Mostrar código-fonte de Conjetura Oesterlé–Masser

Em [[matemática]], a '''conjetura Oesterlé–Masser''' ou '''conjetura abc''' é um problema em aberto em [[teoria dos números]]. Ela foi primeiramente proposta por [[Joseph Oesterlé]] <ref>Oesterlé, J., Nouvelles approches du "théorème" de Fermat, Astérisque, Séminaire Bourbaki, (1988) 694 (161): 165-186</ref> e [[David Masser]] <ref>Masser, D. W., Open problems, in Chen, W. W. L., Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory (1985), London: Imperial College.</ref> respetivamente em [[1988]] e [[1985]]. A [[conjectura]] do ABC teve origem como resultado de tentativas de [[Joseph Oesterlé|Oesterlé]] e [[David Masser|Masser]] de entender a [[conjectura de Szpiro]] sobre [[Curva elíptica|curvas elípticas]], que envolve estruturas mais geométricas em sua afirmação do que a conjectura abc. A conjectura abc mostrou-se equivalente à conjectura modificada de Szpiro.

Uma série de conjecturas famosas e teoremas na teoria dos números seguiriam imediatamente da conjectura abc ou de suas versões. Goldfeld (1996) descreveu a conjectura do ABC como "''o problema não resolvido mais importante na [[Equação diofantina|análise diofantina]]''".

== Prova de Mochizuki== 
Em agosto de [[2012]], o matemático [[Shinichi Mochizuki]]<ref>[http://www.mathunion.org/ICM/ICM1998.2/ ICM Proceedings 1893-2010]</ref> disponibilizou uma série de quatro artigos contendo uma séria alegação que ele tinha obtido uma demonstração da conjetura abc<ref>[http://klein.sbm.org.br/wp-content/uploads/2013/04/A-Conjectura-abc-1.pdf A CONJECTURA abc] {{Wayback|url=http://klein.sbm.org.br/wp-content/uploads/2013/04/A-Conjectura-abc-1.pdf |date=20160303200337 }} por Julio C. Andrade</ref>. Três anos depois, 2015, a prova de Mochizuki permanece no limbo matemático - nem desmentida nem aceita pela comunidade em geral. Mochizuki estimou que levaria a um estudante de graduação de matemática cerca de 10 anos para ser capaz de entender o seu trabalho, e muitos especialistas acreditam que levaria até mesmo um especialista em geometria aritmética cerca de 500 horas. Até agora, apenas quatro matemáticos dizem terem sido capazes de ler e entender a prova inteira.

== Caso Particular para a Conjectura do abc==
Seja '''a,b,c''' ∈ '''N''', de tal forma que temos '''c = b + a''', ao fazer as operações necessárias chegaremos em '''<math> c^{2^k} = b^{2^k} + a.\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} ) </math>''' ou '''<math> c^{2^k} = b^{2^k} + a.\prod_{i=0}^{k-1}( b^{2^i} + c^{2^i} ) </math>''', com '''k''' ∈ '''N'''e '''i''' índice, onde '''rad'''[<math> c.b.a.\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} )]>c^{2^k} </math> ou '''rad'''[<math> c.b.a.\prod_{i=0}^{k-1}( b^{2^i} + c^{2^i} )]>c^{2^k} </math>. 

==Demonstração==
Dado a equação '''c = b + a''' ao multiplicar ambos os lados por '''b''' resulta em  <math>c.b = b^2 + a.b</math>, como '''b = c- a''' ao substituir no '''primeiro membro''' da igualdade temos <math> c.(c - a) = b^2 + a.b </math>  '''⇒'''  <math> c^2 - a.c = b^2 + a.b </math> '''⇒'''  <math> c^2 = b^2 + a.b + a.c </math>'''⇒''' <math> c^2 = b^2 + a.(b + c)</math>'''( & )'''.


Ao Multiplicar ( & ) por <math> c^2 </math> temos <math> c^4 = b^2.c^2 + a.c^2.(b + c)</math> ao substituir o   1ª <math> c^2 </math> por <math> b^2 + a.(b + c) </math>, temos <math> c^4 = b^2.[b^2 + a.(b + c)] + a.c^2.(b + c)</math> '''⇒'''  <math> c^4 = b^4 + a.b^2.(b + c) + a.c^2.(b + c)</math> '''⇒''' <math> c^4 = b^4 + a.(b + c).(b^2 + c^2)</math> '''( && )'''.


Ao Multiplicar ( && ) por <math> c^4 </math> temos<math> c^8 = b^4.c^4 + a.c^4.(b + c).(b^2 + c^2)</math> ao substituir o  1ª <math> c^4 </math> por <math> b^4 + a.(b + c).(b^2 + c^2) </math>, temos <math> c^8 = b^4.[b^4 + a.(b + c).(b^2 + c^2)] + a.c^4.(b + c).(b^2 + c^2)</math> '''⇒''' <math> c^8 = b^8 + a.b^4.(b + c).(b^2 + c^2) + a.c^4.(b + c).(b^2 + c^2)</math> '''⇒''' <math> c^8 = b^8 + a.(b + c).(b^2 + c^2).(b^4 + c^4)</math> '''( &&& )'''.


Ao Multiplicar ( &&& ) por <math> c^8 </math> temos <math> c^{16} = b^8.c^8 + a.c^8.(b + c).(b^2 + c^2).(b^4 + c^4)</math>ao substituir o  1ª   <math> c^8 </math> por <math> b^8 + a.(b + c).(b^2 + c^2).(b^4 + c^4)</math>, temos <math> c^{16} = b^8.[b^8 + a.(b + c).(b^2 + c^2).(b^4 + c^4)] + a.c^8.(b + c).(b^2 + c^2).(b^4 + c^4)</math> '''⇒''' <math> c^{16} = b^{16} + a.b^8.(b + c).(b^2 + c^2).(b^4 + c^4) + a.c^8.(b + c).(b^2 + c^2).(b^4 + c^4)</math> '''⇒''' <math> c^{16} = b^{16} + a.(b + c).(b^2 + c^2).(b^4 + c^4).(b^8 + c^8)</math> '''( &&&& )'''.

Se continuarmos com a mesma [[lógica matemática]] teremos uma sequência no 1ª membro como <math> S_k(1) : c^1,c^2,c^4,c^8,c^{16},...,c^{2^k}</math> com '''k≥0''' ,o mesmo ocorre com o 2ª membro em relação a potência isso é <math> S_k(2) : b^1,b^2,b^4,b^8,b^{16},...,b^{2^k}</math> com '''k≥0''', note que a outra parte do 2ª membro temos; <math> a.(b + c).(b^2 + c^2).(b^4 + c^4).(b^8 + c^8).(b^{16} + c^{16}).(b^{32} + c^{32})...(b^{2^{k-1}} + c^{2^{k-1}})</math> '''(Pro)''', mas ao ignorarmos '''a''' o restante é um produtório sendo assim podemos escrever '''(Pro)''' como  <math>Pro=a.\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} )</math> ou <math>Pro=a.\prod_{i=0}^{k-1}( b^{2^{i}} + c^{2^{i}} )</math>.

Portanto temos como equações:

<math> c^{2^k} = b^{2^k} + a.\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} ) </math> '''ou''' <math> c^{2^k} = b^{2^k} + a.\prod_{i=0}^{k-1}( b^{2^i} + c^{2^i} ) </math>, desde que '''c = b + a'''

Se caso '''c''' for primo temos que '''rad(<math>c^{2^k}</math>)=c''', o mesmo para '''b''' se for primo '''rad(<math>b^{2^k}</math>)=b''', caso algum seja um número composto teremos; 
<math> c = \prod_{j=1}^{\omega(c)} p_j^{\alpha_j}</math> ⇒ 
'''rad'''(<math>c^{2^k}</math>)='''rad'''(<math> c = \prod_{j=1}^{\omega(c)} p_j^{\alpha_j}</math>) <math> = p_1.p_2.p_3.p_4...p_j</math>, com <math> p_j</math> primos, de forma análoga temos '''rad'''(<math>b^{2^k}</math>)='''rad'''(<math> b = \prod_{j=1}^{\omega(b)} p_j^{\alpha_j}</math>) <math> = p_1.p_2.p_3.p_4...p_j</math>, todavia '''(Pro)''' já é composto então '''rad(Pro)<math> = rad(rad(a).p_1.p_2.p_3.p_4...p_j)</math> ≥ <math>q.p_1.p_2.p_3.p_4...p_j </math>''' . Onde '''rad(a)≥q''' com '''q''' um [[número primo]]. 

Então '''rad'''(<math> a,b,c</math>) = '''rad'''(<math> c^{2^k}.b^{2^k}.Pro </math>) ≥ <math> rad(c.b.a.rad(Pro)) </math> <math> > c^{2^k} </math>. isso é valido pois '''c > b''' ou '''c > a''' e '''b ≥ a''' ou '''a ≥ b''', já que '''c = b + a'''.

==Exemplo com Números==
'''Possibilidades''' seja c=13 , então b + a, há uma finidade de combinação tipo b = 10 e a = 3 , b = 11 e a = 2, b = 9 e a = 4, b = 8 e a = 5, pode ser qualquer combinação nos naturais dede que c = b + a, o mais simples nesse caso é b=12 e a=1. 

'''Exemplo(1)''' dada a igualdade 13 = 7 + 6  então c=13, b=7 e a=6 ou 13 = 6 + 7 então c=13, a=7 e b=6 '''(Usando qualquer uma será valida)''', com k variando de 1 até 3, optando por c=13, b=7 e a=6 temos: 

'''Para k=1 isso é;'''

<center><math> c^{2^k} = b^{2^k} + a.\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} ) </math> ⇒ <math> 13^{2^1} = 7^{2^1} + 6.\prod_{i=1}^{1}( 7^{2^{i-1}} + 13^{2^{i-1}} ) </math> ⇒ <math> 13^2 = 7^2 + 6.(7^{2^0}+13^{2^0})</math> ⇒ <math> 13^2 = 7^2 + 6.(7+13)</math></center>
<center> <math> 13^2 = 7^2 + 6.20 </math> ⇒ <math> 13^2 = 7^2 + 2.3.5.2^2 </math> ⇒ <math> 13^2 = 7^2 + 2^3.3.5</math></center> <center>então</center>  
<center> '''rad''' (<math>13^2.7^2.2^3.3.5</math>)<math>=13.7.2.3.5 = 2730 > 13^2 = 169</math> </center>

'''Para k=2 isso é;'''

<center><math> c^{2^k} = b^{2^k} + a.\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} ) </math> ⇒ <math> 13^{2^2} = 7^{2^2} + 6.\prod_{i=1}^{2}( 7^{2^{i-1}} + 13^{2^{i-1}} ) </math> ⇒ <math> 13^{4} = 7^{4} + 6.(7^1 + 13^1).(7^2 + 13^2) </math> ⇒ <math> 13^{4} = 7^{4} + 6.20.(49 + 169) </math> ⇒ <math> 13^{4} = 7^{4} + 6.20.218 </math> ⇒ <math> 13^{4} = 7^{4} + 2^4.3.5.109 </math></center> <center>então</center>  
<center> '''rad''' (<math>13^4.7^4.2^4.3.5.109 </math>)<math>=13.7.2.3.5.109 = 297 570 > 13^4 = 28561</math> </center>

'''Para k=3 isso é;'''

<center><math> c^{2^k} = b^{2^k} + a.\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} ) </math> ⇒ <math> 13^{2^3} = 7^{2^3} + 6.\prod_{i=1}^{3}( 7^{2^{i-1}} + 13^{2^{i-1}} ) </math> ⇒ <math> 13^{8} = 7^{8} + 6.(7^1 + 13^1).(7^2 + 13^2).(7^4 + 13^4) </math> ⇒ <math> 13^{8} = 7^{8} + 6.(20).(218).(2401 + 28561) </math> ⇒ <math> 13^{8} = 7^{8} + 2^4.3.5.109.(2401 + 28561) </math> ⇒ <math> 13^{8} = 7^{8} + 2^4.3.5.109.(30962) </math> ⇒ <math> 13^{8} = 7^{8} + 2^4.3.5.109.(2. 113. 137) </math> ⇒ <math> 13^{8} = 7^{8} + 2^5.3.5.109.113.137 </math></center> <center>então</center>  
<center> '''rad''' (<math>13^8.7^8.2^5.3.5.109.113.137 </math>)<math>=13.7.2.3.5.109.113.137 = 4 606 681 170 > 13^8 = 815 730 721 </math> </center>

== Utilidade == 
Suponhamos que queremos encontrar certos divisores das diferenças de duas potências que tenham essas propriedades descritas anteriormente, '''exemplo o [[Teste de primalidade de Fermat|Pequeno Teorema de Fermat]]''' que é <math> a^{p-1}</math>≡<math> 1 mod( p )</math>, com '''a ∈ Ζ''' e ''' p ''' primo, de forma algébrica isso é ''' ∃ t ∈ Z ''' tal que <math>t = \frac{a^{p-1} - 1}{p} </math>. 
Nesse caso do pequeno teorema de Fermat em relação a formula, temos a seguinte situação particular, transcrevendo a forma algébrica do pequeno teorema de Fermat para se adequar isso é <math> p - 1 = 2^k</math> ⇒ <math> p = 2^k + 1 </math>, como <math> c = a + b </math> gerou <center><math> c^{2^k} = b^{2^k} + a.\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} ) </math> ⇒ <math>  a.\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} ) = c^{2^k} - b^{2^k}  </math></center>, então usando as adaptações isso é no lugar de c=a , b=1 , e a=p isso nos dar como fórmula; 
<center> <math>  p.\prod_{i=1}^{k}( 1^{2^{i-1}} + a^{2^{i-1}} ) = a^{2^k} - 1^{2^k}  </math> ⇒ <math>  p.\prod_{i=1}^{k}( 1^{2^{i-1}} + a^{2^{i-1}} ) = a^{p - 1} - 1  </math> ⇒ <math> \prod_{i=1}^{k}( 1 + a^{2^{i-1}} )= \frac{a^{p - 1} - 1}{p}</math> ''' ⇔ ''' <math> p = 2^k + 1 </math> e <math>  a = p + 1 </math> </center>

''' Portanto ''' os divisores de <math> a^{p - 1} - 1</math> é ''' p ''' e <math> \prod_{i=1}^{k}( 1 + a^{2^{i-1}} ) = t </math>.

Para facilitar as operações a fórmula para o Pequeno Teorema de Fermat  pode ficar escrita como;

<center> <math> \prod_{i=1}^{k}( 1 + (p + 1)^{2^{i-1}} )= \frac{(p + 1)^{p - 1} - 1}{p}</math> ⇒ <math> p = \frac{(p + 1)^{p - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{k}( 1 + (p + 1)^{2^{i-1}} )}</math> ''' ⇔ ''' <math> p = 2^k + 1 </math> </center>

Isso significa se p não for primo então ''' t ∈ Q''' baseado no Teorema Pequeno teorema de Fermat. 

===Exemplo(1)===

''' para k=1''' então <math> p=2^k + 1 = 2^1 + 1 = 3 </math> 
<center><math> p = \frac{(p + 1)^{p - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{k}( 1 + (p + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 3 = \frac{(3 + 1)^{3 - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{1}( 1 + (3 + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 3 = \frac{4^2 - 1}{( 1 + (4)^{2^{0}} )} </math> ⇒ <math> 3 = \frac{16 - 1}{( 1 + 4 )} </math> ⇒ <math> 3 = \frac{15}{5} </math> ⇒ <math> 3 = 3 </math> </center> '''Satisfez a igualdade então 3 é primo'''.


===Exemplo(2)=== 

''' para k=2''' então <math> p=2^k + 1 = 2^2 + 1 = 5 </math> 
<center><math> p = \frac{(p + 1)^{p - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{k}( 1 + (p + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 5 = \frac{(5 + 1)^{5 - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{2}( 1 + (5 + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 5 = \frac{6^4 - 1}{( 1 + 6).(1 + 6^2)} </math> ⇒ <math> 5 = \frac{1296 - 1}{7.37} </math> ⇒ <math> 5 = \frac{1295}{7.37} </math> ⇒ <math> 5 = \frac{5.7.37}{7.37} </math> ⇒ <math> 5 = 5 </math></center> '''Satisfez a igualdade então 5 é primo'''.

O que irão ver quando k=3 e k=5, é uma contradição do Pequeno teorema de Fermat, o que o pequeno Teorema de Fermat diz ? seja '''mdc(a,p)=1''' isso é '''a''' e '''p''' primo entre se, então <math>p /( a^{p-1} - 1 )</math> ⇔ <math>p</math> for primo, intenda que '''mdc( p + 1 , p) = 1'''. 

===Exemplo(3)=== 

''' para k=3''' então <math> p=2^k + 1 = 2^3 + 1 = 9 </math> 
<center><math> p = \frac{(p + 1)^{p - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{k}( 1 + (p + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 9 = \frac{(9 + 1)^{9 - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{3}( 1 + (9 + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 9 = \frac{10^8 - 1}{( 1 + 10).(1 + 10^2).(1 + 10^4)} </math> </center>

<center> 
[[Ficheiro:Calculo da contradição.png|centro|Calculo da contradição|alt=|miniaturadaimagem|320x320px]]
</center>

Satisfez a igualdade porém 9 não é primo, note que o mdc(10,9)=1, então a divisão não era para ter resultado em um inteiro porém foi o que ocorreu então é uma falha no pequeno teorema de Fermat.

===Exemplo(4)=== 

''' para k=4''' então <math> p=2^k + 1 = 2^4 + 1 = 17 </math> 
<center><math> p = \frac{(p + 1)^{p - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{k}( 1 + (p + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 17 = \frac{(17 + 1)^{17 - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{4}( 1 + (17 + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 17 = \frac{18^{16} - 1}{( 1 + 18).(1 + 18^2).(1 + 18^4).(1 + 18^8)} </math> ⇒ </center> 

<center> 
[[Ficheiro:Quando k é 4.png|centro|Quando k é 4|alt=|miniaturadaimagem|200x200px]]
</center>'''Satisfez a igualdade então 17 é primo'''.

===Exemplo(5)=== 

''' para k=5''' então <math> p=2^k + 1 = 2^5 + 1 = 33 </math> 
<center><math> p = \frac{(p + 1)^{p - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{k}( 1 + (p + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 33 = \frac{(33 + 1)^{33 - 1} - 1}{\prod_{i=1}^{5}( 1 + (33 + 1)^{2^{i-1}} )} </math> ⇒ <math> 33 = \frac{34^{32} - 1}{( 1 + 34).(1 + 34^2).(1 + 34^4).(1 + 34^8).(1 + 34^{16})} </math> </center>

<center> 
[[Ficheiro:Quando k é 5.png|centro|Quando k é 5|alt=|miniaturadaimagem|200x200px]]
</center>'''Satisfez a igualdade porém 33 não é primo, portanto outra falha do Pequeno Teorema de Fermat'''.

== Diferença de duas potências==
Sempre que haver uma diferença de duas potências do tipo <math> c^{2^k} - b^{2^k} </math> é sempre divisível por ''' a ''' e <math>\prod_{i=1}^{k}( b^{2^{i-1}} + c^{2^{i-1}} )</math> ou <math>\prod_{i=0}^{k-1}( b^{2^{i}} + c^{2^{i}} )</math>, dito isso é só adaptar as as bases e expoentes necessário como foi feito para o [[Pequeno teorema de Fermat]].  

==Ver também==
*[[Problemas do Milênio]]
*[[Problemas de Smale]]

{{referências}}
{{Esboço-matemática}}
{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Conjecturas|Abc]]
[[Categoria:Problemas não resolvidos da matemática]]