Função matricial

Predefinição:Sem fontes Em matemática, uma função matricial é uma função cujo domínio são matrizes. O determinante, o traço e a exponencial matricial são exemplos de funções matriciais cujo domínio são as matrizes quadradas com imagem nos números complexos.

O termo também pode ser usado para a generalização de uma função f de escalares, para uma função f_M entre matrizes quadradas. Por exemplo, um polinômio p(x) leva naturalmente a uma função p de domínio no conjunto das matrizes quadradas de ordem nxn e contra-domínio no mesmo conjunto.

Polinômio matricial

Seja $f(x)$ um polinômio na variável $x$ definido por: $f(x)=a_0+\sum _{i=1}^m{a}_i{x}^i$. Se $A$ é uma matrix quadrada $n\times n$ então $f(A)$ é definido como: $f(x)=a_{0}I+\sum _{i=1}^m{a}_i{A}^i$. onde $I$ é a matriz identidade $n\times n$.

Fixando-se a matriz A, a função

${ϵ}_A:K[x]\to M_{n\times n}$

que leva cada polinômio p com coeficientes em K na matriz p(A) é um homomorfismo das álgebras. Em particular, é um homomorfismo de anéis, portanto o seu núcleo é um ideal de K[x].

A seguinte propriedade vale para qualquer polinômio p, quando a matriz A é um bloco de Jordan:

$p\left(\left[\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \dots & 0\\ 0& \lambda & 1& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \dots & 0& 0& \lambda \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{p(\lambda )}{0!}& \frac{p^{\prime }(\lambda )}{1!}& \frac{p^{″}(\lambda )}{2!}& \dots & \frac{p^{(n)}(\lambda )}{n!}\\ 0& \frac{p(\lambda )}{0!}& \frac{p^{\prime }(\lambda )}{1!}& \dots & \frac{p^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \dots & 0& 0& \frac{p(\lambda )}{0!}\end{array}\right].$

Isto motiva a definição de f(A) para qualquer matriz A e qualquer função f para as quais as derivadas de ordem suficiente estão definidas nos auto-valores da matriz.

Calculo funcional

Se $A$ é uma matriz auto-adjunta e $P$ é um polinômio , então vale a igualdade:

• $\Vert P(A)\Vert =\underset{\lambda \in \sigma (A)}{\sup }|P(\lambda )|$

aqui a norma matricial é a norma operacional euclidiana e $\sigma (A)$ é conjunto de autovalores de $A$