Matrizes semelhantes

Em matemática, diz-se que duas matrizes quadradas $A$ e $B$ são semelhantes (ou similares) se existir uma matriz invertível $M$ tal que:

$A=M^{-1}BM$

Definição

Uma matriz $A$ é dita ser semelhante à matriz $B$ se, e somente se, existe uma matriz $M$ invertível tal que:

$A=M^{-1}BM$.

Observamos que a definição exige que $A$ e $B$ sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Pois, caso contrário, a identidade acima não estaria bem definida, ou seja, este conceito de semelhança se aplica apenas a matrizes quadradas.

Relação de equivalência

O conceito de matriz semelhante define uma relação de equivalência, i.e.:

1. (Reflexividade) Toda matriz $A$ é semelhante a si mesma;
2. (Simetria)$A$ é semelhante a $B$ implica $B$ semelhante a $A$;
3. (Transitividade) $A$ é semelhante a $B$ e $B$ é semelhante a $C$ implica $A$ semelhante a $C$;

Demonstração

1. Como $A=I^{-1}AI$, temos que $A$ é semelhante a $A$.

2. Se $A=M^{-1}BM$, então $B=N^{-1}AN$ com $N=M^{-1}$. Ou seja, $A$ é semelhante a $B$ implica $B$ semelhante a $A$.

3. Se $A=M^{-1}BM$ e $B=N^{-1}CN$, então $A=P^{-1}CP$ com $P=NM$. Isto é, $A$ é semelhante a $B$ e $B$ é semelhante a $C$ implica $A$ semelhante a $C$.

Propriedades

Sejam A e B matrizes semelhantes, então:

1. $\det (A)=\det (B)$;
2. $A$ é invertível se e somente se $B$ também o for;
3. $A$ e $B$ possuem o mesmo polinômio característico;
4. $A$ e $B$ tem os mesmos valores próprios com a mesma multiplicidade;
5. $A$ e $B$ têm o mesmo traço;
6. $A^k$ e $B^k$ são semelhantes para todo $k\in \mathbb{N}$.
7. As matrizes de um operador linear de dimensão finita são semelhantes.

Demonstração

Propriedade 1.

Mostraremos que se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes, então $\det (A)=\det (B)$. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível $M$ tal que $A=M^{-1}BM$. Pelas propriedades do determinante segue que:

$\begin{array}{cc}\det (A)& =\det (M^{-1}BM)\\ & =\det (M^{-1})\det (B)det(M)\\ & =\frac{1}{\det (M)}\det (B)\det (M)\\ & =\det (B)\end{array}$

Propriedade 2.

Mostraremos que se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes, então $A$ é invertível se, e somente se, $B$ também for. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível $M$ tal que $A=M^{-1}BM$, ou equivalentemente, $B=MA{M}^{-1}$. Suponhamos que $A$ seja invertível. Então, afirmamos que $(MA{M}^{-1}{)}^{-1}=M{A}^{-1}{M}^{-1}$ é matriz inversa de $B$. De fato:

$B(M{A}^{-1}{M}^{-1})=MA(M^{-1}M)A^{-1}{M}^{-1}=M(A{A}^{-1})M^{-1}=M{M}^{-1}=I$

e

$(M{A}^{-1}{M}^{-1})B=M{A}^{-1}(M^{-1}M)A{M}^{-1}=M(A^{-1}A)M^{-1}=M{M}^{-1}=I$.

Isto mostra que se $A$ é invertível, então $B$ é invertível. A recíproca segue raciocínio análogo.

Propriedade 3.

Mostraremos que se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes, então $A$ e $B$ possuem o mesmo polinômio característico. Com efeito, existe uma matriz invertível $M$ tal que $A=M^{-1}BM$. Por definição, o polinômio característico de $B$ é dado por $p_B(\lambda )=\det (B-\lambda I)$. Daí, segue que:

$\begin{array}{cc}{p}_B(\lambda )& =\det (M^{-1})\det (B-\lambda I)\det (M)\\ & =\det [M^{-1}(B-\lambda I)M]\\ & =\det (M^{-1}BM-\lambda M^{-1}M)\\ & =\det (A-\lambda I)\\ & =p_A(\lambda )\end{array}$

Isso conclui a demonstração.

Propriedade 4.

Segue imediatamente da propriedade 3.

Propriedade 5.

Segue da propriedade 3, pois o traço de uma matriz $n\times n$ é o coeficiente do termo de grau $n-1$ do seu polinômio característico.

Propriedade 6.

Mostraremos que se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes, então $A^k$ e $B^k$ também são para todo número $k$ natural. Com efeito, existe uma matriz invertível $M$ tal que $A=M^{-1}BM$. Por indução em $k$ vemos que $(M^{-1}BM{)}^k=M^{-1}{B}^{k}M$. Ou seja, $A^k=M^{-1}{B}^{k}M$, como queríamos demonstrar.

Propriedade 7.

Seja $T:V\to V$ um operador linear sobre o espaço vetorial $V$ de dimensão finita com bases $B_1$ e $B_2$. Sejam, então, $A$ e $B$ as matrizes de $T$ nas respectivas bases $B_1$ e $B_2$, i.e.:

$[T(𝐱){]}_{B_1}=A[𝐱{]}_{B_1},\mathrm{\forall }𝐱\in V$

e

$[T(𝐱){]}_{B_2}=B[𝐱{]}_{B_2},\mathrm{\forall }𝐱\in V$

onde, $[𝐱{]}_{B_1}$ denota a representação do vetor $𝐱$ na base $B_1$ com notação análoga para $[𝐱{]}_{B_2}$. Seja, agora, $P$ a matriz de mudança da base $B_1$ para a base $B_2$, i.e.:

$[𝐱{]}_{B_2}=P[𝐱{]}_{B_1},\mathrm{\forall }𝐱\in V$.

Logo, temos:

$[T(𝐱){]}_{B_2}=BP[𝐱{]}_{B_1}\Rightarrow P^{-1}[T(𝐱){]}_{B_2}=P^{-1}BP[𝐱{]}_{B_1}\Rightarrow [T(𝐱){]}_{B_1}=P^{-1}BP[𝐱{]}_{B_1}\Rightarrow A[𝐱{]}_{B_1}=P^{-1}BP[𝐱{]}_{B_1}$.

Como a última igualdade é válida para todo $𝐱\in V$, concluímos que $A$ e $B$ são matrizes semelhantes.

Ver também

• Matriz congruente
• Matriz diagonalizável