Mostrar código-fonte de Comprimento da circunferência

[[Imagem:Circle-withsegments.svg|thumb|right|
{{linha de legenda|black solid 3px|comprimento da circunferência ''C''}}
{{linha de legenda|blue solid 2px|diâmetro ''D''}}
{{linha de legenda|red solid 2px|raio ''R''}}
{{linha de legenda|green solid 2px|centro ou origem ''O''}}
Circunferência = {{pi}} × diâmetro = 2{{pi}} × raio]]

Em [[geometria]], o '''comprimento da circunferência''' (do latim ''circumferens'', que significa "carregar ao redor") é o [[perímetro]] de uma [[circunferência]] ou [[elipse]].<ref>{{citar web|url=http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf|título=Perimeter, Area and Circumference|publicado=[[Addison-Wesley]]|autor=San Diego State University|ano=2004|lingua=en|arquivourl=https://web.archive.org/web/20141006153741/http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf|arquivodata=6 de outubro de 2014|autorlink=San Diego State University}}</ref> A circunferência é o [[comprimento do arco]] do círculo, como se ele fosse aberto e endireitado em um [[segmento de reta]].<ref>{{citation|primeiro1=Jeffrey|último1=Bennett|primeiro2=William|último2=Briggs|título=Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach|edição=3rd|publicado=Addison-Wesley|ano=2005|isbn=978-0-321-22773-7|página=580|língua=en}}</ref> De maneira geral, o perímetro é o [[Comprimento do arco|comprimento da curva]] em torno de qualquer figura fechada.

== Círculo ==
O comprimento de um círculo é a distância ao redor dele, mas se, como em muitos tratamentos elementares, a distância for definida em termos de linhas retas, isso não poderá ser usado como definição. Nessas circunstâncias, a circunferência de um círculo pode ser definida como o [[limite]] dos perímetros de [[Polígono regular|polígonos regulares]] inscritos à medida que o número de lados aumenta sem limites.<ref>{{citation|primeiro=Harold R.|último=Jacobs|título=Geometry|ano=1974|publicado=W. H. Freeman and Co.|isbn=0-7167-0456-0|página=565|língua=en}}</ref> O termo comprimento da circunferência é usado ao medir objetos físicos, bem como ao considerar formas geométricas abstratas.

=== Relação com {{pi}} ===
O comprimento de uma [[circunferência]] está relacionada a uma das mais importantes [[constantes matemáticas]]. Essa constante, [[pi]], é representada pela [[Alfabeto grego|letra grega]] [[Pi (letra)|{{pi}}]]. Os primeiros dígitos decimais do valor numérico de {{pi}} são {{math|3,141592653589793...}}<ref>{{SloanesRef|A000796}}</ref>

Pi é definido como a [[Razão (matemática)|razão]] do comprimento {{mvar|C}} de uma circunferência em relação ao seu [[diâmetro]] {{mvar|d}}:
<math display="block">\pi = \frac{C}{d}.</math>

Ou, equivalentemente, como a razão entre a circunferência e o dobro do [[Raio (geometria)|raio]]. A fórmula acima pode ser reorganizada para isolar {{mvar|C}}:

<math display="block">{C} = \pi \cdot{d} = 2\pi \cdot{r}.\!</math>

A razão entre o comprimento da circunferência e seu raio é chamada de constante do círculo e é equivalente a {{math|2{{pi}}}}. O valor {{math|2{{pi}}}} também é a quantidade de [[radiano]]s em uma [[Volta (geometria)|volta]]. O uso da constante matemática {{pi}} é onipresente na matemática, na engenharia e na ciência.

Em ''{{ill|en|A Medida do Círculo|Measurement of a Circle}}'', escrito por volta de 250 a.C., [[Arquimedes]] mostrou que essa proporção (<math>C/d,</math> já que ele não usou o nome {{pi}}) era maior que 3{{sfrac|10|71}} mas menor que 3{{sfrac|1|7}} calculando os perímetros de um polígono regular inscrito e circunscrito de 96 lados.<ref>{{citation|primeiro=Victor J.|último=Katz|título=A History of Mathematics / An Introduction|edição=2nd|ano=1998|publicado=Addison-Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|página=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 109]|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109|língua=en}}</ref> Esse método de aproximação de {{pi}} foi usado durante séculos, obtendo mais precisão com o uso de polígonos com um número cada vez maior de lados. O último cálculo desse tipo foi realizado em 1630 por [[Christoph Grienberger]], que usou polígonos com {{math|10<sup>40</sup>}} lados.

== Elipse ==
{{Artigo principal|Elipse}}
A noção de perímetro pode ser generalizada para elipses. Não existe uma fórmula geral para o comprimento de uma elipse em termos dos [[Semieixo maior e semieixo menor|semieixos maior e menor]] da elipse que use apenas funções elementares. Entretanto, há fórmulas aproximadas em termos desses parâmetros. Uma dessas aproximações, devida a Euler (1773), para a elipse [[Forma canônica|canônica]],
<math display="block">\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,</math>

é
<math display="block">C_{\rm{elipse}} \sim \pi \sqrt{2\left(a^2 + b^2\right)}.</math>

Alguns limites inferiores e superiores do comprimento da elipse canônica com {{math|''a'' ≥ ''b''}} são:<ref>{{citar periódico|título=Inequalities for the perimeter of an ellipse |periódico=Mathematical Gazette |número=499 |ano=2014 |páginas=227–234 |lingua=en |doi=10.2307/3621497 |jstor=3621497 |volume=98 |último1=Jameson |primeiro1=G.J.O. |s2cid=126427943}}</ref>
<math display="block">2\pi b \leq C \leq 2\pi a,</math>
<math display="block">\pi (a+b) \leq C \leq 4(a+b),</math>
<math display="block">4\sqrt{a^2+b^2} \leq C \leq \pi \sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}.</math>

Aqui, o limite superior {{math|2{{pi}}''a''}} é o comprimento de um [[Objetos concêntricos|círculo concêntrico]] [[Círculo circunscrito|circunscrito]] passando pelos pontos finais do eixo maior da elipse, e o limite inferior <math>4\sqrt{a^2+b^2}</math> é o [[perímetro]] de um [[losango]] [[Figura inscrita|inscrito]] com [[vértice]]s nos pontos finais dos eixos maior e menor.

O comprimento de uma elipse pode ser expresso exatamente em termos da [[Integral elíptica#Integral Elíptica do Segundo Tipo|integral elíptica completa do segundo tipo]].<ref>{{citation|primeiro1=Gert|último1=Almkvist|primeiro2=Bruce|último2=Berndt|s2cid=119810884|título=Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, elipses, {{pi}}, e o Ladies Diary|periódico=American Mathematical Monthly|ano=1988|páginas=585-608|volume=95|número=7|mr=966232|doi=10.2307/2323302|jstor=2323302}}</ref> Mais precisamente,<math display="block">C_{\rm{elipse}} = 4a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta,</math>

em que {{mvar|a}} é o comprimento do semieixo maior e {{mvar|e}} é a excentricidade <math>\sqrt{1 - b^2/a^2}.</math>

== Ver também ==
* [[Comprimento do arco]] – Distância ao longo de uma curva
* [[Área]] – Tamanho de uma superfície bidimensional
* [[Desigualdade isoperimétrica]] – Desigualdade geométrica que estabelece um limite inferior para a área da superfície de um conjunto dado seu volume

{{Referências}}

== Ligações externas ==
* [http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm#elliptic Numericana - Circunferência de uma elipse] (em inglês)

{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:Medida (matemática)]]
[[Categoria:Geometria]]
[[Categoria:Círculos]]