Mostrar código-fonte de Coeficiente de correlação tau de Kendall

{{Estatística sidebar}}
Em [[estatística]], o '''coeficiente de correlação de postos de Kendall''', comumente chamado de '''coeficiente tau de Kendall''' (devido à letra grega [[τ]]), é uma [[Estatística (função)|estatística]] usada para medir a correlação de postos entre duas quantidades medidas. Um '''teste tau''' é um [[Testes de hipóteses|teste de hipóteses]] [[Estatística não paramétrica|não paramétrico]] referente à dependência estatística baseada no coeficiente tau.

É uma medida de correlação de postos, ou seja, verifica a semelhança entre as ordens dos dados quando classificados por cada uma das quantidades. Recebe este nome em homenagem ao estatístico britânico Maurice Kendall, que o desenvolveu em 1938.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Kendall|primeiro=M. G.|data=1938-06-01|titulo=A NEW MEASURE OF RANK CORRELATION|jornal=Biometrika|volume=30|numero=1-2|paginas=81–93|issn=0006-3444|doi=10.1093/biomet/30.1-2.81|url=https://academic.oup.com/biomet/article-abstract/30/1-2/81/176907/A-NEW-MEASURE-OF-RANK-CORRELATION}}</ref> O filósofo alemão [[Gustav Theodor Fechner|Gustav Fechner]] propôs uma medida semelhante no contexto das [[Série temporal|séries temporais]] em 1897.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Kruskal|primeiro=William H.|data=1958-12-01|titulo=Ordinal Measures of Association|jornal=Journal of the American Statistical Association|volume=53|numero=284|paginas=814–861|issn=0162-1459|doi=10.2307/2281954|url=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1958.10501481}}</ref>

Intuitivamente, a correlação de Kendall entre duas variáveis será elevada se as observações tiverem uma classificação semelhante (ou idêntica no caso de correlação igual a 1), comparadas as duas variáveis. Por classificação, entende-se a descrição das posições relativas das observações no interior de cada variável. A correlação de Kendall será baixa quando as observações tiverem uma classificação diferente (ou completamente diferente no caso de correlação igual a -1) comparadas as duas variáveis.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=Mm2jjgEACAAJ&dq=Rank+Correlation+Methods&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwjT_a3T6M_UAhXGkJAKHYKNAAAQ6AEIJzAA|título=Rank Correlation Methods|ultimo=Kendall|primeiro=Maurice George|data=1970-01-01|editora=Griffin|lingua=en|isbn=9780852641996}}</ref> 

Tanto o coeficiente <math>\tau</math>, como o [[Coeficiente de correlação de postos de Spearman|coeficiente <math>\rho</math> de Spearman]] podem ser formulados como casos especiais de um coeficiente de correlação geral. 

==Definição==
Considere <math>(x_1,y_1)</math>, <math>(x_2,y_2)</math>, ..., <math>(x_n,y_n)</math> um conjunto de observações das [[Variável aleatória|variáveis aleatórias]] conjuntas <math>X</math> e <math>Y</math> respectivamente, tal que todos os valores de <math>(x_i)</math> e <math>(y_i)</math> sejam únicos. Qualquer par de observações <math>(x_i,y_i)</math> e <math>(x_j,y_j)</math>, em que <math>i \neq j</math>, é concordante se as classificações de ambos os elementos concordarem uma com a outra, isto é, se <math>x_i>x_j</math> e <math>y_i>y_j</math> ou se <math>x_i<x_j</math> e <math>y_i<y_j</math>. Elas são discordantes se <math>x_i>x_j</math> e <math>y_i<y_j</math> ou se <math>x_i<x_j</math> e <math>y_i>y_j</math>. Se <math>x_i=x_j</math> ou <math>y_i=y_j</math>, o par não é nem concordante, nem discordante.

O coeficiente <math>\tau</math> de Kendall é definido como:

: <math>\tau = \frac{(\text{quantidade de pares concordantes}) - (\text{quantidade de pares discordantes})}{n (n-1) /2} .</math><ref>{{Citar web|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Kendall_tau_metric&oldid=12869|titulo=Kendall tau metric - Encyclopedia of Mathematics|acessodata=2017-06-21|obra=www.encyclopediaofmath.org|lingua=en}}</ref>

===Propriedades===
* O [[denominador]] é o número total de combinações de pares, então, o coeficiente deve estar no intervalo <math>-1\leq\tau\leq1</math>.

* Se a concordância entre as duas classificações for perfeita (isto é, se as duas classificações forem iguais), o coeficiente tem valor 1.
* Se a discordância entre as duas classificações for perfeita (isto é, se uma classificação for o reverso da outra), o coeficiente tem valor -1.
* Se <math>X</math> e <math>Y</math> forem [[Independência (estatística)|independentes]], espera-se que o coeficiente seja próximo de zero.

==Teste de hipóteses==
O coeficiente de postos de Kendall é frequentemente usado como uma estatística de teste em um [[teste de hipóteses]] para estabelecer se duas variáveis podem ser consideradas estatisticamente dependentes. O teste é não paramétrico, já que não se apoia em pressupostos sobre as distribuições de <math>X</math> ou <math>Y</math> ou a distribuição de <math>(X,Y)</math>.

Sob a [[hipótese nula]] da independência de <math>X</math> e <math>Y</math>, a [[distribuição amostral]] de <math>\tau</math> tem [[valor esperado]] igual a zero.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=0hPvAAAAMAAJ&pg=PA365&redir_esc=y|título=Applied nonparametric statistics|ultimo=Daniel|primeiro=Wayne W.|data=1990|editora=PWS-Kent Publ.|lingua=en|isbn=9780534919764}}</ref> Esta distribuição não pode ser caracterizada em termos de distribuições comuns, mas pode ser calculada com exatidão para pequenas amostras.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Bonett|primeiro=Douglas G.|ultimo2=Wright|primeiro2=Thomas A.|data=2000-03-01|titulo=Sample size requirements for estimating pearson, kendall and spearman correlations|jornal=Psychometrika|volume=65|numero=1|paginas=23–28|issn=0033-3123|doi=10.1007/bf02294183|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02294183|idioma=en}}</ref> No caso de amostras maiores, é comum usar uma aproximação da [[distribuição normal]] com média zero e [[variância]] igual a:
:<math>\frac{2(2n+5)}{9n (n-1)}</math>.<ref>{{Citar web|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Kendall_coefficient_of_rank_correlation&oldid=13189|titulo=Kendall coefficient of rank correlation - Encyclopedia of Mathematics|acessodata=2017-06-21|obra=www.encyclopediaofmath.org|lingua=en}}</ref>

==Repetições==
Um par <math>\{(x_i,y_i), (x_j,y_j)\}</math> é considerado empatado se <math>x_i=x_j</math> ou <math>y_i=y_j</math>. Um par empatado não é concordante, nem discordante. Quando pares empatados aparecem nos dados, o coeficiente pode ser modificado de várias maneiras para que se mantenha no intervalo <math>[-1,1]</math>.

===Tau-a===
A estatística de Tau-a testa a [[razão de possibilidades]] de [[Tabela de contingência|tabelas de contingência]]. Ambas as variáveis devem ser [[Escala (estatística)|ordinais]]. Tau-a não fará ajustes para empates. É definida como:

: <math>\tau_A = \frac{n_c-n_d}{n_0}</math>

em que <math>n_c</math>, <math>n_d</math> e <math>n_0</math> são definidas na próxima seção.

===Tau-b===
A estatística de Tau-b, diferentemente de Tau-a, faz ajustes para empates.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=7zVaD9EjkHkC&printsec=frontcover&dq=Analysis+of+Ordinal+Categorical+Data&hl=pt-BR&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Analysis%20of%20Ordinal%20Categorical%20Data&f=false|título=Analysis of Ordinal Categorical Data|ultimo=Agresti|primeiro=Alan|data=2012-07-06|editora=John Wiley & Sons|lingua=en|isbn=9781118209998}}</ref> Valores de Tau-b variam entre -1 (associação 100% negativa ou inversão perfeita) e +1 (associação 100% positiva ou concordância perfeita). Sendo igual a zero, indica ausência de associação.

O coeficiente Tau-b de Kendall é definido como:

: <math>\tau_B = \frac{n_c-n_d}{\sqrt{(n_0-n_1)(n_0-n_2)}}</math>

em que
* <math>n_0=n(n-1)/2</math>;
* <math>n_1=\sum_i t_i (t_i-1)/2</math>;
* <math>n_2=\sum_j u_j (u_j-1)/2</math>;
* <math>n_c</math> é o número de pares concordantes;
* <math>n_d</math> é o número de pares discordantes;
* <math>t_i</math> é o número de valores empatados no <math>i</math>-ésimo grupo de empates para a primeira quantidade;
* <math>u_j</math> é o número de valores empatados no <math>j</math>-ésimo grupo de empates para a segunda quantidade.

===Tau-c===
A estatística de Tau-c (também chamada de Tau-c de Stuart-Kendall) difere de Tau-b na medida em que é mais adequada para tabelas retangulares do que para tabelas quadradas.

==Testes de significância==
Quando duas quantidades são estatisticamente independentes, a distribuição de <math>\tau</math> não é facilmente caracterizável em termos de distribuições conhecidas.<ref>{{citar livro|url=https://www.utdallas.edu/~herve/Abdi-KendallCorrelation2007-pretty.pdf|título=Encyclopedia of Measurement and Statistics|ultimo=Abdi|primeiro=Hervé|editora=Sage|ano=2007|editor-sobrenome=Salkind|editor-nome=Neil|local=Thousand Oaks (Califórnia)|capitulo=The Kendall Rank Correlation Coefficient|acessodata=21/06/2017}}</ref> Entretanto, para <math>\tau_A</math>, a seguinte estatística, <math>z_A</math>, é aproximadamente distribuída como uma normal padrão quando as variáveis são estatisticamente independentes:

: <math>z_A = {3 (n_c - n_d) \over \sqrt{n(n-1)(2n+5)/2} }</math>

Assim, para testar se as duas variáveis são estatisticamente dependentes, computa-se <math>z_A</math> e encontra-se a probabilidade cumulativa para a distribuição normal padrão em <math>-|z_A|</math>. Para um teste bicaudal, multiplica-se aquele número por dois para obter o [[Valor-p|valor-''p'']]. Se o valor-''p'', estiver abaixo de um dado nível de [[Significância estatística|significância]], rejeita-se a hipótese nula (àquele nível de significância) de que as quantidades são estatisticamente independentes.

Numerosos ajustes devem ser acrescentados a <math>z_A</math> quando se levam em conta os empates. A seguinte estatística, <math>z_B</math>, tem distribuição igual à distribuição <math>\tau_B</math> e é mais uma vez aproximadamente igual à distribuição normal padrão quando as quantidades forem estatisticamente independentes:

:<math>z_B = {n_c - n_d \over \sqrt{ v } }</math>

em que
* <math>v=(v_0 - v_t - v_u)/18 + v_1 + v_2</math>;
* <math>v_0=n (n-1) (2n+5)</math>;
* <math>v_t=\sum_i t_i (t_i-1) (2 t_i+5)</math>;
* <math>v_u=\sum_j u_j (u_j-1)(2 u_j+5)</math>;
* <math>v_1=\sum_i t_i (t_i-1) \sum_j u_j (u_j-1) / (2n(n-1))</math>;
* <math>v_2=\sum_i t_i (t_i-1) (t_i-2) \sum_j u_j (u_j-1) (u_j-2) / (9 n (n-1) (n-2))</math>.

==Ver também==
* [[Correlação]]
* [[Coeficiente de correlação de postos de Spearman]]

==Referências==
{{Reflist}}

==Ligações externas==
* [http://www.wessa.net/rwasp_kendall.wasp ''Software on-line'' para computar coeficiente de correlação tau de Kendall]

{{Estatística}}
{{Portal3|Probabilidade e estatística}}

[[Categoria:Covariância e correlação]]
[[Categoria:Testes estatísticos]]