Bhaskara II

Predefinição:Ver desambig Predefinição:Info/Biografia/Wikidata Bhaskara Akaria, também conhecido como Bhaskara II (Chalisgaon, 1114 — Ujjain, 1185) foi um matemático, astrônomo e astrólogo indiano. De família de astrólogos indianos tradicionais, o pai, astromante de renome, chamava-se de Mahesvara. Nesse contexto, Bhaskara seguiu a tradição familiar porém dedicou-se sobretudo à Matemática e à Astronomia, que na época ainda se relacionavam com a crença na Astrologia.^[1]

Bhaskaracharya foi um dos mais importantes matemáticos do século XII e o último significativo daquela época. Foi também chefe do observatório astronômico de Ujjain, escola de matemática muito bem conceituada no período. Bhaskara morreu aos 71 anos de idade, em Ujjain, na Índia.

Tornou-se famoso por ter complementado a obra do ilustre matemático e astrônomo indiano Brahmagupta (598-668), dando a solução geral da equação Predefinição:Math, onde Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar são naturais e Predefinição:Mvar maior que 1, chamada de equação de Pell.^[2] Nesta equação, a única solução, se Predefinição:Mvar tiver raiz exata, é Predefinição:Math e Predefinição:Math. Porém, se Predefinição:Mvar não tiver raiz exata, então existem infinitas soluções inteiras.

É também de Bhaskaracharya a identidade $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2}},$ chamada de radical duplo.^[3]

A forma do radical duplo

Exemplo 1: A solução da equação $x^{2} - 4 y^{2} = 1$ é $x = \pm 1$ e $y = 0 .$

Exemplo 2: Algumas soluções inteiras da equação $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ são $(17, 12),$ $(99, 70),$ e $(19601, 13860 .)$

Exemplo 3: $\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{(5)^{2} - 24}}{2}} + \sqrt{\frac{5 - \sqrt{(5)^{2} - 24}}{2}} =$ $\sqrt{\frac{5 + \sqrt{25 - 24}}{2}} + \sqrt{\frac{5 - \sqrt{25 - 24}}{2}} =$ $\sqrt{\frac{5 + \sqrt{1}}{2}} + \sqrt{\frac{5 - \sqrt{1}}{2}} =$ $\sqrt{\frac{5 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{5 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} + \sqrt{\frac{4}{2}} \to$ $\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} .$

Publicações

Bhaskara escreveu seis livros comprovados que são:

Siddhantasiromani, dedicado a assuntos astronômicos
Lilavati
Bijaganita, um tratado sobre Álgebra
Vasanabhasya de Mitaksara
Karanakutuhala ou Brahmatulya
Vivarana

O livro Siddhantasiromani foi escrito em 1150 e está dividido em duas partes: Goladhyaya-Esfera Celeste e Granaganita-Matemática dos Planetas. Esses dois livros tratam sobre trigonometria e matemática aplicada à astronomia. Nesta obra encontram-se a soma e diferença de senos de dois ângulos, ou seja, $s e n (a + b) = s e n a \cdot c o s b + s e n b \cdot c o s a$ e $s e n (a - b) = s e n a \cdot c o s b - s e n b \cdot c o s a$ .^[4]

Lilavati (significa formosa e bela, em sânscrito), é a sua obra mais importante e leva o nome de sua filha.O livro foi composto em forma de poema com 278 versos e possui finalidade lúdica. Este livro ganhou grande popularidade na Índia durante o tempo de Akbar (1556-1605). Foi sob a ordem deste imperador que Abul Faizi, o poeta da corte, preparou a tradução integral, o Tarjamah-i-Lilavati em 1587 d.C.. Refere-se a vários assuntos,tais como: sistema de numeração, operações fundamentais, frações, regra de três simples e composta, misturas, porcentagem, progressões, geometria e equações indeterminadas, ou diofantinas, quadráticas e também a equação de Pell.

Existe uma lenda em torno do nome desse livro que diz:

Lilavati era o nome da filha de Bhaskaracarya. Ao lançar o seu horóscopo, ele descobriu que o momento auspicioso para o casamento seria uma hora específica em um determinado dia. Bhaskaracarya marcou com o cilindro do tempo [os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com o auxílio de um cilindro colocado num vaso cheio d'água. Esse cilindro era aberto apenas em cima e apresentava um pequeno orifício no centro da superfície da base para a entrada da água a hora específica para o matrimônio. Quando tudo estava pronto e o cilindro do tempo iniciará a marcar a hora propícia para o casamento, Lilavati, de repente, por curiosidade, inclinou-se sobre o recipiente e uma pérola de seu vestido caiu no copo e bloqueou o buraco. A hora da sorte passou sem que o cilindro marcasse. Bhaskarachaya acreditava que a única maneira de consolar a filha abatida, que agora nunca iria se casar, era escrever-lhe um manual de matemática!^[5]

A fórmula para encontrar as raízes da equação quadrática

Predefinição:AP Predefinição:AP

No mundo acadêmico é comum dar o nome do pesquisador à sua obra. No Brasil, por volta de 1960,Predefinição:Carece de fontes o nome de Bhaskara passou a designar a fórmula de resolução da equação do 2º grau. Não se vê essa nomeclatura em outros países, mesmo porque não foi ele quem a descobriu. Historicamente existem registros de sua existência cerca de 4000 anos antes, em textos escritos pelos babilônios. Naquela época não existia a simbologia utilizada hoje, ou seja, não havia a fórmula atual, mas sim uma espécie de "receita" de como proceder para encontrar as raízes da equação quadrática. Na Grécia (500 a.C.) também já se conhecia a resolução de algumas equações e era feito de forma geométrica. O método empregado por Bhaskara nas resoluções das equações quadráticas é do matemático indiano Predefinição:Ill (870-930 d.C.) e reconhecido pelo próprio Bhaskara.^[6] A fórmula para extrair essas raízes veio com um matemático francês, François Viète (1540-1603), que foi quem procurou dar um tratamento mais formal e algébrico para obter uma fórmula geral.

Atualmente as equações quadráticas são utilizadas em diversos problemas do dia a dia, tais como otimização, massa corpórea, nos movimentos uniformemente variados, cálculo de área, entre tantos outros. Sua demonstração é considerada simples e será feita logo abaixo:

Uma equação do segundo grau é da forma $a x^{2} + b x + c = 0,$ com $a, b, c \in ℝ$ e $a \neq 0 .$ Sua Fórmula de resolução é $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a},$ ou seja, suas raízes são:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ e $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

A demonstração será realizada de duas maneiras, embora a ideia central é a mesma, que é a de completar quadrados:

Primeira demonstração^[7]:

$a x^{2} + b x + c = 0$ (divida tudo por $a$ )

$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$ (some a ambos os lados o termo $- c / a)$

$x^{2} + \frac{b x}{a} = - \frac{c}{a}$ (some a ambos os lados da igualdade o termo $\frac{b^{2}}{4 a^{2}} .$ Note que a equação continua sendo verdadeira)

$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}$ (Transforme o lado esquerdo da igualdade num produto notável e tire o $M . M . C .$ do lado direito.)

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ (extraia a raiz quadrada)

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$ (some a ambos os lados da igualdade o termo $- b / 2 a$ )

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \to x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Segunda demonstração:

$a x^{2} + b x + c = 0$ (multiplique a equação por $4 a$ )

$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0$ (some a ambos os lados da igualdade o termo $- 4 a c)$

$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c$ (some a ambos os lados da igualdade o termo $b^{2} .$ Note que a equação continua sendo verdadeira)

$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} = b^{2} - 4 a c$ (Transforme o lado esquerdo da igualdade num produto notável.)

$(2 a x + b)^{2} = b^{2} - 4 a c$ (extraia a raiz quadrada)

$2 a x + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ (some a ambos os lados da igualdade o termo $- b$ )

$2 a x = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ (divida tudo por $2 a$ )

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \to x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Aplicações e exemplos

Exemplo 4: Encontre as raízes reais da equação $x^{2} + x - 6 = 0 .$

Solução: Da equação dada obtemos $a = 1, b = 1, c = - 6$ e substituindo na fórmula temos:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4 (1) (- 6)}}{2 (1)} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{- 1 \pm 5}{2} \to$

$x_{1} = \frac{- 1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$ e $x_{2} = \frac{- 1 - 5}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3 .$ Portanto, $S = {- 3, 2} .$

Teorema de Cardano-Viète (para equações quadráticas)

Dada a equação na forma $a x^{2} + b x + c = 0,$ com $a \neq 0,$ de raízes reais $x_{1}$ e $x_{2},$ representa-se a soma das raízes por $S$ e o produto por $P .$ Então temos:

$S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ e $P = x_{1} * x_{2} = \frac{c}{a} .$

Demonstração: Temos que $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ e $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a},$ então

$S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} - b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = \frac{- b}{a}$ e

$P = x_{1} * x_{2} = (\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) * (\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) = \frac{(- b)^{2} + (\sqrt{b^{2} - 4 a c})^{2}}{2 a} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} .$

Exemplo 5: Encontra a soma e o produto das raízes da equação $2 x^{2} - 3 x - 6 = 0$ ; sem ter que determinar as raízes da equação.

Solução: $S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{- (- 3)}{2} = \frac{3}{2}$ e $P = x_{1} * x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Exemplo 6: Na equação $3 x^{2} - 5 x + 7 = 0,$ de raízes $x_{1}$ e $x^{2},$ determine o valor da expressão $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x^{2}} .$

Solução: Dado $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{x_{2} + x_{1}}{x_{1} * x_{2}},$ mas $S = x_{1} + x_{2} = \frac{- (- 5)}{3} = \frac{5}{3}$ e $P = x_{1} * x_{2} = \frac{7}{3},$ então $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{S}{P} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{5}{7} .$

Análise das raízes da equação quadrática:

O termo $b^{2} - 4 a c$ é chamado de $Δ$ (delta), ou discriminante, ou seja, $Δ = b^{2} - 4 a c .$ Sendo assim, a equação

$a x^{2} + b x + c = 0,$ com $a \neq 0$ terá ou não solução no conjunto dos números reais se:

$Δ > 0$ existem duas raízes reais e distintas;

$Δ = 0$ existem duas raízes reais e iguais, também chamadas de raízes duplas;

$Δ < 0$ não existem raízes reais;

$Δ \geq 0$ existem raízes reais.

Exemplo 7: Qual o valor de $m$ para que a equação $2 x^{2} + x + m = 0$ tenha raízes reais e distintas.

Solução: Neste caso, $Δ = b^{2} - 4 a c > 0,$ então $(1)^{2} - 4 (2) (m) > 0 \to 1 - 8 m > 0 \to 8 m < 1 \to m < 1 / 8 .$

Exemplo 8: Qual o valor de $m$ para que a equação $x^{2} + m x + 4 = 0$ tenha raízes reais e iguais.

Solução: Neste caso, $Δ = b^{2} - 4 a c = 0,$ então $(m)^{2} - 4 (1) (4) = 0 \to m^{2} - 16 = 0 \to m^{2} = 16 \to m = \pm \sqrt{16} \to m = \pm 4 .$

Exemplo 9: Qual o valor de $m$ para que a equação $9 x^{2} + 6 x + m = 0$ tenha raízes reais.

Solução: Neste caso, $Δ = b^{2} - 4 a c \geq 0,$ então $(6)^{2} - 4 (9) (m) \geq 0 \to 36 - 36 m \geq 0 \to 36 m \leq 36 \to m \leq 1 .$

Exemplo 10: Qual o valor de $m$ para que a equação $m x^{2} + 2 x + 3 = 0$ não tenha raízes reais.

Solução: Neste caso, $Δ = b^{2} - 4 a c < 0,$ então $(2)^{2} - 4 (m) (3) < 0 \to 4 - 12 m < 0 \to 12 m > 4 \to m > 1 / 3 .$

Ver também

Predefinição:Referências

Predefinição:Esboço-matemático

Predefinição:Portal3

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[1] Predefinição:Citar web

[2] Predefinição:Citar web

[3] Predefinição:Citar livro

[4] Predefinição:Citar web

[5] Predefinição:Citar livro

[6] Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara?

[7] Predefinição:Citar web

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

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A forma do radical duplo

Publicações

A fórmula para encontrar as raízes da equação quadrática

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