Mostrar código-fonte de Bhaskara II

{{Ver desambig|este=o matemático do século XII|o matemático do século VII|Bhaskara I}}
{{Info/Biografia/Wikidata
|nome              =Bhaskara Akaria
|legenda           =Bhaskara Akaria
|nascimento_data   ={{dni|||1114|si}}
|nascimento_local  =[[Chalisgaon]], [[Índia]]
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|conhecido_por     ={{Lista simples|
*[[Aritmética]]
*[[Álgebra]]
*[[Trigonometria]]
*[[Equação de Pell]]
}}
}}
'''Bhaskara Akaria,''' também conhecido como '''Bhaskara II''' ([[Chalisgaon]], [[1114]] — [[Ujjain]], [[1185]]) foi um [[matemático]], [[astrônomo]] e [[astrólogo]] [[indianos|indiano]]. De família de [[astrólogo]]s [[indianos]] tradicionais, o pai, astromante de renome, chamava-se de Mahesvara. Nesse contexto, Bhaskara seguiu a tradição familiar porém dedicou-se sobretudo à [[Matemática]] e à [[Astronomia]], que na época ainda se relacionavam com a crença na Astrologia.<ref>{{citar web|url=http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html|título=Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara?|autor=UFRGS|data=|publicado=|acessodata=9 de julho de 2015}}</ref>

Bhaskaracharya foi um dos mais importantes [[matemático]]s do [[século XII]] e o último significativo daquela época. Foi também chefe do observatório astronômico de Ujjain, escola de matemática muito bem conceituada no período. Bhaskara morreu aos 71 anos de idade, em [[Ujjain]], na Índia.

Tornou-se famoso por ter complementado a obra do ilustre matemático e astrônomo indiano [[Brahmagupta]] (598-668), dando a solução geral da equação {{math|1=''x''<sup>2</sup> - ''ny''<sup>2</sup> = 1}}, onde {{mvar|n}}, {{mvar|x}} e {{mvar|y}} são naturais e {{mvar|n}} maior que 1, chamada de [[equação de Pell]].<ref>{{citar web|url=http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=422|título=A equação que nunca foi de Pell|autor=Antonio Machiavelo|data=|publicado=|acessodata=9 de julho de 2015}}</ref> Nesta equação, a única solução, se {{mvar|n}} tiver raiz exata, é {{math|1=''x'' = &pm; 1}} e {{math|1=''y'' = 0}}. Porém, se {{mvar|n}} não tiver raiz exata, então existem infinitas soluções inteiras.

É também de Bhaskaracharya a identidade
<math display="block">\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}},</math>
chamada de radical duplo.<ref>{{citar livro|autor=Horward Eves|título=Introdução a História da Matemática|editora=UNICAMP|ano=2007|páginas=256}}</ref>

==A forma do radical duplo==
'''Exemplo 1:''' A solução da equação <math>x^2-4y^2=1</math> é <math>x=\pm1</math> e <math>y=0.</math>

'''Exemplo 2:''' Algumas soluções inteiras da equação <math>x^2-2y^2=1</math> são <math>(17,12),</math> <math>(99,70),</math> e <math>(19601,13860.)</math>

'''Exemplo 3:''' <math>\sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{(5)^2-24}}{2}}+\sqrt{\frac{5-\sqrt{(5)^2-24}}{2}}=</math> <math>\sqrt{\frac{5+\sqrt{25-24}}{2}}+\sqrt{\frac{5-\sqrt{25-24}}{2}}=</math>
<math>\sqrt{\frac{5+\sqrt{1}}{2}}+\sqrt{\frac{5-\sqrt{1}}{2}}=</math>
<math>\sqrt{\frac{5+1}{2}}+\sqrt{\frac{5-1}{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}+\sqrt{\frac{4}{2}}\to</math>
<math>\sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.</math>

==Publicações==
Bhaskara escreveu seis livros comprovados que são:

*''Siddhantasiromani'', dedicado a assuntos astronômicos
*''Lilavati''
*''Bijaganita'', um tratado sobre [[Álgebra]]
*''Vasanabhasya de Mitaksara''
*''Karanakutuhala'' ou ''Brahmatulya''
*''Vivarana''

O livro ''Siddhantasiromani'' foi escrito em 1150 e está dividido em duas partes: Goladhyaya-Esfera Celeste e Granaganita-Matemática dos Planetas. Esses dois livros tratam sobre trigonometria e matemática aplicada à astronomia. Nesta obra encontram-se a soma e diferença de senos de dois ângulos, ou seja, <math>sen(a+b) = sen\ a \cdot cos\ b + sen\ b \cdot cos\ a</math> e  <math>sen(a-b) = sen\ a \cdot cos\ b - sen\ b \cdot cos\ a</math>.<ref>{{citar web|url=http://pnld.moderna.com.br/2012/03/28/a-falsa-formula-de-bhaskara/|título=A falsa fórmula de Bhaskara|autor=Katia Dutra|data=28 de março de 2012|acessodata=9 de julho de 2015}}</ref>

''Lilavati'' (significa formosa e bela, em [[sânscrito]]), é a sua obra mais importante e leva o nome de sua filha.O livro foi composto em forma de poema com 278 versos e possui finalidade lúdica. Este livro ganhou grande popularidade na Índia durante o tempo de Akbar (1556-1605). Foi sob a ordem deste imperador que Abul Faizi, o poeta da corte, preparou a tradução integral, o Tarjamah-i-Lilavati em 1587 d.C.. Refere-se a vários assuntos,tais como: [[sistema de numeração]], operações fundamentais, [[fração|frações]], [[regra de três]] simples e composta, misturas, [[porcentagem]], [[progressões]], [[geometria]] e equações indeterminadas, ou [[equação diofantina|diofantinas]], [[equação quadrática|quadráticas]] e também a [[equação de Pell]].

Existe uma lenda em torno do nome desse livro que diz:

''Lilavati era o nome da filha de Bhaskaracarya. Ao lançar o seu horóscopo, ele descobriu que o momento auspicioso para o casamento seria uma hora específica em um determinado dia. Bhaskaracarya marcou com o cilindro do tempo [os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com o auxílio de um cilindro colocado num vaso cheio d'água. Esse cilindro era aberto apenas em cima e apresentava um pequeno orifício no centro da superfície da base para a entrada da água a hora específica para o matrimônio. Quando tudo estava pronto e o cilindro do tempo iniciará a marcar a hora propícia para o casamento, Lilavati, de repente, por curiosidade, inclinou-se sobre o recipiente e uma pérola de seu vestido caiu no copo e bloqueou o buraco. A hora da sorte passou sem que o cilindro marcasse. Bhaskarachaya acreditava que a única maneira de consolar a filha abatida, que agora nunca iria se casar, era escrever-lhe um manual de matemática!''<ref>{{citar livro|autor=Jussara Pereira Fernandes|título=O Lilavati de Bhaskaracarya e o Sistema Métrico Moderno: qual o denominador comum para o ensino de Ciências e Matemática?|ano=2013|páginas=7}}</ref>

== A fórmula para encontrar as raízes da equação quadrática ==
{{AP|Fórmula quadrática}}
{{AP|Equação do 2º grau}}

No mundo acadêmico é comum dar o nome do pesquisador à sua obra. No [[Brasil]], por volta de 1960,{{carece de fontes|data=abril de 2023}} o nome de Bhaskara passou a designar a fórmula de resolução da equação do 2º grau. Não se vê essa nomeclatura em outros países, mesmo porque não foi ele quem a descobriu. Historicamente existem registros de sua existência cerca de 4000 anos antes, em textos escritos pelos babilônios. Naquela época não existia a simbologia utilizada hoje, ou seja, não havia a fórmula atual, mas sim uma espécie de "receita" de como proceder para encontrar as raízes da [[equação quadrática]]. Na [[Grécia]] (500 a.C.) também já se conhecia a resolução de algumas equações e era feito de forma geométrica. O método empregado por Bhaskara nas resoluções das equações quadráticas é do matemático indiano {{ill|en|Sridhara}} (870-930 d.C.) e reconhecido pelo próprio Bhaskara.<ref>[http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara?]</ref> A fórmula para extrair essas raízes veio com um matemático francês, [[François Viète]] (1540-1603), que foi quem procurou dar um tratamento mais formal e algébrico para obter uma fórmula geral.

Atualmente as equações quadráticas são utilizadas em diversos problemas do dia a dia, tais como otimização, massa corpórea, nos movimentos uniformemente variados, [[cálculo]] de [[área]], entre tantos outros. Sua demonstração é considerada simples e será feita logo abaixo:

Uma equação do segundo grau é da forma <math>ax^2+bx+c=0,</math> com <math>a, b, c\in \mathbb{R}</math> e <math>a\neq0.</math> Sua Fórmula  de resolução é <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},</math> ou seja, suas raízes são:

<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> e <math>x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math>

A demonstração será realizada de duas maneiras, embora a ideia central é a mesma, que é a de completar quadrados:

Primeira demonstração<ref>{{citar web|url=https://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22008/WellingtonJoseFerreira.pdf|título=História das soluções das equações por meio de radicais|autor=Wellington José Ferreira|data=|publicado=|acessodata=9 de julho de 2015}}</ref>:

<math>ax^2+bx+c=0</math> (divida tudo por <math>a</math>)

<math>x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0</math> (some a ambos os lados o termo <math>-c/a)</math>

<math>x^2+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}</math> (some a ambos os lados da igualdade o termo <math>\frac{b^2}{4a^2}.</math> Note que a equação continua sendo verdadeira)

<math>x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}</math> (Transforme o lado esquerdo da igualdade num produto notável e tire o <math>M.M.C.</math> do lado direito.)

<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}</math> (extraia a [[raiz quadrada]])

<math>x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}</math> (some a ambos os lados da igualdade o termo <math>-b/2a</math>)

<math>x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\to x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

Segunda demonstração:

<math>ax^2+bx+c=0</math> (multiplique a equação por <math>4a</math>)

<math>4a^2x^2+4abx+4ac=0</math> (some a ambos os lados da igualdade o termo <math>-4ac)</math>

<math>4a^2x^2+4abx=-4ac</math> (some a ambos os lados da igualdade o termo <math>b^2.</math> Note que a equação continua sendo verdadeira)

<math>4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac</math> (Transforme o lado esquerdo da igualdade num produto notável.)

<math>(2ax+b)^2=b^2-4ac</math> (extraia a raiz quadrada)

<math>2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}</math> (some a ambos os lados da igualdade o termo <math>-b</math>)

<math>2ax=-b\pm\sqrt{b^2-4ac}</math> (divida tudo por <math>2a</math>)

<math>\frac{2ax}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\to x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

=== Aplicações e exemplos ===
'''Exemplo 4:''' Encontre as raízes reais da equação <math>x^2+x-6=0.</math>

Solução: Da equação dada obtemos <math>a=1, b=1, c=-6</math> e substituindo na fórmula temos:

<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{(1)^2-4(1)(-6)}}{2(1)}=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}\to</math>

<math>x_1=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2</math> e <math>x_2=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3.</math> Portanto, <math>S=\{-3,2\}.</math>

Teorema de [[Girolamo Cardano|Cardano]]-[[Viète]] (para equações quadráticas)

Dada a equação na forma <math>ax^2+bx+c=0,</math> com <math>a\neq0,</math> de raízes reais <math>x_1</math> e <math>x_2,</math> representa-se
a soma das raízes por <math>S</math> e o produto por <math>P.</math> Então temos:

<math>S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}</math> e <math>P=x_1*x_2=\frac{c}{a}.</math>

Demonstração: Temos que <math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> e <math>x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},</math> então

<math>S=x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}</math> e

<math>P=x_1*x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)*\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)=\frac{(-b)^2+(\sqrt{b^2-4ac})^2}{2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.</math>

'''Exemplo 5:''' Encontra a soma e o produto das raízes da equação <math>2x^2-3x-6=0</math>; sem ter que determinar as raízes da equação.

Solução: <math>S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-(-3)}{2}=\frac{3}{2}</math> e <math>P=x_1*x_2=\frac{c}{a}=\frac{-6}{2}=-3</math>

'''Exemplo 6:''' Na equação <math>3x^2-5x+7=0,</math> de raízes <math>x_1</math>  e <math>x^2,</math> determine o valor da expressão <math>\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x^2}.</math>

Solução: Dado <math>\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x^2}=\frac{x_2+x_1}{x_1*x_2},</math> mas <math>S=x_1+x_2=\frac{-(-5)}{3}=\frac{5}{3}</math> e <math>P=x_1*x_2=\frac{7}{3},</math> então <math>\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x^2}=\frac{S}{P}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}.</math>

Análise das raízes da equação quadrática:

O termo <math>b^2-4ac</math> é chamado de <math>\Delta</math> (delta), ou discriminante, ou seja, <math>\Delta=b^2-4ac.</math> Sendo assim, a equação

<math>ax^2+bx+c=0,</math> com <math>a\neq0</math> terá ou não solução no conjunto dos números reais se:

<math>\Delta>0</math> existem duas raízes reais e distintas;

<math>\Delta=0</math> existem duas raízes reais e iguais, também chamadas de raízes duplas;

<math>\Delta<0 </math> não existem raízes reais;

<math>\Delta\geq0</math> existem raízes reais.

'''Exemplo 7:''' Qual o valor de <math>m</math> para que a equação <math>2x^2+x+m=0</math> tenha raízes reais e distintas.

Solução: Neste caso, <math>\Delta=b^2-4ac>0,</math> então <math>(1)^2-4(2)(m)>0\to1-8m>0\to8m<1\to m<1/8.</math>

'''Exemplo 8:''' Qual o valor de <math>m</math> para que a equação <math>x^2+mx+4=0</math> tenha raízes reais e iguais.

Solução: Neste caso, <math>\Delta=b^2-4ac=0,</math> então <math>(m)^2-4(1)(4)=0\to m^2-16=0\to m^2=16\to m=\pm\sqrt{16}\to m=\pm4.</math>

'''Exemplo 9:''' Qual o valor de <math>m</math> para que a equação <math>9x^2+6x+m=0</math> tenha raízes reais.

Solução: Neste caso, <math>\Delta=b^2-4ac\geq0,</math> então <math>(6)^2-4(9)(m)\geq0\to 36-36m\geq0\to 36m\leq36\to m\leq1.</math>

'''Exemplo 10:''' Qual o valor de <math>m</math> para que a equação <math>mx^2+2x+3=0</math> não tenha raízes reais.

Solução: Neste caso, <math>\Delta=b^2-4ac<0,</math> então <math>(2)^2-4(m)(3)<0\to4-12m<0\to12m>4\to m>1/3.</math>

==Ver também==
*[[Lema de Bhaskara]]
*[[Equação do 2º grau]]

{{Referências}}


{{Esboço-matemático}}

{{Portal3|matemática}}

{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:Matemáticos da Índia do século XII]]