Mostrar código-fonte de Conjectura de Redmond–Sun

{{Não resolvido|matemática|A menos de uma quantidade finita de exceções,  todo intervalo <math> [x^m,y^n] </math> com ''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''m'',&nbsp;''n''&nbsp;&isin;&nbsp;{2,&nbsp;3,&nbsp;4,&nbsp;...} contém ao menos um [[número primo]]?}}

A&nbsp;'''Conjectura de Redmond-Sun'''&nbsp;é um dos problemas não-resolvidos da&nbsp;[[matemática]]&nbsp;relacionado com a distribuição dos&nbsp;[[números primos]], proposta por [[Stephen Redmond]] e [[Zhi-Wei Sun]] em [[2006]].<ref name="Não_nomeado-xdF9-1">[http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A1=ind0603&L=nmbrthry]</ref>

== Conjectura ==

A conjectura afirma que todo intervalo [''x''<sup>&nbsp;''m''</sup>,&nbsp;''y''<sup>&nbsp;''n''</sup>] com ''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''m'',&nbsp;''n''&nbsp;&isin;&nbsp;{2,&nbsp;3,&nbsp;4,&nbsp;...} contém [[números primos]], com uma quantidade finita de exceções. 
Para exemplificar, tomemos o intervalo [''2''<sup>&nbsp;''3''</sup>,&nbsp;''5''<sup>&nbsp;''4''</sup>] = [''8, ''625'']. Os seguintes primos podem ser encontrados nesse intervalo:

* 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617 e 619.

Portanto, este intervalo contém 110 números primos. <ref name="Não_nomeado-xdF9-1"/>

Outro exemplo pode ser visualizado tomando o intervalo [''529''<sup>&nbsp;''2''</sup>,&nbsp;''6''<sup>&nbsp;''7''</sup>] = [''279841'', ''279936''].  Os seguintes primos podem ser encontrados nesse intervalo:

* 279847, 279857, 279863, 279883, 279913 e 279919. <ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=prime+numbers+between+529%5E2+and+6%5E7 Prime numbers between 529^2 and 6^7 - Wolfram Alpha]</ref>

Portanto, o intervalo [''529''<sup>&nbsp;''2''</sup>,&nbsp;''6''<sup>&nbsp;''7''</sup>] contém 6 números primos.

== Exceções ==

A conjectura propõe que o intervalo [''x''<sup>&nbsp;''m''</sup>,&nbsp;''y''<sup>&nbsp;''n''</sup>] sempre possui números primos, a menos de finitas exceções. Essas exceções são as seguintes:

<math>[2^3,\,3^2],\ [5^2,\,3^3],\ [2^5,\,6^2],\ [11^2,\,5^3],\ [3^7,\,13^3],</math>:<math>[5^5,\,56^2],\ [181^2,\,2^{15}],\ [43^3,\,282^2],\ [46^3,\,312^2],\ [22434^2,\,55^5].</math>

Não se sabe se existem outras exceções além das citadas acima.<ref name="Não_nomeado-xdF9-1"/>


== A função <math> \mathcal{RS}_{[x^m, y^n]} </math> ==

[[Ficheiro:Redmond-Sun.png|thumb|428px|Quantidade de primos no intervalo [''2''<sup>&nbsp;''m''</sup>,&nbsp;''3''<sup>&nbsp;''n''</sup>], para ''m'',''n'' positivos menores ou iguais a 5.]]

Pode-se interpretar a conjectura de outra forma a partir da definição de uma função <math> \mathcal{RS}_{[x^m, y^n]} </math> que associa a cada intervalo a quantidade de primos contida no mesmo. Por exemplo, 

* <math> \mathcal{RS}_{[2^3, 3^2]} = 0</math>

* <math> \mathcal{RS}_{[2^4, 3^3]} = 3</math>

* <math> \mathcal{RS}_{[2^3, 5^4]} = 110</math>

* <math> \mathcal{RS}_{[8^7, 7^8]} = 242153</math><ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=PrimePi%5B5764801%5D+-+PrimePi%5B2097152%5D Wolfram Alpha]</ref>

O gráfico mostra a quantidade de primos no intervalo [''2''<sup>&nbsp;''m''</sup>,&nbsp;''3''<sup>&nbsp;''n''</sup>], para ''m'',''n'' menores ou iguais a 5.

== Formulações alternativas ==

A partir da definição da função <math> \mathcal{RS}_{[x^m, y^n]} </math>, pode-se formular a conjectura do seguinte modo: A função  <math> \mathcal{RS}_{[x^m, y^n]} </math> possui uma quantidade finita de [[raiz (matemática)|raízes]].
A função <math> \mathcal{RS}_{[x^m, y^n]} </math> pode também ser interpretada como uma função de 4 [[variável|variáveis]] [[número inteiro|inteiras positivas]] <math> \mathcal{RS}(x,y,m,n) </math>, e utilizando a [[função de distribuição dos números primos]], pode ser definida explicitamente como:

:<math> \mathcal{RS}(x,y,m,n) = \pi(y^n) - \pi(x^m)</math> '''''(i)'''''

E pode-se ainda criar outra formulação da conjectura com base exclusivamente na função <math> \pi(x) </math>. Uma vez que as raízes de <math> \mathcal{RS}(x,y,m,n) </math> são as [[par ordenado|quádruplas]] <math> (x,y,m,n) </math> que satisfazem 

:<math> \mathcal{RS}(x,y,m,n) = 0 </math> '''''(ii)''''',

temos substituindo '''''(ii)''''' em '''''(i)''''' que:

:<math> 0 = \pi(y^n) - \pi(x^m) \rightarrow \pi(y^n) = \pi(x^m)</math> 

Então, pode-se enunciar a conjectura de Redmond-Sun da seguinte forma: A [[equação|igualdade]] 

:<math>\pi(y^n) = \pi(x^m)</math>

possui uma quantidade finita de soluções para ''x,y,m,n'' <math> \in \mathbb{Z}_{+}</math> (nos inteiros estritamente positivos).

== Status ==

A conjectura já foi verificada para intervalos [''x''<sup>&nbsp;''m''</sup>,&nbsp;''y''<sup>&nbsp;''n''</sup>] menores que 10<sup>12</sup>. 
A conjectura inclui a [[Conjectura de Catalan]] e a [[Conjectura de Legendre]] como casos especiais. Também possui relações com a [[conjectura abc]], como mostrado por [[Carl Pomerance]].

== Ver também ==
* [[Conjectura de Catalan]]

* [[Conjectura de Legendre]]

* [[Conjectura abc]]

* [[Conjectura de Agoh-Giuga]]

==Ligações externas==

* [http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A1=ind0603&L=nmbrthry  Number Theory List (NMBRTHRY Archives)] {{en}} 
* Sequência {{OEIS|A116086}} da [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]].

{{Referências}}

{{Portal3|Matemática}}
{{Classes de números primos}}
{{Conjecturas sobre números primos}}

{{DEFAULTSORT:Conjectura de Redmond-Sun}}
[[Categoria:Conjecturas sobre números primos]]
[[Categoria:Números primos]]