Mostrar código-fonte de Base (álgebra linear)

[[Ficheiro:Vector 1-form.svg|miniaturadaimagem|Vector e covector ]]
Na [[álgebra linear]], uma ''base'' de um [[espaço vetorial|espaço vectorial]] é um [[conjunto]] de [[Vetor (espacial)|vetores]] [[independência linear|linearmente independentes]] que [[Espaço vectorial gerado|geram]] esse espaço.<ref name="callioli-76–77">Callioli 1990, p. 76–77</ref>

== Definição ==
Se <math>E</math> é um [[espaço vectorial]] sobre um [[corpo (matemática)|corpo]] <math>K,</math> chama-se ''base de <math>E</math>'' a um [[conjunto]] de vectores de <math>E</math> [[independência linear|linearmente independentes]] que [[espaço vectorial gerado|gera]] <math>E.</math> 

== Exemplos ==
* O espaço vectorial <math>\mathbb{R}^n</math> tem por base o conjunto<ref name="callioli-77">Callioli 1990, p. 77</ref>
: <math>\{(1,0,0,\ldots,0,0),(0,1,0,\ldots,0,0),\ldots,(0,0,0,\ldots,0,1)\},</math>
que se denomina a sua ''base canónica''.
* No [[plano (geometria)|plano]]  <math>\mathbb{R}^2,</math> a [[recta]] de equação <math>y=mx</math> tem por base o conjunto <math>\{(1,m)\}.</math> 
* O espaço vectorial dos [[polinómio]]s p(x) de coeficientes reais tem uma base infinita, o conjunto <math>\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}.</math> 
* Cada corpo ''K'' pode ser considerado como um espaço vectorial sobre ele mesmo. Neste caso, qualquer elemento não-nulo <math>a</math> forma uma base <math>\{a\}.</math> 
* O espaço vectorial formado pelo vetor nulo <math>\{0\}</math> tem como base o [[conjunto vazio]].<ref name="callioli-77"/>
* Seja <math>\alpha \in L</math> um elemento algébrico sobre o corpo <math>K,</math> sendo <math>L</math> uma extensão de <math>K.</math> Então existe um [[polinômio]] <math>p(x)</math> com coeficientes em <math>K</math> tal que <math>p(x)=0.</math> Podemos definir <math>n,</math> o grau de <math>\alpha</math> em <math>K,</math> como o menor grau dos polinômios <math>p(x)</math> em que <math>p(x)=0.</math> Então <math>K[\alpha]</math> é uma [[extensão algébrica]] de <math>K</math> e, portanto, podemos considerar <math>K[\alpha]</math> como um espaço vetorial sobre <math>K.</math> Neste caso, a sua base é <math>\{1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}\}.</math> 

== Cardinalidade e dimensão ==
Um espaço vectorial pode ter mais de uma base. De facto, um espaço vectorial só pode ter uma única base nos seguintes casos:
* o espaço formado só por <math>0</math> sobre qualquer corpo (a base é o conjunto vazio);
* o espaço <math>\mathbb{Z}_2</math> como espaço vectorial sobre o corpo <math>\mathbb{Z}_2</math> (a base é {<math>1</math>}).
Os seguintes resultados, porém, são válidos:

* Se um espaço vectorial tem uma base <math>B</math> finita, então todas as outras bases também são finitas, e têm a mesma [[cardinalidade]].<ref name="callioli-101">Callioli 1990, p. 101</ref>
* De modo geral, supondo-se o [[axioma da escolha]], duas bases de um espaço vectorial <math>V</math> tem a mesma cardinalidade (mesmo se a base for um conjunto infinito). Esta cardinalidade designa-se por ''dimensão'' de <math>V.</math><ref name="callioli-78">Callioli 1990, p. 78</ref> Um espaço vectorial que possui uma de suas bases formada por 3 vectores, por exemplo, é um espaço vetorial de dimensão 3.

== Existência ==

Usando-se uma forma equivalente do axioma da escolha, o [[Lema de Zorn]], é fácil mostrar que todo espaço vectorial <math>V</math> tem uma base e, mais geralmente, provar que, para qualquer conjunto <math>S</math> [[independência linear|linearmente independente]] de vectores de <math>V,</math> existe uma base <math>B</math> de <math>V</math> que contém <math>S.</math> Seja <math>L</math> o conjunto de todos as partes linearmente independentes de <math>V</math> que contêm <math>S.</math> O conjunto <math>L</math> está [[Relação de ordem#Relação de Ordem Parcial|parcialmente ordenado]] pela inclusão de conjuntos. Seja <math>F</math> uma parte de <math>L</math> [[Relação de ordem#Relação de ordem total|totalmente ordenada]]. Então <math>F</math> é majorado; basta ver que a união de todos os elementos de <math>F</math> é novamente linearmente independente e contém <math>S</math> (ou seja, pertence a <math>L</math>) e que contém todos os elementos de <math>F.</math> O lema de Zorn afirma então que <math>L</math> tem algum elemento maximal <math>B.</math> Então, como <math>B</math>&nbsp;&isin;&nbsp;<math>L,</math> <math>B</math> é linearmente independente e contém <math>S.</math> Se <math>B</math> não gerasse <math>V,</math> haveria algum vector <math>v</math>&nbsp;&isin;&nbsp;<math>V</math> que não seria [[combinação linear]] de elementos de <math>B.</math> Então <math>B</math>&nbsp;&cup;&nbsp;<math>\{v\}</math> seria também um conjunto linearmente independente que conteria <math>S.</math> Mas <math>B</math>&nbsp;&sub;&nbsp;<math>B</math>&nbsp;&cup;&nbsp;<math>\{v\}</math> e <math>B</math>&nbsp;&ne;&nbsp;<math>B</math>&nbsp;&cup;&nbsp;<math>\{v\},</math> o que está em contradição com <math>B</math> ser um elemento maximal de <math>L.</math> Logo, <math>B</math> gera <math>V</math> e, portanto, é uma base.

== Subespaços vectoriais ==

Se o espaço vectorial <math>V</math> tem uma base <math>B,</math> e <math>W</math> é um [[subespaço vetorial|subespaço vectorial]] de <math>V,</math> então <math>W</math> tem uma base <math>B_1</math> com as seguintes propriedades:

* Se <math>B</math> é um [[conjunto finito]] e <math>W</math> é um [[conjunto#Subconjuntos próprios e impróprios|subconjunto próprio]] de <math>V,</math> então <math>B_1</math> [[número cardinal|tem menos elementos que]] <math>B.</math> 
* No caso geral, pode-se apenas afirmar que a [[número cardinal|cardinalidade]] de <math>B_1</math> é menor ou igual que a de <math>B.</math> 

Outra propriedade importante é a seguinte:
* Se ''W'' é um subespaço vectorial de ''V'', e ''W'' tem uma base ''B<sub>1</sub>'', então existe uma base ''B'' de ''V'' tal que ''B<sub>1</sub>'' é um subconjunto de ''B''.
Este resultado, no caso infinito, depende do [[axioma da escolha]].

== Interpretação ==
Uma boa forma de interpretar o conceito de Base é pensar nas cores primárias: se misturarmos amarelo, magenta e azul ciano nas proporções correctas podemos criar qualquer outra cor que desejemos. Além do mais, tal proporção é única para a cor desejada.  Da mesma forma, uma Base permite-nos, de maneira única,  combinar linearmente ("misturar") os seus vectores ("cores primárias") para obtermos o vector ("a cor") que pretendemos.

== Referências ==
<references />

== Bibliografia ==
* {{Citar livro|nome=Carlos A. |sobrenome=Callioli |coautor= Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa |título=Álgebra Linear e Aplicações |edição=6 |local= São Paulo |editora=Atual |ano=1990 |id=ISBN 9788570562975}}

== Ligação Externa ==
* [http://grad.educacionalplenus.com.br/algebra-linear-base-e-dimensao-exercicio-1/ Bases, subespaços e somas diretas (exemplo) - ''Lima, L. Elon''.]
{{Álgebra linear}}

[[Categoria:Álgebra linear]]