Medida exterior

Em matemática, uma medida exterior é uma função que associa a cada subconjunto de um dado conjunto um número real estendido não-negativo.

Uma teoria geral de medidas exteriores foi primeiramente introduzida pelo matemático grego Constantin Carathéodory com o objetivo de prover uma base para a teoria dos conjuntos mensuráveis e sigma-aditividade. O trabalho de Carathéodory em medidas exteriores encontra diversas aplicações na teoria da medida. O conceito de dimensão de Hausdorff foi construído com base em uma medida exterior, a medida de Hausdorff.

Definição

Seja X um conjunto e $2^X$, a família de todos os seus subconjuntos. Um função $\phi$

$\phi :2^X\to [0,\mathrm{\infty }]$

é dita uma medida exterior se satisfizer as seguintes propriedades:

• O conjunto vazio tem medida exterior 0 (conjunto de medida zero).

$\phi (\varnothing )=0$

• Monotonicidade

$A\subseteq B\Rightarrow \phi (A)\le \phi (B)$

• Sub-aditividade contável : para cada família contável {A_j} de subconjuntos of X (não necessarimente disjuntos dois a dois)

$\phi \left(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)\le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\phi (A_j)$

Mensurabilidade no sentido de Carathéodory

Define-se um conjunto mensurável no sentido de Carathéodory da seguinte forma:

Um subconjunto E de X é φ-mensurável (ou Carathéodory-mensurável por φ) se e somente se para cada suconjunto A de X, vale a relação:

$\phi (A)=\phi (A\cap E)+\phi (A\setminus E).$

Teorema

Os conjuntos φ-measuráveis formam uma σ-algebra e φ restrito aos conjuntos mensuráveis é uma medida (matemática) completa e sigma-aditiva.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro

Ver também

• Medida exterior de Lebesgue