Conjunto de Vitali

Na matemática, um conjunto de Vitali é um subconjunto dos números reais, que pode ser construído, mas cuja existência é consequência do axioma da escolha, e que serve como contra-exemplo para várias propriedades ou como bloco construtor de vários paradoxos.

Em resumo, ele é um conjunto de números reais tal que qualquer número real é a soma de um único elemento dele e um único número racional.

Construção

Seja $x\sim y$ a relação em $[0,1]\subset ℝ$ definida por $x\sim y\iff x-y\in \mathbb{Q}$. Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência.

Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.

O conjunto de Vitali não é mensurável a Lebesgue

Denote por $V$ um conjunto de Vitali e por ${\mu }^{*}$ a medida exterior de Lebesgue.

Considere $\{r_j{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}$ uma enumeração para $[-1,1]\cap \mathbb{Q}$ e construa o conjunto:

$S=\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(V+r_j)$, onde:

$V+r_j=\{x+r_j:x\in V\}$

Vamos mostrar agora as inclusões:

$[0,1]\subseteq S\subseteq [-1,2]$

Da forma como foi construído o conjunto, temos:

$V\subseteq [0,1]$

Então, se $x\in V$ e $r_j\in [-1,1]$, vale $x+r_j\in [-1,2]$.

Agora, seja $x\in [0,1]$. Então, existe $y\in V$ tal que $x\sim y$, ou seja, $x-y=r,r\in \mathbb{Q}$.

Como $x,y\in [0,1]$, temos que $r\in [-1,1]$ e $r=r_j$ para algum $j$. Logo, $x\in S$.

Vamos mostrar agora que os conjuntos $V+r_j$ são disjuntos. Para tal, considere um elemento $x$ na intersecção de dois destes conjuntos:

$x\in (V+r_i)\cap (V+r_j)$

Então:

$x=y+r_i=z+r_j$ com $y,z\in V$

Logo:

$y-z=r_j-r_i\in \mathbb{Q}⟹y\sim z$

Como o conjunto de Vitali foi construído tomando apenas um elemento de cada classe de equivalência, $y=z$, o que implica $r_i=r_j$ e, portanto, $i=j$.

Finalmente, podemos provar que $V$ não é mensurável. Partimos da estimativa:

$\mu ([0,1])\le {\mu }^{*}(S)\le \mu ([-1,2])$

$1\le {\mu }^{*}(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(V+r_j))\le 3$

Para terminar o resultado considere $V$ mensurável e observe que a medida de Lebesgue é $\sigma$-aditiva e invariante por translações. O que nos leva à seguinte expressão:

$1\le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (V)\le 3$

O somatório é finito apenas se $\mu (V)$ for nulo, caso em que a soma é também nula e portanto inferior a 1.