Conjectura de Redmond–Sun

A Conjectura de Redmond-Sun é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos, proposta por Stephen Redmond e Zhi-Wei Sun em 2006.

Conjectura

A conjectura afirma que todo intervalo [x ^m, y ⁿ] com x, y, m, n ∈ {2, 3, 4, ...} contém números primos, com uma quantidade finita de exceções. Para exemplificar, tomemos o intervalo [2 ³, 5 ⁴] = [8, 625]. Os seguintes primos podem ser encontrados nesse intervalo:

• 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617 e 619.

Portanto, este intervalo contém 110 números primos.

Outro exemplo pode ser visualizado tomando o intervalo [529 ², 6 ⁷] = [279841, 279936]. Os seguintes primos podem ser encontrados nesse intervalo:

• 279847, 279857, 279863, 279883, 279913 e 279919.

Portanto, o intervalo [529 ², 6 ⁷] contém 6 números primos.

Exceções

A conjectura propõe que o intervalo [x ^m, y ⁿ] sempre possui números primos, a menos de finitas exceções. Essas exceções são as seguintes:

$[2^3,3^2],[5^2,3^3],[2^5,6^2],[11^2,5^3],[3^7,13^3],$:$[5^5,56^2],[181^2,2^{15}],[43^3,282^2],[46^3,312^2],[22434^2,55^5].$

Não se sabe se existem outras exceções além das citadas acima.

A função ${ℛ𝒮}_{[x^m,y^n]}$

Quantidade de primos no intervalo [2 ^m, 3 ⁿ], para m,n positivos menores ou iguais a 5.

Pode-se interpretar a conjectura de outra forma a partir da definição de uma função ${ℛ𝒮}_{[x^m,y^n]}$ que associa a cada intervalo a quantidade de primos contida no mesmo. Por exemplo,

• ${ℛ𝒮}_{[2^3,3^2]}=0$

• ${ℛ𝒮}_{[2^4,3^3]}=3$

• ${ℛ𝒮}_{[2^3,5^4]}=110$

• ${ℛ𝒮}_{[8^7,7^8]}=242153$

O gráfico mostra a quantidade de primos no intervalo [2 ^m, 3 ⁿ], para m,n menores ou iguais a 5.

Formulações alternativas

A partir da definição da função ${ℛ𝒮}_{[x^m,y^n]}$, pode-se formular a conjectura do seguinte modo: A função ${ℛ𝒮}_{[x^m,y^n]}$ possui uma quantidade finita de raízes. A função ${ℛ𝒮}_{[x^m,y^n]}$ pode também ser interpretada como uma função de 4 variáveis inteiras positivas $ℛ𝒮(x,y,m,n)$, e utilizando a função de distribuição dos números primos, pode ser definida explicitamente como:

$ℛ𝒮(x,y,m,n)=\pi (y^n)-\pi (x^m)$ (i)

E pode-se ainda criar outra formulação da conjectura com base exclusivamente na função $\pi (x)$. Uma vez que as raízes de $ℛ𝒮(x,y,m,n)$ são as quádruplas $(x,y,m,n)$ que satisfazem

$ℛ𝒮(x,y,m,n)=0$ (ii),

temos substituindo (ii) em (i) que:

$0=\pi (y^n)-\pi (x^m)\to \pi (y^n)=\pi (x^m)$

Então, pode-se enunciar a conjectura de Redmond-Sun da seguinte forma: A igualdade

$\pi (y^n)=\pi (x^m)$

possui uma quantidade finita de soluções para x,y,m,n $\in {\mathbb{Z}}_{+}$ (nos inteiros estritamente positivos).

Status

A conjectura já foi verificada para intervalos [x ^m, y ⁿ] menores que 10¹². A conjectura inclui a Conjectura de Catalan e a Conjectura de Legendre como casos especiais. Também possui relações com a conjectura abc, como mostrado por Carl Pomerance.

Ver também

• Conjectura de Catalan

• Conjectura de Legendre

• Conjectura abc

• Conjectura de Agoh-Giuga

Ligações externas

• Number Theory List (NMBRTHRY Archives) Predefinição:En
• Sequência Predefinição:OEIS da OEIS.