Problema de valor inicial

Em matemática, um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais ou problema de Cauchy é uma equação diferencial que é acompanhada do valor da função objetivo em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial. Em física, biologia e outras áreas, a modelagem de um sistema frequentemente resulta em um problema de valor inicial (também chamado de P.V.I.) a ser solucionado; nesse contexto, a equação diferencial é uma equação evolutiva especificando como o sistema evoluirá ao longo do tempo dadas condições iniciais.

Definição

Um problema de valor inicial (P.V.I.) é uma equação diferencial da forma

$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }(t)=f(t,y(t))\\ y(t_0)=y_0\end{array}$

Uma solução para um P.V.I. é uma função $y$ que é solução da equação diferencial e satisfaz $y(t_0)=y_0$.

Em dimensões superiores, a equação diferencial é substituída por uma família de equações ${y_i}^{\prime }(t)=f_i(t,y_1(t),y_2(t),\dots ,y_n(t))$, e $y(t)$ é um vetor n-dimensional da forma $(y_1(t),y_2(t),\dots ,y_n(t))$. Mais geralmente, $y$ pode assumir valores em espaços de dimensão infinita, como o Espaço de Banach ou o espaço de distribuições.

P.V.I.s podem ser analisados em ordens superiores tratando as derivadas como uma função independente, e.g. $y^{″}(t)=f(t,y(t),y^{\prime }(t))$.

Existência e unicidade de soluções

Para uma grande classe de P.V.I.s, a existência e unicidade de uma solução pode ser ilustrada através do uso de uma calculadora.

O teorema de Picard-Lindelöf garante a unicidade da solução em um intervalo que contém t₀ se f é continua em uma região contendo t₀ e y₀ e satisfaz a condição de Lipschitz na variável y.

A prova desse teorema provem de uma reformulação do problema como uma equação integral equivalente. A integral pode ser considerada como um operador que transforma uma função em outra, de modo que a solução é um ponto fixo do operador. O teorema do ponto fixo de Banach é evocado para mostrar que existe um único ponto fixo que é solução do P.V.I..

Uma prova antiga do teorema de Picard–Lindelöf constrói uma sequência de funções que convergem para a solução da equação integral, e assim, para a solução do P.V.I.. Essa construção é chamada às vezes de "método de Picard" ou "método de aproximações sucessivas".

Hiroshi Okamura obteve uma condição necessária e suficiente para a solução do P.V.I. ser única. Essa condição tem a ver com a existência de uma função de Lyapunov para o sistema de EDOs.

Em algumas situações, a função f não é de classe C¹, ou mesmo Lipschitz continua, então o resultado usual garantindo a existência local de uma solução única não se aplica. No entanto, o teorema de existência de Peano prova que mesmo para f meramente contínua, existem soluções locais; porém não há garantia de unicidade.

Exemplos

O problema de condição inicial

$\{\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}=y\\ y(0)=2\end{array}$

Resolução

$\frac{dy}{dx}=y$

$\frac{dy}{dx}-y=0$

Pelo método do fator integrante, multiplica-se esta equação por $e^{-x}$:

$e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y=e^{-x}0$

O primeiro lado da equação pode ser simplificado usando a regra da cadeia $\frac{d(f\times g)}{dx}=\frac{df}{dx}\times g+f\times \frac{dg}{dx}$

$\frac{d(y{e}^{-x})}{dx}=0$

Integrando os dois lados da equação, obtém-se:

$y{e}^{-x}=c_1$

com $c_1$ constante.

Isolando y, obtém-se então infinitas soluções para a equação diferencial, por causa da arbitrariedade de $c_1$:

$y(x)=c_1{e}^x$

Porém, só existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais:

$y(0)=c_1{e}^0$

$2=c_1$

Portanto, a solução (única) do P.V.I. é:

$y(x)=2e^x$

Oscilador harmônico

No caso de um sistema massa-mola sem atrito e sem força externa atuando, ao aplicar-se a segunda lei de Newton, obtém-se a seguinte relação:

$ma(t)=-kx(t)$

Ou seja:

$m\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}=-kx(t)$

Onde $m$ é a massa do oscilador, $x$ é o deslocamento dessa massa em relação ao ponto de equilíbrio e $k$ é a constante da mola.

Um dos métodos de se achar a solução dessa equação diferencial é usar transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtém-se o seguinte:

$mℒ\left\{\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}\right\}=-kℒ\{x(t)\}$

Usando as propriedades da transformada de Laplace, a equação segue escrita como:

$m(s^2ℒ\{x(t)\}-sx(0)-\frac{dx}{dt}(0))=-kℒ\{x(t)\}$

De onde pode-se isolar o termo $ℒ\{x(t)\}$:

$m{s}^2ℒ\{x(t)\}-msx(0)-m\frac{dx}{dt}(0)=-kℒ\{x(t)\}$

$m{s}^2ℒ\{x(t)\}+kℒ\{x(t)\}=msx(0)+m\frac{dx}{dt}(0)$

$(m{s}^2+k)ℒ\{x(t)\}=msx(0)+m\frac{dx}{dt}(0)$

$ℒ\{x(t)\}=\frac{msx(0)+m\frac{dx}{dt}(0)}{m{s}^2+k}$

$ℒ\{x(t)\}(m{s}^2+k)=msx(0)+m\frac{dx}{dt}(0)$

$ℒ\{x(t)\}=\frac{msx(0)+m\frac{dx}{dt}(0)}{m{s}^2+k}$

Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtém-se:

${ℒ}^{-1}\{ℒ\{x(t)\}\}={ℒ}^{-1}\left\{\frac{msx(0)+m\frac{dx}{dt}(0)}{m{s}^2+k}\right\}$

$x(t)=x(0){ℒ}^{-1}\left\{\frac{ms}{m{s}^2+k}\right\}+\frac{dx}{dt}(0){ℒ}^{-1}\left\{\frac{m}{m{s}^2+k}\right\}$

$x(t)=x(0){ℒ}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+\frac{k}{m}}\right\}+\frac{dx}{dt}(0){ℒ}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+\frac{k}{m}}\right\}$

Utilizando uma tabela de transformadas, a equação se escreve:

$x(t)=x(0)cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{dx}{dt}(0)sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)$

Logo, é necessário definir as condições iniciais $x(0)$ e $\frac{dx}{dt}(0)$.

Circuito RLC com pulso de amplitude $V_0$

A equação que descreve tal circuito é dada por:

Potencial a um pulso unitário de amplitude 100V

$V(t)=V_0(u(t-a)-u(t-b))$

Onde $u(t)$ é a função de heaviside

$V(t)$ é dada pela Lei das malhas Kirchhoff como:

$V(t)=L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+\frac{1}{C}q(t)$

Dados $L=1H$, $R=2\mathrm{\Omega }$ e $C=1F$ temos:

$\frac{di(t)}{dt}+2i(t)+q(t)=V_0(u(t-a)-u(t-b))$

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos:

$\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+2\frac{di(t)}{dt}+i(t)=V_0(\delta (t-a)-\delta (t-b))$

No passo anterior utilizamos o fato de que a derivada da função de heaviside $u(t)$ é a função delta de Dirac $\delta (t)$, ou seja:

$\frac{du(t)}{dt}=\delta (t)$

Também lançamos mão dos seguintes conceitos de eletromagnetismo:

$q(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}i(t)dt$

$\frac{dq(t)}{dt}=i(t)-i(0)=i(t)$

Onde utilizamos nossa primeira condição inicial: $i(0)=0$.

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

$ℒ\left\{\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}\right\}+2ℒ\left\{\frac{di(t)}{dt}\right\}+ℒ\{i(t)\}=V_0(ℒ\{\delta (t-a)\}-ℒ\{\delta (t-b)\})$

$s^2ℒ\{i(t)\}-si(0)-\frac{di}{dt}(0)+2sℒ\{i(t)\}-2i(0)+ℒ\{i(t)\}=V_0(e^{-as}-e^{-bs})$

Devido as condições iniciais, $i(0)=0$ e $\frac{di}{dt}(0)=0$ a equação se reduz a:

$s^2ℒ\{i(t)\}+2sℒ\{i(t)\}+ℒ\{i(t)\}=V_0(e^{-as}-e^{-bs})$

Isolando $ℒ\{i(t)\}$:

$ℒ\{i(t)\}(s^2+2s+1)=V_0(e^{-as}-e^{-bs})$

$ℒ\{i(t)\}=\frac{V_0(e^{-as}-e^{-bs})}{(s^2+2s+1)}$

Manipulamos a equação de modo a chegar no formato de uma expressão tabelada:

Corrente devido a um pulso unitário entre t = 1 e t = 2 com V0 = 100V

$ℒ\{i(t)\}=V_0{e}^{-as}\frac{1}{(s+1{)}^2}-V_0{e}^{-bs}\frac{1}{(s+1{)}^2}$

Aplicando a transformada inversa:

$i(t)=V_0{ℒ}^{-1}\left\{e^{-as}\frac{1}{(s+1{)}^2}\right\}-V_0{ℒ}^{-1}\left\{e^{-bs}\frac{1}{(s+1{)}^2}\right\}$

Consultando uma tabela de transformadas de Laplace, obtemos o resultado:

$i(t)=V_{0}u(t-a)(t-a)e^{-(t-a)}-V_{0}u(t-b)(t-b)e^{-(t-b)}$

Onde utilizamos a propriedade do deslocamento no eixo t e deslocamento no eixo s

Ver também

• Teorema de Picard-Lindelöf, estabelece soluções para certos problemas de valor inicial.
• Problema de condições de fronteira