Classe de equivalência

Predefinição:Revisão Em matemática, dado um conjunto $X$ com uma relação de equivalência $\sim$, a classe de equivalência de um elemento $a\in X$ é o subconjunto de todos os elementos de $X$ que são equivalentes a $a$.

• $[a]=\{x\in X|a\sim x\}$

Exemplo

• Seja ~ a relação de equivalência definida no conjunto dos números inteiros $\mathbb{Z}$ por x ~ y quando x - y for um número par. Então $\dots =[-3]=[-1]=[1]=[3]=\dots$ é uma classe de equivalência, o conjunto dos número ímpares. Analogamente, $\dots =[-2]=[0]=[2]=\dots$ é outra classe de equivalência.

Propriedades

• Se $x\sim y\Rightarrow [x]=[y]$;
• Classes de equivalência diferentes não têm elementos em comum: Se $[x]\ne [y]$ então $[x]\cap [y]=\varnothing$;
• Estas duas propriedades acima podem ser resumidas na seguinte: $\mathrm{\forall }x,y\in X([x]=[y]\vee [x]\cap [y]=\varnothing )$;
• A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: X = ${\cup }_{\mathrm{\forall }x\in X}$ [x].

Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X:

$X/\sim =\{[x]|x\in X\}$

Note que, como para cada elemento $x\in X$ podemos associar um elemento de $[x]\in X/\sim$, existe uma função natural de $X\to X/\sim$. Esta função é chamada de projeção canônica.

Representantes

Uma questão importante com uma resposta não trivial é em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?

Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em $[0,1]\in ℝ$ definida por $x\sim y\leftrightarrow x-y\in \mathbb{Q}$, e tenta obter um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.

Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:

Seja $\sim$ uma relação de equivalência em um conjunto X. Então existe um conjunto $X_1\subset X$ que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.