Exponencial matricial

Em matemática, a exponencial matricial é uma função matricial definida no conjunto das matrizes quadradas e possui propriedades semelhantes à função exponencial definida nos números reais (ou complexos). Mais abstratamente falando a exponencial matricial estabelece uma conexão entre a álgebra de Lie das matrizes e o seu correspondente grupo de Lie.

Seja $A$ uma matriz real ou complexa $n\times n$, define-se $e^A=\exp (A)$ pela seguinte série de potências:

$e^A:=I+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^n}{n!}$, onde $I$ é a matriz identidade

A convergência desta série é garantida pelo teste M de Weierstrass.

Origens

Generalizando a série de Taylor para matrizes:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$ para uma matriz, $f(x)=e^x$, sendo "a" como matriz nula, temos: $e^A=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^n}{n!}$.

como o primiero termo da equação é $A^0$ e sendo essa a matriz identidade, ficamos finalmente com:

$e^A=I+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^n}{n!}$.

Propriedades

Sejam $A$ e $B$ matrizes quadradas $n\times n$ e $a$ e $b$ números reais ou complexos arbitrários. Denotamos por $I$ a matriz identidade $n\times n$ e por $O$ a matriz nula de mesmas dimensões. $A^{*}$ indica a matriz transposta conjugada de $A$ e $A^T$ denota a matriz transposta de $A$. São válidas as seguintes propriedades:

• $e^0=I$
• $e^{aA}{e}^{bA}=e^{(a+b)A}$
• $e^A{e}^{-A}=I$
• Se $AB=BA$ então $e^A{e}^B=e^{A+B}$
• Se $B$ é uma matriz invertível então $e^{BA{B}^{-1}}=B{e}^A{B}^{-1}$
• $\det (e^A)=e^{\text{tr}(A)}$, onde $\det (e^A)$ é o determinante de $e^A$ e $\text{tr}A$ é o traço de $A$
• $e^{(A^T)}={(e^A)}^T$. Disto segue que se $A$ é uma matriz simétrica $e^A$ também o é. Se $A$ é uma matriz antissimétrica é uma matriz ortogonal.
• $e^{(A^{*})}={(e^A)}^{*}$. Disto segue que se $A$ é uma matriz hermitiana $e^A$ também o é. Se $A$ é uma matriz anti-hermitiana é uma matriz unitária.

Exemplo no cálculo da exponencial de uma matriz

Ficheiro:Exponencial matricial.ogv Imaginemos que queremos calcular $e^A$ sabendo que

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

Calculemos $A^2,A^3...A^n$

$A^2=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 0& 0\end{array}\right],A^3=A^{2}A=\left[\begin{array}{cc}8& 4\\ 0& 0\end{array}\right]$

$A^n=\left[\begin{array}{cc}{2}^n& 2^{n-1}\\ 0& 0\end{array}\right],n\ne 0$

Sabemos então que

$e^A=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^n}{n!}$

$e^A=I+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^n}{n!}=I+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\left[\begin{array}{cc}{2}^n& 2^{n-1}\\ 0& 0\end{array}\right]=$

$=I+\left[\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{n!}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{n-1}}{n!}\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{n!}& \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{n!}\\ 0& 1\end{array}\right]$

$e^A=\left[\begin{array}{cc}{e}^2& \frac{1}{2}(e^2-1)\\ 0& 1\end{array}\right]$

Equações diferenciais ordinárias lineares

Um problema de valor inicial para um sistema de equações diferencias ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes pode ser escrito na forma matricial:

$\{\begin{array}{c}\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t)\\ y(t_o)=y_o\end{array}$

onde a incógnita $y(t)$ é um vetor de dimensão $n$ que depende do tempo, $y_0$ é a condição inicial e $A$ é uma matriz $n\times n$. A solução deste sistema é dada por:

$y(t)=e^{A(t-t_0)}{y}_0$

A matriz $E(s)$ definida como $e^{sA}$ pode ser interpretada como operador que associa cada condição inicial $y_0$ à solução do sistema de equações no instante $t_0+s$.

A exponencial matricial também pode ser usada para resolver o problema não-homogêcio associado

$\{\begin{array}{c}\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t)+f(t)\\ y(t_o)=y_o\end{array}$

pelo Método da variação de parâmetros, ou seja, busca-se por soluções da forma:

$y(t)=e^{A(t-t_0)}z(t)$

Substituindo esta expressão na equação diferencial, temos:

$A{e}^{A(t-t_0)}z(t)+e^{A(t-t_0)}\frac{d}{dt}z(t)=A{e}^{A(t-t_0)}z(t)+f(t)$

ou, resolvendo para $z(t)$:

$\frac{d}{dt}z(t)=e^{-A(t-t_0)}f(t)$

trocando $t$ por $s$ e integrando em $[t_0,t]$, temos:

$z(t)=z(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-A(s-t_0)}f(s)ds$

e, finalmente:

$y(t)=e^{A(t-t_0)}{y}_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A(t-s)}f(s)ds$

Predefinição:Classes de matriz