Mostrar código-fonte de Cone

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[[Ficheiro:Blue-cone.png|thumb|Um cone.]]

Em [[geometria]], o '''cone''' é um [[sólido geométrico]] obtido quando se tem uma [[pirâmide]] cuja base é um [[polígono regular]], o número de lados da base tende ao infinito e a medida de lado do polígono tende a zero.

== Classificação ==
Os cones podem ser divididos em:
*  Reto;
*  Oblíquo;
*  Equilátero.

=== Reto ===
O cone é dito reto quando a sua base é um [[círculo]] e a [[reta]] que liga o vértice superior ao [[centro]] da [[circunferência]] da sua base (isto é, o seu eixo) é [[perpendicular]] ao plano da base.
Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por [[geratriz]]es (''g''), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O [[conjunto]] desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um [[triângulo retângulo]] que roda sobre um eixo formado por um dos [[cateto]]s, no caso de ser um cone reto.

=== Oblíquo ===
Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

=== Equilátero ===
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região [[triângulo equilátero|triangular equilátera]] e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

== Cone de um espaço vetorial ==

Um subconjunto '''C''' do [[espaço vetorial]] '''E''' chama-se um '''cone''' quando, para todo elemento ''v'' pertencente a '''C''' e todo ''t'' > 0 [[número real|real]], tem-se que ''tv'' pertence a '''C'''.

== Fórmulas ==
O [[volume]], <math display="inline">V</math>, de um cone de altura, <math display="inline">h</math>, e base com raio, <math display="inline">r</math>, é <math display="inline">1/3</math> do volume do [[cilindro]] com as mesmas dimensões, ou seja:<blockquote><math>V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h </math></blockquote>O centro de massa (considerando que o cone possui [[densidade]] uniforme) está localizado no seu eixo a <math display="inline">1/4</math> da distância da base ao eixo.

A [[área]] da superfície de um cone <math display="inline">A</math> é dada por:<blockquote><math>A = \pi r (r + g)</math> </blockquote>onde, <math display="inline">g = \sqrt{r^2 + h^2}</math>  é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, <math display="inline">\pi r^2</math> é a área da base, enquanto que o segundo termo <math display="inline">\pi r g</math> é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:<blockquote><sub><math> A = \pi r \cdot g + \pi r^2</math></sub></blockquote>

=== Com uso de cálculo integral ===
Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de [[Cálculo Diferencial e Integral|cálculo diferencial e integral]]. Um cone de altura <math display="inline">h </math> e raio <math display="inline">r </math> corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:<blockquote><math>y=\frac {r}{h}x </math> </blockquote>em torno do eixo <math display="inline">x</math>. 

'''Volume'''
[[File:Cone of revolution.svg|thumb|Cone de revolução.]]
Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:<blockquote><math>A=\pi y^2 = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 </math></blockquote>Para um deslocamento infinitesimal <math display="inline">dx</math> tem-se o incremento de volume:<blockquote><math>dV= \pi\frac {r^2}{h^2}x^2 dx </math></blockquote>Então, integrando de <math display="inline">0 </math> a <math display="inline">h </math> obtemos o volume do cone: <blockquote><math>\int_{0}^{h} dV=\pi \frac {r^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2 dx \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi r^2 h </math></blockquote>

'''Área total'''

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:<blockquote><math>A_b = \pi r^2 </math></blockquote>Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume.  Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal <math display="inline">dx </math> corresponde a um deslocamento de comprimento de linha <math display="inline">dL </math> sobre a reta <math display="inline">y=\frac {r}{h}x </math>. Pelo [[Teorema de Pitágoras]] temos que <math>(dL)^2=(dy)^2+(dx)^2 </math>, ou seja: <blockquote><math>dL=\sqrt{\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+1}\,dx </math></blockquote>Considerando a rotação do segmento <math display="inline">dL </math> em torno do eixo <math display="inline">x </math>, temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:<blockquote><math>dA_l=2 \pi y\, dL </math></blockquote>Substituindo <math display="inline">y </math> e <math display="inline">dL </math> em função de <math display="inline">x </math> e <math display="inline">dx </math>, obtemos:<blockquote><math>dA_l = 2\pi\frac{r}{h}x\sqrt{\frac{r^2}{h^2}+1}\,dx </math></blockquote>Integrando de <math display="inline">0 </math> a <math display="inline">h </math>, temos:<blockquote><math>\int_{0}^{h} dA_l =\int_{0}^{h} 2\pi\frac{r}{h}x\sqrt{\frac {r^2}{h^2}+1}\,dx \Rightarrow A_l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} </math></blockquote>Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:<blockquote><math>A = \pi r (g+r) </math> </blockquote>onde, <math>g = \sqrt{r^2 + h^2} </math>.

=== Para cones equiláteros ===
A área da base do cone é:
:<math>A_b = \pi r^2</math>

Pelo [[Teorema de Pitágoras]] temos que <math display="inline">(2r)^2 = h^2 + r^2</math>,  logo <math display="inline">h^2 = 4r^2 - r^2 = 3r^2</math>, assim:
:<math>h = r\sqrt{3}</math> 

Como o volume do cone é obtido por <math display="inline">1/3</math> do produto da área da base pela altura, temos:
:<math>V = \frac{\pi r^3 \sqrt{3}}{3}</math>

Similarmente, a área lateral é dada por:
:<math>A_l = \pi \cdot r \cdot g = \pi \cdot r \cdot 2r = 2 \cdot \pi \cdot r^2</math>

e, a área total por:
:<math>A = 3 \pi r^2</math>

== Ver também ==

* [[Cônica]]
* [[Quádrica]]
* [[Círculo]]
* [[Circunferência]]
* [[Elipse]]
* [[Parábola]]
* [[Hipérbole]]
* [[Reta]]
* [[Ciclóide]]
* [[Cardióide]]
* [[Leminiscata]]
* [[Espiral]]

==Ligações externas==

* {{en}} [http://www.matifutbol.com/en/balls.html Volume de um cone truncado elíptica] 

{{esboço-matemática}}
{{controle de autoridade}}
[[Categoria:Sólidos geométricos]]
[[Categoria:Seções cônicas]]