Mostrar código-fonte de Constante de Euler-Mascheroni

{{log(x)}}
[[Ficheiro:Gamma-area.svg|miniaturadaimagem|A área da região em azul converge para a constante de Euler-Mascheroni]]
A '''constante de Euler-Mascheroni'''  (também chamada de '''constante de Euler''') é uma [[constante matemática]], geralmente denotada pela letra grega gama ({{math|''γ''}}) , com múltiplas utilizações em [[Teoria dos números]]. Ela é definida como o [[Limite de uma sequência|limite]] da diferença entre a [[série harmônica (matemática)|série harmônica]] e o [[logaritmo natural]], denotado aqui por {{math|log}}:

<math display="block">\begin{align}
\gamma &= \lim_{n\to\infty}\left(-\log n + \sum_{k=1}^n \frac1{k}\right)\\[5px]
&=\int_1^\infty\left(-\frac1x+\frac1{\lfloor x\rfloor}\right)\,dx.
\end{align}</math>

Aqui, {{math|⌊·⌋}} representa a [[Parte inteira|função piso]].

O valor numérico da constante de Euler-Mascheroni, com 50 casas após a vírgula, é:<ref name=A001620>{{Citar OEIS|A001620|Decimal expansion of Euler's constant (or the Euler-Mascheroni constant), gamma}}</ref>

{{block indent|{{gaps|0.57721|56649|01532|86060|65120|90082|40243|10421|59335|93992|...}} }}

{{Não resolvido|matemática|A constante de Euler-Mascheroni é irracional? Se for, é transcendente?}}

== História ==

A constante foi definida pela primeira vez pelo [[matemático]] [[Suíça|suíço]] [[Leonhard Euler]] no artigo ''De Progressionibus harmonicus observationes'', publicado em [[1735]]. Euler usou a notação ''C'' para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em [[1761]] Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em [[1790]] o matemático [[Itália|italiano]] Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um [[número racional]]. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10<sup>242080</sup> dígitos (Havil, page 97).

== Convergência ==

Como podemos escrever:
:<math>\begin{align}
  \ln n &=  [\ln n - \ln(n-1)] +[\ln (n-1) - \ln(n-2)]+\ldots +[\ln 2 - \ln 1] + \ln(1) \\
        &=\sum_{k=2}^n \,[\ln k - \ln(k-1)]\end{align}\,</math>

Como <math>\ln k - \ln(k-1)=\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}\,</math>

:<math>\gamma =  1+\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}\right)</math>

Mostremos que a [[série (matemática)|série]] converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:
:<math>\frac{1}{k}\leq\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}\leq \frac{1}{k-1},k=2,3,4\ldots\,</math>

:<math>\sum_{k=2}^{\infty}\left|\frac{1}{k}-\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}\right| =\sum_{k=2}^{\infty}\left(\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}-\frac{1}{k}\right)\leq \sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)</math>

Essa última expressão corresponde à

:<math>\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=-\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)</math>

Que é a [[soma telescópica|série telescópica]]
Dessa forma,

:<math>\sum_{k=2}^{\infty}\left(\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}-\frac{1}{k}\right)\leq \sum_{k=2}^{\infty}\left|\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right|=\left|-1\right|=1</math>

== Propriedades ==
O número <math>\gamma</math> não foi provado que seja [[Número algébrico|algébrico]] ou [[Número transcendente|transcendente]], e , nem sequer se conhece se <math>\gamma</math> é [[Número irracional|irracional]] ou não.<ref>{{citar livro|titulo=Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático|ultimo=Courant|primeiro=R.|editora=Editorial Limusa|local=México|acessodata=}}</ref> A análise de [[frações contínuas]] revela que se <math>\gamma</math> é racional, seu denominador deve ser da ordem de <math>10^{242080}</math>.<ref>{{citar livro|titulo= Título ainda não informado (favor adicionar) |ultimo=Havil|editora=|ano=2003|pagina=97|acessodata=}}</ref> Devido ao fato de estar presente em um grande número de equações e relações, a racionalidade ou irracionalidade de <math>\gamma</math> está os problemas abertos mais importantes da [[Matemática]].

A seguir estão apresentadas as relações mais importantes de <math>\gamma</math> com [[Função|funções]], [[Série (matemática)|série]]s e [[Integral|integrais]].

=== Representação Original (Euler) ===
Foi descoberta em 1734, por [[Euler]], representando <math>\gamma</math> como uma [[série infinita]] da seguinte forma:

<math> \gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right]</math>

=== Relação com a Função Gama ===
Se tomarmos a [[função gama]], derivando-a e analisando-a em '''1''', obtemos -<math>\gamma</math>. O mesmo comportamento é observado se analisarmos a [[função digama]] em '''1''', ou seja:

<math> -\gamma = {\Gamma}'(1) = \Psi(1) \,\! </math>

também como o limite:

<math> \gamma =   \lim_{n \to \infty} \left [ n - \Gamma \left ( \frac{1}{n} \right ) \right ] </math>

O limite relacionado com a [[função beta]] ( expressa em termos da função gama) é:

<math> -\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+{1 \over n}}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ] </math>

e como função beta:

<math> -\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [n^{2+{1 \over n}} \, \Beta \left(  1 + \frac{1}{n},\, n + 1 \right ) - \frac{n^2}{n+1} \right ] </math>

=== Relação com a Função Zeta de Riemann ===
<math>\gamma</math> pode ser [[Expresso (Portugal)|expresso]] por uma soma infinita, cujos termos envolvem a [[Função zeta de Riemann|Função Zeta de Riemann]] para números positivos da seguinte forma:

<math>
\gamma = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k\zeta(k)}{k} =  \log \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} \zeta(k+1)}{2^k (k+1)}
</math>

Outras séries relacionadas com a função zeta são:

<math>
\gamma = \frac{3}{2}- \log 2 - \sum_{k=2}^\infty (-1)^k\,\frac{k-1}{k} [\zeta(k)-1] = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \log\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{k=0}^\infty \frac{2^{k \,n}}{(k+1)!} \sum_{t=0}^k \frac{1}{t+1} - n\, \log 2+ \mathcal{O} \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ]
</math>

O termo erro na última equação está decrescendo rapidamente em função de '''''n .''''' Como resultado, a fórmula se mostra bastante eficiente para cálculo de grande quantidade de dígitos da constante <math>\gamma</math> com extrema precisão.

Outro limite interessante relacionado com a Constante de Euler-Mascheroni e a função zeta é o limite assimétrico:

<math> \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )  = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) </math>

=== Representação com Integrais ===
<math>\gamma</math> é igual ao valor de um número determinado de [[Integral|integrais definidas]]:

<math>

\begin{align}

\gamma & = - \int_0^\infty { e^{-x} \log x }\,dx \\

{} & = - \int_0^1 { \log\log\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx \\

{} & = \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x}  }\,dx \\

{} & = \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx \\

\end{align}

</math>

Dentre as integrais definidas nas quais aparece a constante  <math>\gamma</math>  estão:

<math>  \int_0^\infty { e^{-x^2} \log x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi} </math>

<math> \int_0^\infty { e^{-x} \log^2 x }\,dx  = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} </math>

Uma expressão em que se expressa <math>\gamma</math> como uma integral dupla,<ref>{{citar web|url=http://home.earthlink.net/~jsondow/|titulo=Jonathan Sondow|data=|acessodata=}}</ref> com sua série equivalente é:

<math> \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right ) </math>

=== Representação com Séries ===
Além da série original de Euler, são conhecidas outras séries,em que se inclui:

<math> \gamma = 1 - \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\lfloor\log_2 k\rfloor}{k+1} </math>

encontrada por Nielsen em 1897.

Em 1912, Vacca encontrou a seguinte série relacionada a <math>\gamma</math>:

<math>
 \gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k}
  = \tfrac12-\tfrac13
  + 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right)
  + 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots
</math>

onde [  ] é a [[Parte inteira|função piso]] e <math>\log_{2}</math> é o [[logaritmo]] de base 2 ;

Em 1926, Vacca encontrou outra série similar a anterior:

<math>
 \gamma + \zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}
  = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14\left(\tfrac14 + \dots + \tfrac18\right)
    + \tfrac19\left(\tfrac19 + \dots + \tfrac1{15}\right) + \dots
</math>

que também pode ser escrita como:

<math>
 \gamma = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k^2\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}
 =  \tfrac1{2^2} + \tfrac2{3^2}
  + \tfrac1{2^2}\left(\tfrac1{5^2} + \tfrac2{6^2} + \tfrac3{7^2} + \tfrac4{8^2}\right)
  + \tfrac1{3^2}\left(\tfrac1{10^2} + \dots + \tfrac6{15^2}\right) + \dots
</math><ref>{{citar web|url=http://web.archive.org/web/http://www.math.uni-goettingen.de/skraemer/gamma.html|titulo=Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History|data=|acessodata=|ultimo=Krämer|primeiro=Stefan}}</ref>

As últimas 2 séries podem ser obtidas através da manipulação da Integral de Catalão( ver Sondow e Zudilin)

<math> \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx </math>

=== Representação em forma de fração contínua ===
A representação de <math>\gamma</math> em termos de [[fração contínua]] é:

<math> \gamma = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ \ddots\ {}}}}}} </math>

mais precisamente:

<math> \gamma = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...]\, </math> {{OEIS|A002852}}.

{{Referências}}
* Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp.&nbsp;150–161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp.&nbsp;87 – 100
* {{citar periódico|autor=Borwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. Crandall|título=Strategies for the Riemann Zeta Function|ano=2000|publicação=Journal of Computational and Applied Mathematics|volume=121|id=p.11|url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf |notas=Computational}} Derives γ as sums over Riemann zeta functions. (en inglés)
* {{citar livro|sobrenome=Havil|nome=Julian|título=Gamma: Exploring Euler's Constant|ano=2003|editora=Princeton University Press|isbn = 0-691-09983-9}} (en inglés)
* [[Donald Knuth]] (1997) ''The Art of Computer Programming, Vol. 1'', 3rd ed. [[Addison-Wesley]]. [[:es:Especial:FuentesDeLibros/0201896834|ISBN 0-201-89683-4]] (en inglés)
* Krämer, Stefan (2005) ''Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen''. Diplomarbeit, Universität Göttingen. (alemán)
* Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," ''Mathematics Magazine 71'': 219-220. (en inglés)
* ------ (2002) Gourdon, Xavier, and Sebah, P."Collection of formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
* ------ (2002) "[[arxiv:math.NT/0211075|A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant]]." With an Appendix by [[Sergey Zlobin]]. (en inglés)
* ------ (2003) "[[arxiv:math.CA/0306008|An infinite product for e<sup>γ</sup> via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ]]." (en inglés)
* ------ (2003a) ""[[arxiv:math.NT/0209070|Criteria for irrationality of Euler's constant]]," ''Proceedings of the American Mathematical Society 131'': 3335-3344. (en inglés)
* ------ (2005) "[[arxiv:math.CA/0211148|Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula,]]" ''American Mathematical Monthly 112'': 61-65. (en inglés)
* ------ (2005) "[[arxiv:math.NT/0508042|New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π]]." (en inglés)
* ------ and Wadim Zudilin (2006), "[[arxiv:math.NT/0304021|Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper,]]" Ramanujan Journal 12: 225-244.
{{Esboço-matemática}}

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[[Categoria:Constantes matemáticas|Euler-Mascheroni (Constante)]]