Autovetor generalizado

Em álgebra linear, um autovetor generalizado (Predefinição:Lang-en) de uma matriz quadrada $A$ de ordem n é um vetor de ordem n que satisfaz certos critérios que são mais fracos que aqueles de um autovetor ordinário.

Seja $V$ um espaço vetorial n-dimensional; seja $\varphi$ uma transformação linear em Predefinição:Math, o conjunto de todas as transformações lineares de $V$ sobre si mesmo; e seja $A$ a representação matricial de $\varphi$ em relação a alguma base ordenada.

Pode não haver sempre um conjunto completo de n autovetores linearmente independentes de $A$ que formam uma base completa de $V$. Isto é, a matriz $A$ pode não ser diagonalizável. Isto ocorre quando a multiplicidade algébrica de pelo menos um autovalor ${\lambda }_i$ é maior que sua multiplicidade geométrica (a nulidade da matriz $(A-{\lambda }_{i}I)$, ou a dimensão de seu espaço nulo). Neste caso, ${\lambda }_i$ é denominado um autovalor defectivo e $A$ é denominada uma matriz defectiva.

Um autovetor generalizado $x_i$ correspondendo a ${\lambda }_i$, juntamente com a matriz $(A-{\lambda }_{i}I)$, gera uma cadeia de Jordan de autovetores generalizados linearmente independentes que formam uma base para um subespaço invariante de $V$.

Usando autovetores generalizados, um conjunto de autovetores linearmente independentes de $A$ pode ser estendido para uma base completa para $V$. Esta base pode ser usada para determinar uma matriz quasi-diagonal $J$ em forma canônica de Jordan, semelhante a $A$, que é de uso prático no cálculo de certas funções matriciais de $A$. A matriz $J$ é também útil na solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias ${𝐱}^{\prime }=A𝐱,$ onde $A$ não precisa ser diagonalizável.

Visão geral e definição

Existem diversas formas equivalentes de definir um autovetor ordinário. Para nossos propósito aqui, um autovetor$𝐮$ associado com um autovalor $\lambda$ de uma matriz $A$ de ordem $n$ × $n$ é um vetor não nulo para o qual $(A-\lambda I)𝐮=\mathrm{𝟎}$, sendo $I$ a matriz identidade $n$ × $n$ e $\mathrm{𝟎}$ o vetor nulo de ordem $n$. Isto é, $𝐮$ é o núcleo da transformação linear $(A-\lambda I)$. Se $A$ tem $n$ autovetores linearmente independentes, então $A$ é similar a uma matriz diagonal $D$. Isto é, existe uma matriz inversível $M$ tal que $A$ é diagonalizável através da transformação similar $D=M^{-1}AM$. A matriz $D$ é denominada matriz espectral de $A$. A matriz $M$ é denominada matriz modal de $A$. Matrizes diagonalizáveis são de particular interesse, por funções matriciais poderem ser facilmente computadas.

De outro modo, se $A$ não tem $n$ autovetores linearmente independentes associados, então $A$ não é diagonalizável.

Definição: Um vetor ${𝐱}_m$ é um autovetor generalizado de grau m da matriz $A$ e correspondente ao autovalor $\lambda$ se

$(A-\lambda I{)}^m{𝐱}_m=\mathrm{𝟎}$

mas

$(A-\lambda I{)}^{m-1}{𝐱}_m\ne \mathrm{𝟎}.$

Claramente, um autovetor generalizado de grau 1 é um autovetor ordinário. Toda matriz $A$ $n$ × $n$ tem $n$ autovetores generalizados linearmente independentes associados a ela e pode ser mostrado ser similar a uma matriz "quase diagonal" $J$ na forma normal de Jordan. Isto é, existe uma matriz inversível $M$ tal que $J=M^{-1}AM$. A matriz $M$ neste caso é denominada uma matriz modal generalizada de $A$. Se $\lambda$ é um autovalor de multiplicidade algébrica $\mu$, então $A$ terá $\mu$ autovetores generalizados linearmente independentes correspondendo a $\lambda$. Este resultado, por sua vez, fornece um método direto para o cálculo de funções matriciais de $A$.

Predefinição:AnchorNota: Para uma matriz $A$ de ordem $n\times n$ sobre um corpo $F$ poder ser expressa na forma normal de Jordan, todos os autovalores de $A$ devem estar em $F$. Isto é, o polinômio característico $f(x)$ deve ser fatorado completamente em fatores lineares. Por exemplo, se $A$ tem elementos pertencentes ao conjunto dos números reais, então pode ser necessário que os autovalores e as componentes dos autovetores tenham valores complexos.

O conjunto gerado por todos os autovetores generalizados para um dado $\lambda$ forma o autoespaço generalizado para $\lambda$.

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos para ilustrar o conceito de autovetores generalizados. Alguns dos detalhes são descritos depois.

Exemplo 1

Este exemplo é simples mas ilustra claramente o problema. Este tipo de matriz é usado frequentemente em livros-texto.

Seja

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$

Então existe apenas um autovalor, $\lambda =1$, sendo sua multiplicidade algébrica m = 2.

Note que esta matriz está na forma normal de Jordan, mas não é diagonal. Portanto, esta matriz não é diagonalizável. Como há uma superdiagonal, existe um autovetor generalizado de ordem maior que 1 (ou pode-se notar que o espaço vetorial $V$ é de dimensão 2, devendo assim existir no mínimo um autovetor generalizado de grau maior que 1). Alternativamente, pode ser computada a dimensão do núcleo (espaço nulo) de $A-\lambda I$ como sendo p = 1, e assim existem m – p = 1 autovetores generalizados de grau maior que 1.

O autovetor ordinário ${𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ é computado da forma usual. Usando este autovetor é computado o autovetor generalizado ${𝐯}_2$ resolvendo

$(A-\lambda I){𝐯}_2={𝐯}_1.$

Explicitando os valores:

$(\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right))\left(\begin{array}{c}{v}_{21}\\ v_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{21}\\ v_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$

Isto se simplifica como

$v_{22}=1.$

O elemento $v_{21}$ não tem restrições. O autovetor generalizado de grau 2 é então ${𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)$, onde a pode assumir qualquer valor escalar. A escolha a = 0 é usualmente a mais simples.

Note que

$(A-\lambda I){𝐯}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)={𝐯}_1,$

tal que ${𝐯}_2$ é um autovetor generalizado,

$(A-\lambda I){𝐯}_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟎},$

tal que ${𝐯}_1$ é um autovetor ordinário, e que ${𝐯}_1$ e ${𝐯}_2$ são linearmente independentes e constituem assim uma base para o espaço vetorial $V$.

Exemplo 2

Este exemplo é mais elaborado que o Exemplo 1. Infelizmente é dificultoso elaborar um exemplo interessante de baixa ordem. A matriz

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 3& 1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 2& 0& 0\\ 10& 6& 3& 2& 0\\ 15& 10& 6& 3& 2\end{array}\right)$

tem autovalores ${\lambda }_1=1$ e ${\lambda }_2=2$ com multiplicidades algébricas ${\mu }_1=2$ e ${\mu }_2=3$, mas multiplicidades geométricas ${\gamma }_1=1$ e ${\gamma }_2=1$.

Os autoespaços generalizados de $A$ são calculados abaixo. ${𝐱}_1$ é o autovetor ordinário associado com ${\lambda }_1$. ${𝐱}_2$ é um autovetor generalizado associado com ${\lambda }_1$. ${𝐲}_1$ é o autovetor ordinário associado com ${\lambda }_2$. ${𝐲}_2$ e ${𝐲}_3$ são autovetores generalizados associados com ${\lambda }_2$.

$(A-1I){𝐱}_1=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0& 0\\ 6& 3& 1& 0& 0\\ 10& 6& 3& 1& 0\\ 15& 10& 6& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -9\\ 9\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟎},$

$(A-1I){𝐱}_2=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0& 0\\ 6& 3& 1& 0& 0\\ 10& 6& 3& 1& 0\\ 15& 10& 6& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -15\\ 30\\ -1\\ -45\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -9\\ 9\\ -3\end{array}\right)={𝐱}_1,$

$(A-2I){𝐲}_1=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 0& 0& 0\\ 10& 6& 3& 0& 0\\ 15& 10& 6& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟎},$

$(A-2I){𝐲}_2=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 0& 0& 0\\ 10& 6& 3& 0& 0\\ 15& 10& 6& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 9\end{array}\right)={𝐲}_1,$

$(A-2I){𝐲}_3=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 0& 0& 0\\ 10& 6& 3& 0& 0\\ 15& 10& 6& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ -2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)={𝐲}_2.$

Isto resulta em uma base para cada um dos autoespaços generalizados de $A$. Juntamente as duas cadeias de autovetores generalizados cobrem o espaço de todo os vetores colunas 5-dimensionais.

$\{{𝐱}_1,{𝐱}_2\}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -9\\ 9\\ -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -15\\ 30\\ -1\\ -45\end{array}\right)\right\},\{{𝐲}_1,{𝐲}_2,{𝐲}_3\}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ -2\\ 0\end{array}\right)\right\}.$

Uma matriz "quasi-diagonal" $J$ na forma normal de Jordan, similar a $A$ é obtida como segue:

$M=\left(\begin{array}{ccccc}{𝐱}_1& {𝐱}_2& {𝐲}_1& {𝐲}_2& {𝐲}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 3& -15& 0& 0& 0\\ -9& 30& 0& 0& 1\\ 9& -1& 0& 3& -2\\ -3& -45& 9& 0& 0\end{array}\right),$

$J=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 2\end{array}\right),$

onde $M$ é uma matriz modal generalizada para $A$, as colunas de $M$ são uma base canônica para $A$, e $AM=MJ$.

Cadeias de Jordan

Definição: Seja ${𝐱}_m$ um autovetor generalizado de grau m correspondente à matriz $A$ e o autovalor $\lambda$. A cadeia gerada por ${𝐱}_m$ é um conjunto de vetores $\{{𝐱}_m,{𝐱}_{m-1},\dots ,{𝐱}_1\}$ dado por

Predefinição:NumBlk

Assim, em geral

Predefinição:NumBlk

O vetor ${𝐱}_j$, dado pela Eq. (Predefinição:EquationNote), é um autovetor generalizado de grau j correspondente ao autovalor $\lambda$. Uma cadeia e um conjunto linearmente independente de vetores.

Base canônica

Predefinição:Artigo principal Definição: Um conjunto de n autovetores generalizados linearmente independentes é uma base canônica se for composto inteiramente de cadeias de Jordan.

Então, uma vez determinado que um autovetor generalizado de posto m é uma base canônica, segue que os m-1 vetores ${𝐱}_{m-1},{𝐱}_{m-2},\dots ,{𝐱}_1$que estão na cadeia de Jordan, gerados por ${𝐱}_m$. também estão em base canônica.

Dado ${\lambda }_i$ um autovalor de $A$ de multiplicidade algébrica Primeiro, determine os postos das matrizes $(A-{\lambda }_{i}I),(A-{\lambda }_{i}I{)}^2,\dots ,(A-{\lambda }_{i}I{)}^{m_i}$. O inteiro $m_i$ é definido como o primeiro inteiro para o qual $(A-{\lambda }_{i}I{)}^{m_i}$ possui posto $n-{\mu }_i$ (n sendo o número de linhas e colunas de $A$, isto é, $A$ é n × n).

Então define-se:

${\rho }_k=rank(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k-1}-rank(A-{\lambda }_{i}I{)}^k(k=1,2,\dots ,m_i).$

A variável ${\rho }_k$ designa o número de autovetores generalizados linearmente independentes de posto k correspondendo ao autovalor ${\lambda }_i$ que aparecerá em uma base canônica de $A$. Observa-se que:

$rank(A-{\lambda }_{i}I{)}^0=rank(I)=n$.

Cálculo de autovetores generalizados

Nas seções precedentes vimos técnicas para obter n autovetores generalizados linearmente independentes de uma base canônica para o espaço vetorial $V$ associado com uma matriz n × n $A$. Estas técnicas podem ser combinadas em um procedimento:

Resolva a equação característica de $A$ para os autovalores ${\lambda }_i$ e suas multiplicidades algébricas ${\mu }_i$;

Para cada ${\lambda }_i:$

Determine $n-{\mu }_i$;

Determine $m_i$;

Determine ${\rho }_k$ para $(k=1,\dots ,m_i)$;

Determine cada cadeia de Jordan para ${\lambda }_i$.

Exemplo 3

A matriz

$A=\left(\begin{array}{cccc}5& 1& -2& 4\\ 0& 5& 2& 2\\ 0& 0& 5& 3\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right)$

tem um autovalor ${\lambda }_1=5$ de multiplicidade algébrica ${\mu }_1=3$ e um autovalor ${\lambda }_2=4$ de multiplicidade algébrica ${\mu }_2=1$. Temos n = 4. Para ${\lambda }_1$ temos $n-{\mu }_1=4-3=1$.

$(A-5I)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -2& 4\\ 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),posto(A-5I)=3.$

$(A-5I{)}^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 2& -8\\ 0& 0& 0& 4\\ 0& 0& 0& -3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),posto(A-5I{)}^2=2.$

$(A-5I{)}^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 14\\ 0& 0& 0& -4\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),posto(A-5I{)}^3=1.$

O primeiro inteiro $m_1$ para o qual $(A-5I{)}^{m_1}$ tem posto $n-{\mu }_1=1$ é $m_1=3$.

Definimos agora

${\rho }_3=posto(A-5I{)}^2-posto(A-5I{)}^3=2-1=1,$

${\rho }_2=posto(A-5I{)}^1-posto(A-5I{)}^2=3-2=1,$

${\rho }_1=posto(A-5I{)}^0-posto(A-5I{)}^1=4-3=1.$

Consequentemente, existem três autovetores generalizados linearmente independentes; cada qual de postos 3, 2 a 1. Como ${\lambda }_1$ corresponde a uma simples cadeia de três autovetores generalizados linearmente independentes, sabemos que existe um autovetor generalizado ${𝐱}_3$ de posto 3 correspondente a ${\lambda }_1$ tal que

Predefinição:NumBlk

mas

Predefinição:NumBlk

As equações (Predefinição:EquationNote) e (Predefinição:EquationNote) representam sistemas lineares que podem ser resolvidos para ${𝐱}_3$. Seja

${𝐱}_3=\left(\begin{array}{c}{x}_{31}\\ x_{32}\\ x_{33}\\ x_{34}\end{array}\right).$

Então

$(A-5I{)}^3{𝐱}_3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 14\\ 0& 0& 0& -4\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{31}\\ x_{32}\\ x_{33}\\ x_{34}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14x_{34}\\ -4x_{34}\\ 3x_{34}\\ -x_{34}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

e

$(A-5I{)}^2{𝐱}_3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 2& -8\\ 0& 0& 0& 4\\ 0& 0& 0& -3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{31}\\ x_{32}\\ x_{33}\\ x_{34}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2x_{33}-8x_{34}\\ 4x_{34}\\ -3x_{34}\\ x_{34}\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Assim, a fim de satisfazer as condições (Predefinição:EquationNote) e (Predefinição:EquationNote), devemos ter $x_{34}=0$ e $x_{33}\ne 0$. Nenhuma restrição é imposta sobre $x_{31}$ e $x_{32}$. Escolhendo $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$, obtemos

${𝐱}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

como um autovetor generalizado de posto 3 correspondente a ${\lambda }_1=5$. Note que é possível obter infinitos outros autovetores generalizados de posto 3 escolhendo diferentes valores de $x_{31}$, $x_{32}$ e $x_{33}$, com $x_{33}\ne 0$. Nossa primeira escolha, contudo, é a mais simples.

Agora usando as equações (Predefinição:EquationNote), obtemos ${𝐱}_2$ e ${𝐱}_1$ como autovetores generalizados de postos 2 e 1 respectivamente,onde

${𝐱}_2=(A-5I){𝐱}_3=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right),$

e

${𝐱}_1=(A-5I){𝐱}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

O autovalor simples ${\lambda }_2=4$ pode ser tratado usando técnicas padrão e tem um autovetor ordinário

${𝐲}_1=\left(\begin{array}{c}-14\\ 4\\ -3\\ 1\end{array}\right).$

Uma base canônica para $A$ é

$\{{𝐱}_3,{𝐱}_2,{𝐱}_1,{𝐲}_1\}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-14\\ 4\\ -3\\ 1\end{array}\right)\right\}.$

${𝐱}_1,{𝐱}_2$ e ${𝐱}_3$ são autovetores generalizados associados com ${\lambda }_1$. ${𝐲}_1$ é o autovetor ordinário associado com ${\lambda }_2$.

Deve ser notado que este é um exemplo simples. Em geral, os números ${\rho }_k$ de autovetores generalizados linearmente independentes de posto k não serão sempre iguais. Isto é, pode haver diversas cadeias de comprimentos diferentes correspondentes a um particular autovalor.

Matriz modal generalizada

Seja $A$ uma matriz n × n. Uma matriz modal generalizada $M$ para $A$ é uma matriz n × n cujas colunas, consideradas como vetores, forma uma base canônica para $A$ e aparece em $M$ de acordo com as seguintes regras:

• Todas as cadeias de Jordan consistindo de um vetor (isto, um vetor no comprimento) aparece nas primeiras colunas de $M$.
• Todos os vetores de uma cadeia aparecem juntos em colunas adjacentes de $M$.
• Cada cadeia aparece em $M$ na ordem de posto crescente (isto é, o autovetor generalizado de posto 1 aparece antes do autovetor generalizado de posto 2 da mesma cadeia, que aparece antes do autovetor generalizado de posto 3 da mesma cadeia, etc.).

Forma canônica de Jordan

Um exemplo de uma matriz na forma canônica de Jordan. Os blocos cinza são chamados de blocos de Jordan.

Predefinição:Main Seja $V$ um espaço vetorial n-dimensional; seja $\varphi$ um mapeamento linear em Predefinição:Math, o conjunto de todos os mapeamentos lineares de $V$ nele mesmo; e seja $A$ a representação matricial de $\varphi$ em relação a alguma base ordenada. Pode ser mostrado que se o polinômio característico $f(\lambda )$ de $A$ é fatorado em fatores lineares, tal que $f(\lambda )$ tem a forma

$f(\lambda )=\pm (\lambda -{\lambda }_1{)}^{{\mu }_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{{\mu }_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_r{)}^{{\mu }_r},$

onde ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_r$ são os distintos autovalores de $A$, então cada ${\mu }_i$ é a multiplicidade algébrica de seu correspondente autovalor ${\lambda }_i$ e $A$ é similar a uma matriz $J$ na forma canônica de Jordan, onde cada ${\lambda }_i$ aparece ${\mu }_i$ vezes consecutivas na diagonal principal, e cada componente acima de cada ${\lambda }_i$ (isto é, na superdiagonal) tem valor 0 ou 1; o elemento acima da primeira ocorrência de cada ${\lambda }_i$ é sempre 0. Todos os outros elementos são zero. Se $A$ é diagonalizável, então todos os elementos acima da diagonal são zero. Note que alguns livros-texto tem os uns na subdiagonal, isto é, imediatamente abaixo da diagonal principal ao invés de na superdiagonal. Os autovalores estão ainda na diagonal principal.

Toda matriz n × n $A$ é similar a uma matriz $J$ na forma canônica de Jordan, obtida através da transformação similar $J=M^{-1}AM$, onde $M$ é uma matriz modal generalizada para $A$. (ver Nota acima.)

Exemplo 4

Determinar a matriz na forma canônica de Jordan que é similar a

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 2\\ -3& 8& 3\\ 4& -8& -2\end{array}\right).$

Solução: A equação característica de $A$ é $(\lambda -2{)}^3=0$, e então $\lambda =2$ é um autovalor de multiplicidade algébrica três. Seguindo o procedimento das seções precedentes temos

$posto(A-2I)=1$

e

$posto(A-2I{)}^2=0=n-\mu .$

Assim, ${\rho }_2=1$ e ${\rho }_1=2$, que implica que a base canônica para $A$ contém um autovetor generalizado linearmente independente de posto 2 e dois autovetores generalizados linearmente independentes de posto 1, ou equivalentemente, uma cadeia de dois vetores $\{{𝐱}_2,{𝐱}_1\}$ e uma cadeia de um vetor $\left\{{𝐲}_1\right\}$. Designando $M=\left(\begin{array}{ccc}{𝐲}_1& {𝐱}_1& {𝐱}_2\end{array}\right)$, temos

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 1& 3& 0\\ 0& -4& 1\end{array}\right),$

e

$J=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),$

onde $M$ é uma matriz modal generalizada para $A$, as colunas de $M$ são uma base canônica para $A$, e $AM=MJ$. Note que desde que autovetores generalizados não são únicos, e desde que algumas das colunas de ambos $M$ e $J$ podem ser intercambiadas, segue que ambos $M$ e $J$ não são únicos.

Exemplo 5

No Exemplo 3 encontramos uma base canônica de autovetores generalizados linearmente independentes para uma matriz $A$. Uma matriz modal generalizada para $A$ é

$M=\left(\begin{array}{cccc}{𝐲}_1& {𝐱}_1& {𝐱}_2& {𝐱}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-14& 2& -2& 0\\ 4& 0& 2& 0\\ -3& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Uma matriz na forma canônica de Jordan, similar a $A$ é

$J=\left(\begin{array}{cccc}4& 0& 0& 0\\ 0& 5& 1& 0\\ 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right),$

tal que $AM=MJ$.

Aplicações

Funções matriciais

Predefinição:Main Três das mais fundamentais operações que podem ser aplicadas sobre matrizes quadradas são adição, multiplicação por um escalar e multiplicação de matrizes. Estas são exatamente as operações necessárias para definir uma função polinomial de uma matriz n × n $A$. Relembrando do cálculo básico que muitas funções podem ser expressas em uma série de Taylor, podemos definir de forma mais geral funções matriciais de forma mais simples. Se $A$ é diagonalizável, isto é

$D=M^{-1}AM,$

com

$D=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right),$

então

$D^k=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^k& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2^k& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n^k\end{array}\right)$

e a determinação da série de Taylor para funções de $A$ é significativamente simplificada. Por exemplo, para obter qualquer potência k de $A$, basta calcular $D^k$, premultiplicar $D^k$ por $M$, e posmultiplicar o resultado por $M^{-1}$.

Usandoautovetores generalizados podemos obter a forma canônica de Jordan para $A$ e estes resultados podem ser generalizados para um método direto para determinação de funções de matrizes não diagonalisáveis.

Equações diferenciais

Predefinição:Main Considere o problema de resolver o sistema linear de equações diferencias ordinárias

Predefinição:NumBlk

onde

$𝐱=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ ⋮\\ x_n(t)\end{array}\right),{𝐱}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }(t)\\ {x_2}^{\prime }(t)\\ ⋮\\ {x_n}^{\prime }(t)\end{array}\right),$ Predefinição:Spaces e Predefinição:Spaces $A=(a_{ij}).$

Se a matriz $A$ é uma matriz diagonal tal que $a_{ij}=0$ para $i\ne j$, então o sistema (Predefinição:EquationNote) reduz-se a um sistema de n equações na forma

Predefinição:NumBlk

Neste caso, a solução geral é dada por

$x_1=k_1{e}^{a_{11}t}$

$x_2=k_2{e}^{a_{22}t}$

$⋮$

$x_n=k_n{e}^{a_{nn}t}.$

No caso geral, tenta-se diagonalizar $A$ e reduzir (Predefinição:EquationNote) para um sistema (Predefinição:EquationNote) como a seguir. Se $A$ é diagonalizável, então tem-se que $D=M^{-1}AM$, onde $M$ é a matriz modal de $A$. Substituindo a equação $A=MD{M}^{-1}$, (Predefinição:EquationNote) toma a forma $M^{-1}{𝐱}^{\prime }=D(M^{-1}𝐱)$, ou

Predefinição:NumBlk

onde

Predefinição:NumBlk

A solução de (Predefinição:EquationNote) é dada por

$y_1=k_1{e}^{{\lambda }_{1}t}$

$y_2=k_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$

$⋮$

$y_n=k_n{e}^{{\lambda }_{n}t}.$

A solução $𝐱$ de (Predefinição:EquationNote) é obtida usando a relação (Predefinição:EquationNote).

Por outro lado, se $A$ não é diagonalizável, escolhe-se para $M$ uma matriz modal generalizada de $A$, tal que $J=M^{-1}AM$ é a forma canônica de Jordan normal of $A$. O sistema ${𝐲}^{\prime }=J𝐲$ possui a forma

Predefinição:NumBlk

onde ${\lambda }_i$ são os autovalores da diagonal principal de $J$ e ${ϵ}_i$ são os uns e zeros da superdiagonal de $J$. O sistema (Predefinição:EquationNote) normalmente é de resolução mais fácil que (Predefinição:EquationNote). Podemos então solucionar (Predefinição:EquationNote) para $y_n$, obtendo $y_n=k_n{e}^{{\lambda }_{n}t}$. Substituímos então essa solução por $y_n$ na penúltima equação em (Predefinição:EquationNote) e resolvemos para $y_{n-1}$. Continuando dessa forma resolvemos (Predefinição:EquationNote) da última para a primeira equação, resolvendo o sistema inteiro para $𝐲$. A solução $𝐱$ é obtida então usando (Predefinição:EquationNote).

Bibliografia

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Predefinição:Álgebra linear Predefinição:Áreas da matemática