Coeficiente de correlação tau de Kendall

Predefinição:Estatística sidebar Em estatística, o coeficiente de correlação de postos de Kendall, comumente chamado de coeficiente tau de Kendall (devido à letra grega τ), é uma estatística usada para medir a correlação de postos entre duas quantidades medidas. Um teste tau é um teste de hipóteses não paramétrico referente à dependência estatística baseada no coeficiente tau.

É uma medida de correlação de postos, ou seja, verifica a semelhança entre as ordens dos dados quando classificados por cada uma das quantidades. Recebe este nome em homenagem ao estatístico britânico Maurice Kendall, que o desenvolveu em 1938. O filósofo alemão Gustav Fechner propôs uma medida semelhante no contexto das séries temporais em 1897.

Intuitivamente, a correlação de Kendall entre duas variáveis será elevada se as observações tiverem uma classificação semelhante (ou idêntica no caso de correlação igual a 1), comparadas as duas variáveis. Por classificação, entende-se a descrição das posições relativas das observações no interior de cada variável. A correlação de Kendall será baixa quando as observações tiverem uma classificação diferente (ou completamente diferente no caso de correlação igual a -1) comparadas as duas variáveis.

Tanto o coeficiente $\tau$, como o coeficiente $\rho$ de Spearman podem ser formulados como casos especiais de um coeficiente de correlação geral.

Definição

Considere $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, ..., $(x_n,y_n)$ um conjunto de observações das variáveis aleatórias conjuntas $X$ e $Y$ respectivamente, tal que todos os valores de $(x_i)$ e $(y_i)$ sejam únicos. Qualquer par de observações $(x_i,y_i)$ e $(x_j,y_j)$, em que $i\ne j$, é concordante se as classificações de ambos os elementos concordarem uma com a outra, isto é, se $x_i>x_j$ e $y_i>y_j$ ou se $x_i<x_j$ e $y_i<y_j$. Elas são discordantes se $x_i>x_j$ e $y_i<y_j$ ou se $x_i<x_j$ e $y_i>y_j$. Se $x_i=x_j$ ou $y_i=y_j$, o par não é nem concordante, nem discordante.

O coeficiente $\tau$ de Kendall é definido como:

$\tau =\frac{(\text{quantidade de pares concordantes})-(\text{quantidade de pares discordantes})}{n(n-1)/2}.$

Propriedades

• O denominador é o número total de combinações de pares, então, o coeficiente deve estar no intervalo $-1\le \tau \le 1$.

• Se a concordância entre as duas classificações for perfeita (isto é, se as duas classificações forem iguais), o coeficiente tem valor 1.
• Se a discordância entre as duas classificações for perfeita (isto é, se uma classificação for o reverso da outra), o coeficiente tem valor -1.
• Se $X$ e $Y$ forem independentes, espera-se que o coeficiente seja próximo de zero.

Teste de hipóteses

O coeficiente de postos de Kendall é frequentemente usado como uma estatística de teste em um teste de hipóteses para estabelecer se duas variáveis podem ser consideradas estatisticamente dependentes. O teste é não paramétrico, já que não se apoia em pressupostos sobre as distribuições de $X$ ou $Y$ ou a distribuição de $(X,Y)$.

Sob a hipótese nula da independência de $X$ e $Y$, a distribuição amostral de $\tau$ tem valor esperado igual a zero. Esta distribuição não pode ser caracterizada em termos de distribuições comuns, mas pode ser calculada com exatidão para pequenas amostras. No caso de amostras maiores, é comum usar uma aproximação da distribuição normal com média zero e variância igual a:

$\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}$.

Repetições

Um par $\{(x_i,y_i),(x_j,y_j)\}$ é considerado empatado se $x_i=x_j$ ou $y_i=y_j$. Um par empatado não é concordante, nem discordante. Quando pares empatados aparecem nos dados, o coeficiente pode ser modificado de várias maneiras para que se mantenha no intervalo $[-1,1]$.

Tau-a

A estatística de Tau-a testa a razão de possibilidades de tabelas de contingência. Ambas as variáveis devem ser ordinais. Tau-a não fará ajustes para empates. É definida como:

${\tau }_A=\frac{n_c-n_d}{n_0}$

em que $n_c$, $n_d$ e $n_0$ são definidas na próxima seção.

Tau-b

A estatística de Tau-b, diferentemente de Tau-a, faz ajustes para empates. Valores de Tau-b variam entre -1 (associação 100% negativa ou inversão perfeita) e +1 (associação 100% positiva ou concordância perfeita). Sendo igual a zero, indica ausência de associação.

O coeficiente Tau-b de Kendall é definido como:

${\tau }_B=\frac{n_c-n_d}{\sqrt{(n_0-n_1)(n_0-n_2)}}$

em que

• $n_0=n(n-1)/2$;
• $n_1=\sum _i{t}_i(t_i-1)/2$;
• $n_2=\sum _j{u}_j(u_j-1)/2$;
• $n_c$ é o número de pares concordantes;
• $n_d$ é o número de pares discordantes;
• $t_i$ é o número de valores empatados no $i$-ésimo grupo de empates para a primeira quantidade;
• $u_j$ é o número de valores empatados no $j$-ésimo grupo de empates para a segunda quantidade.

Tau-c

A estatística de Tau-c (também chamada de Tau-c de Stuart-Kendall) difere de Tau-b na medida em que é mais adequada para tabelas retangulares do que para tabelas quadradas.

Testes de significância

Quando duas quantidades são estatisticamente independentes, a distribuição de $\tau$ não é facilmente caracterizável em termos de distribuições conhecidas. Entretanto, para ${\tau }_A$, a seguinte estatística, $z_A$, é aproximadamente distribuída como uma normal padrão quando as variáveis são estatisticamente independentes:

$z_A=\frac{3(n_c-n_d)}{\sqrt{n(n-1)(2n+5)/2}}$

Assim, para testar se as duas variáveis são estatisticamente dependentes, computa-se $z_A$ e encontra-se a probabilidade cumulativa para a distribuição normal padrão em $-|z_A|$. Para um teste bicaudal, multiplica-se aquele número por dois para obter o valor-p. Se o valor-p, estiver abaixo de um dado nível de significância, rejeita-se a hipótese nula (àquele nível de significância) de que as quantidades são estatisticamente independentes.

Numerosos ajustes devem ser acrescentados a $z_A$ quando se levam em conta os empates. A seguinte estatística, $z_B$, tem distribuição igual à distribuição ${\tau }_B$ e é mais uma vez aproximadamente igual à distribuição normal padrão quando as quantidades forem estatisticamente independentes:

$z_B=\frac{n_c-n_d}{\sqrt{v}}$

em que

• $v=(v_0-v_t-v_u)/18+v_1+v_2$;
• $v_0=n(n-1)(2n+5)$;
• $v_t=\sum _i{t}_i(t_i-1)(2t_i+5)$;
• $v_u=\sum _j{u}_j(u_j-1)(2u_j+5)$;
• $v_1=\sum _i{t}_i(t_i-1)\sum _j{u}_j(u_j-1)/(2n(n-1))$;
• $v_2=\sum _i{t}_i(t_i-1)(t_i-2)\sum _j{u}_j(u_j-1)(u_j-2)/(9n(n-1)(n-2))$.

Ver também

• Correlação
• Coeficiente de correlação de postos de Spearman

Ligações externas

• Software on-line para computar coeficiente de correlação tau de Kendall