Mostrar código-fonte de Classe de equivalência

{{revisão|data=Março de 2008}}
Em [[matemática]],  dado um [[conjunto]] <math>X \,</math> com uma [[relação de equivalência]] <math>\sim\,</math>, a '''classe de equivalência''' de um elemento <math>a  \in  X \,</math> é o subconjunto de todos os elementos de  <math>X \,</math> que são equivalentes a <math>a \,</math>.

:*<math>[a] = \{ x \in X\quad |\quad a \sim x \}</math>

== Exemplo ==
* Seja ''~'' a relação de equivalência definida no conjunto dos [[números inteiros]] <math>\mathbb{Z}\,</math> por ''x ~ y'' quando ''x - y'' for um número par. Então <math>\ldots = [-3] = [-1] = [1] = [3] = \ldots\,</math> é uma classe de equivalência, o conjunto dos número ímpares. Analogamente, <math>\ldots = [-2] = [0] = [2] = \ldots\,</math> é outra classe de equivalência.

== Propriedades ==
* Se <math>x \sim y \Rightarrow [x] = [y]</math>;
* Classes de equivalência diferentes não têm elementos em comum: Se <math> [x] \ne [y] </math> então  <math> [x] \cap [y] = \varnothing </math>;
* Estas duas propriedades acima podem ser resumidas na seguinte: <math> \forall x, y \in X \ ([x] = [y] \ \lor \ [x] \cap [y] = \varnothing ) </math>;
* A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: <var>X</var> = <math>\cup_{\forall x\in X}</math>  [x].

Podemos reunir todas as classes de equivalência de  <var>X</var> em um conjunto chamado '''[[conjunto quociente]]''' de <var>X</var>:

<math> X/\sim  = \{ [x]\quad | \quad x \in X \} </math>

Note que, como para cada elemento <math> x \in X</math> podemos associar um elemento de <math>[x] \in X/\sim </math>, existe uma função natural de <math>X  \rightarrow X/\sim</math>. Esta função é chamada de '''[[projeção canônica]]'''.

== Representantes ==
Uma questão importante com uma resposta não trivial é ''em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?''

Para ilustrar, vamos construir o [[conjunto de Vitali]]: ele parte da relação de equivalência em <math>\left[ 0 , 1 \right] \in \R\,</math> definida por <math>x \sim y \leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}\,</math>, e tenta obter um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.

Na [[ZFC|teoria dos conjuntos]], esse problema é resolvido pelo [[axioma da escolha]], cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:

: Seja  <math>\sim\,</math>  uma relação de equivalência em um conjunto ''X''. Então existe um conjunto <math>X_1 \subset X\,</math> que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.

{{esboço-matemática}}

{{DEFAULTSORT:Classe Equivalencia}}
[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]

[[de:Äquivalenzrelation#Äquivalenzklassen]]
[[nl:Equivalentierelatie#Equivalentieklasse]]