Medida exterior de Lebesgue

Em matemática, a medida exterior de Lebesgue é uma função que associa a cada subconjunto de ${ℝ}^n$ um número real estendido não negativo que está relacionado com o "volume" ocupado por ele.

Propriedades

• Seja $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_n,b_n],a_i\le b_i$, então:

${\mu }^{\ast }(I)=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\dots (b_n-a_n)$

• Em especial:

${\mu }^{\ast }(\mathrm{\varnothing })=0$

• ${\mu }^{\ast }\left(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_j\right)\le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{\ast }(E_j)$ (sub-aditividade)
• Em especial:

$A\subseteq B⟹{\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(B)$ (monotonicidade)

• Se $A_{\lambda }$ é definido como $A_{\lambda }=\{x+\lambda :x\in A\}$ então:

${\mu }^{\ast }(A)={\mu }^{\ast }(A_{\lambda })$ (invariância por translações)

• Se $T:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ é uma transformação linear e $TA:=\{Tx:x\in A\}$ então:

${\mu }^{\ast }(TA)=|T|{\mu }^{\ast }(A)$, onde $|T|$ é o determinante da transformação.

Definição

Seja o conjunto elementar $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_n,b_n],a_i\le b_i$. Define-se o volume de $I$ como:

$\text{vol}(I)=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\dots (b_n-a_n)$

É claro que qualquer subconjunto de ${ℝ}^n$ está contido na união enumerável desses conjuntos, pois:

${ℝ}^n\subseteq \bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[-j,j{]}^n$

Então a medida exterior de Lebesgue de um conjunto $E\subseteq {ℝ}^n$ é definida como:

${\mu }^{\ast }(E)=\inf \{\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\text{vol}(I_j):\bigcup I_j\supseteq E\}$, onde $I_j$ são elementares.

O ínfimo é tomado sobre todas as possíveis famílias enumeráveis de conjuntos elementares que cobrem $E$.

A medida exterior é, portanto, uma função cujo domínio são as partes de ${ℝ}^n$, ${\mu }^{\ast }:P({ℝ}^n)\to {ℝ}^{+}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

Conjuntos de medida zero

Um conjunto é dito ter medida de Lebesgue zero se sua medida exterior for nula. Surge da teoria da medida de Lebesgue que todo conjunto de medida exterior nula é mensurável e possui medida nula.

Ver também

• Medida
• Medida exterior

Bibliografia

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