentes de <math>M</math>.
*Cada cadeia aparece em <math>M</math> na ordem de posto crescente (isto é, o autovetor generalizado de posto 1 aparece antes do autovetor generalizado de posto 2 da mesma cadeia, que aparece antes do autovetor generalizado de posto 3 da mesma cadeia, etc.).<ref name="Não-nomeado-xYrT-1"/>

==Forma canônica de Jordan==
[[Imagem:Jordan blocks.svg|direita|miniatura|250px|Um exemplo de uma matriz na forma canônica de Jordan. Os blocos cinza são chamados de blocos de Jordan.]]
{{Main|Forma canônica de Jordan}}
Seja <math>V</math> um espaço vetorial ''n''-dimensional; seja <math>\phi</math> um mapeamento linear em {{math|''L''(''V'')}}, o conjunto de todos os mapeamentos lineares de <math>V</math> nele mesmo; e seja <math>A</math> a representação matricial de <math>\phi</math> em relação a alguma base ordenada. Pode ser mostrado que se o [[polinômio característico]] <math>f(\lambda)</math> de <math>A</math> é fatorado em fatores lineares, tal que <math>f(\lambda)</math> tem a forma

:<math> f(\lambda) = \pm (\lambda - \lambda_1)^{\mu_1}(\lambda - \lambda_2)^{\mu_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{\mu_r} ,</math>

onde <math> \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_r </math> são os distintos autovalores de <math>A</math>, então cada <math>\mu_i</math> é a multiplicidade algébrica de seu correspondente autovalor <math>\lambda_i</math> e <math>A</math> é similar a uma matriz <math>J</math> na '''forma canônica de Jordan''', onde cada <math>\lambda_i</math> aparece <math>\mu_i</math> vezes consecutivas na diagonal principal, e cada componente acima de cada <math>\lambda_i</math> (isto é, na [[superdiagonal]]) tem valor 0 ou 1; o elemento acima da primeira ocorrência de cada <math>\lambda_i</math> é sempre 0. Todos os outros elementos são zero. Se <math>A</math> é diagonalizável, então todos os elementos acima da diagonal são zero.<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=311}}</ref> Note que alguns livros-texto tem os uns na [[subdiagonal]], isto é, imediatamente abaixo da diagonal principal ao invés de na superdiagonal. Os autovalores estão ainda na diagonal principal.<ref>{{harvtxt|Cullen|1966|p=114}}</ref><ref>{{harvtxt|Franklin|1968|p=122}}</ref>

Toda matriz ''n'' × ''n'' <math>A</math> é similar a uma matriz <math>J</math> na forma canônica de Jordan, obtida através da transformação similar <math>J = M^{-1}AM</math>, onde <math>M</math> é uma matriz modal generalizada para <math>A</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=207}}</ref> (ver [[#Note|Nota]] acima.)

===Exemplo 4===
Determinar a matriz na forma canônica de Jordan que é similar a

:<math>
A = 
\begin{pmatrix}
 0 &  4 &  2 \\
-3 &  8 &  3 \\
 4 & -8 & -2
\end{pmatrix}.
</math>

'''Solução:''' A equação característica de <math>A</math> é <math>(\lambda - 2)^3 = 0</math>, e então <math>\lambda = 2</math> é um autovalor de multiplicidade algébrica três. Seguindo o procedimento das seções precedentes temos

:<math>posto(A - 2I) = 1</math>

e

:<math>posto(A - 2I)^2 = 0 = n - \mu .</math>

Assim, <math>\rho_2 = 1</math> e <math>\rho_1 = 2</math>, que implica que a base canônica para <math>A</math> contém um autovetor generalizado linearmente independente de posto 2 e dois autovetores generalizados linearmente independentes de posto 1, ou equivalentemente, uma cadeia de dois vetores <math>\left\{\mathbf x_2, \mathbf x_1 \right\}</math> e uma cadeia de um vetor <math>\left\{ \mathbf y_1 \right\}</math>. Designando <math>M = \begin{pmatrix} \mathbf y_1 & \mathbf x_1 & \mathbf x_2 \end{pmatrix}</math>, temos

:<math>
M = 
\begin{pmatrix}
 2 &  2 &  0 \\
 1 &  3 &  0 \\
 0 & -4 &  1
\end{pmatrix},
</math>

e

:<math>
J = 
\begin{pmatrix}
 2 &  0 &  0 \\
 0 &  2 &  1 \\
 0 &  0 &  2
\end{pmatrix},
</math>

onde <math>M</math> é uma matriz modal generalizada para <math>A</math>, as colunas de <math>M</math> são uma base canônica para <math>A</math>, e <math>AM = MJ</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=208}}</ref> Note que desde que autovetores generalizados não são únicos, e desde que algumas das colunas de ambos <math>M</math> e <math>J</math> podem ser intercambiadas, segue que ambos <math>M</math> e <math>J</math> não são únicos.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=206}}</ref>

===Exemplo 5===
No [[Autovetor generalizado#Exemplo 3|Exemplo 3]] encontramos uma base canônica de autovetores generalizados linearmente independentes para uma matriz <math>A</math>. Uma matriz modal generalizada para <math>A</math> é

:<math>
M =
\begin{pmatrix} \mathbf y_1 & \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-14 &   2 &  -2 &   0 \\
   4 &   0 &   2 &   0 \\
  -3 &   0 &   0 &   1 \\
   1 &   0 &   0 &   0
\end{pmatrix}.</math>

Uma matriz na forma canônica de Jordan, similar a <math>A</math> é

:<math>J = \begin{pmatrix}
 4 &  0 &  0 &  0 \\
 0 &  5 &  1 &  0 \\
 0 &  0 &  5 &  1 \\
 0 &  0 &  0 &  5
\end{pmatrix},
</math>

tal que <math>AM = MJ</math>.

==Aplicações==
===Funções matriciais===
{{Main|Função matricial}}
Três das mais fundamentais operações que podem ser aplicadas sobre [[Matriz (matemática)#Matriz quadrada|matrizes quadradas]] são adição, multiplicação por um escalar e multiplicação de matrizes.<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=57–61}}</ref> Estas são exatamente as operações necessárias para definir uma [[função polinomial]] de uma matriz ''n'' × ''n'' <math>A</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=104}}</ref> Relembrando do [[cálculo]] básico que muitas funções podem ser expressas em uma [[série de Taylor]], podemos definir de forma mais geral funções matriciais de forma mais simples.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=105}}</ref> Se <math>A</math> é diagonalizável, isto é

:<math> D = M^{-1}AM ,</math>

com

:<math>
D = 
\begin{pmatrix}
 \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
     0 &  \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots &     \vdots & \ddots & \vdots \\
     0 &          0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix},
</math>

então

:<math>
D^k = 
\begin{pmatrix}
 \lambda_1^k &           0 & \cdots & 0 \\
           0 & \lambda_2^k & \cdots & 0 \\
      \vdots &      \vdots & \ddots & \vdots \\
           0 &           0 & \cdots & \lambda_n^k
\end{pmatrix}
</math>

e a determinação da série de Taylor para funções de <math>A</math> é significativamente simplificada.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=184}}</ref> Por exemplo, para obter qualquer potência ''k'' de <math>A</math>, basta calcular <math>D^k</math>, premultiplicar <math>D^k</math> por <math>M</math>, e posmultiplicar o resultado por <math>M^{-1}</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=185}}</ref>

Usandoautovetores generalizados podemos obter a forma canônica de Jordan para <math>A</math> e estes resultados podem ser generalizados para um método direto para determinação de funções de matrizes não diagonalisáveis.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=209–218}}</ref>

===Equações diferenciais===
{{Main|Equação diferencial ordinária}}
Considere o problema de resolver o [[sistema linear]] de equações diferencias ordinárias

:{{NumBlk|:|<math> \mathbf x' = A \mathbf x ,</math>|{{EquationRef|5}}}}

onde

:<math>
\mathbf x = 
\begin{pmatrix}
x_1(t) \\
x_2(t) \\
\vdots \\
x_n(t)
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf x' = 
\begin{pmatrix}
x_1'(t) \\
x_2'(t) \\
\vdots \\
x_n'(t)
\end{pmatrix},
</math> {{spaces|4}} e {{spaces|4}} <math> A = (a_{ij}) .</math>

Se a matriz <math>A</math> é uma matriz diagonal tal que <math>a_{ij} = 0</math> para <math>i \ne j</math>, então o sistema ({{EquationNote|5}}) reduz-se a um sistema de ''n'' equações na forma

:{{NumBlk|:|
<math> x_1' = a_{11} x_1 </math><br>
<math> x_2' = a_{22} x_2 </math><br>
:<math> \vdots </math>
<math> x_n' = a_{nn} x_n .</math>
|{{EquationRef|6}}}}

Neste caso, a solução geral é dada por

:<math> x_1 = k_1 e^{a_{11}t} </math>
:<math> x_2 = k_2 e^{a_{22}t} </math>
::<math> \vdots </math>
:<math> x_n = k_n e^{a_{nn}t} .</math>

No caso geral, tenta-se diagonalizar <math>A</math> e reduzir ({{EquationNote|5}}) para um sistema ({{EquationNote|6}}) como a seguir. Se <math>A</math> é [[Matriz diagonalizável|diagonalizável]], então tem-se que <math> D = M^{-1}AM </math>, onde <math>M</math> é a matriz modal de <math>A</math>.  Substituindo a equação <math> A = MDM^{-1} </math>, ({{EquationNote|5}}) toma a forma <math> M^{-1} \mathbf x' = D(M^{-1} \mathbf x) </math>, ou

:{{NumBlk|:|<math> \mathbf y' = D \mathbf y ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

onde

:{{NumBlk|:|<math> \mathbf x = M \mathbf y .</math>|{{EquationRef|8}}}}

A solução de ({{EquationNote|7}}) é dada por

:<math> y_1 = k_1 e^{\lambda_1 t} </math>
:<math> y_2 = k_2 e^{\lambda_2 t} </math>
::<math> \vdots </math>
:<math> y_n = k_n e^{\lambda_n t} .</math>

A solução <math> \mathbf x </math> de ({{EquationNote|5}}) é obtida usando a relação ({{EquationNote|8}}).<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=274–275}}</ref>

Por outro lado, se <math>A</math> não é diagonalizável, escolhe-se para <math>M</math> uma matriz modal generalizada de <math>A</math>, tal que <math> J = M^{-1}AM </math> é a [[forma canônica de Jordan]] normal of <math>A</math>.  O sistema <math> \mathbf y' = J \mathbf y </math> possui a forma

:{{NumBlk|:|
<math>
\begin{align}
y_1' & = \lambda_1 y_1 + \epsilon_1 y_2 \\
& \vdots \\
y_{n-1}' & = \lambda_{n-1} y_{n-1} + \epsilon_{n-1} y_n \\
y_n' & = \lambda_n y_n ,
\end{align}
</math>
|{{EquationRef|9}}}}

onde  <math> \lambda_i </math> são os autovalores da diagonal principal de <math>J</math> e <math> \epsilon_i </math> são os uns e zeros da superdiagonal de <math>J</math>.  O sistema ({{EquationNote|9}}) normalmente é de resolução mais fácil que ({{EquationNote|5}}).  Podemos então solucionar ({{EquationNote|9}}) para <math>y_n</math>, obtendo <math>y_n = k_n e^{\lambda_n t} </math>.  Substituímos então essa solução por <math>y_n</math> na penúltima equação em ({{EquationNote|9}}) e resolvemos para <math>y_{n-1}</math>.  Continuando dessa forma resolvemos ({{EquationNote|9}}) da última para a primeira equação, resolvendo o sistema inteiro para <math> \mathbf y </math>.  A solução <math> \mathbf x </math> é obtida então usando ({{EquationNote|8}}).<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=317}}</ref>

{{Referências|col=2}}

==Bibliografia==
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  | último = Axler
  | primeiro = Sheldon
  | titulo = Linear Algebra Done Right
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*{{ citation | primeiro1 = Raymond A. | último1 = Beauregard | primeiro2 = John B. | último2 = Fraleigh | ano = 1973 | isbn = 0-395-14017-X | titulo = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields | publicado = [[Houghton Mifflin Co.]] | local = Boston }}
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*{{ citation | primeiro1 = Evar D. | último1 = Nering | ano = 1970 | titulo = Linear Algebra and Matrix Theory | edição = 2nd | publicado = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | local = New York | lccn = 76091646 }}


{{Álgebra linear}}
{{Áreas da matemática}}

[[Categoria:Álgebra linear]]
[[Categoria:Teoria matricial]]