Mostrar código-fonte de Cubo

 {{Info/Poliedros
| nome                  = Cubo
| imagem                = Hexahedron.jpg
| legenda               = 
| tipo                  = Sólido platônico
| euler                 = 
| faces                 = 6
| arestas               = 12
| vertices              = 8
| config_vertices       = 
| schlafli              = {4,3}<br>t{2,4} or {4}×{}<br>tr{2,2} or {}×{}×{}
| wythoff               = 3 | 2 4
| coxeter               = {{CDD|node_1|4|node|3|node}}
| simetria              = O<sub>h</sub>, B<sub>3</sub>, [4,3], (*432)
| area_superficie       = <math>A=6a^2</math>
| volume                = <math>V=a^3</math>
| angulo                = 90°
| dual                  = [[Octaedro]]
| propriedades          = Regular, [[Conjunto convexo|Convexo]]
| plano                 = Hexahedron_flat_color.svg
}}
{{Ver desambiguação|cubo}}
Um '''cubo''' ou [[hexaedro]] regular é um [[poliedro]] com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco [[sólidos platónicos|sólidos platônicos]], pois:

* cada [[Face (geometria)|face]] tem 4 [[Aresta|arestas]];
* de cada [[vértice]] partem 3 arestas;
* vale a relação de Euler: <math>V - A + F = 2</math>, onde <math>V</math> representa o número de vértices, <math>A</math> o número de arestas e <math>F</math> o número de faces.<ref name=":0">{{citar livro|título=Fundamentos de Matemática Elementar|ultimo=Dolce|primeiro=Osvaldo|ultimo2=Pompeo|primeiro2=José Nicolau|editora=Atual|ano=2005|edicao=6|local=São Paulo|páginas=|acessodata=}}</ref>

O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui: 

* faces poligonais regulares e [[Congruência (geometria)|congruentes]];
* ângulos poliédricos congruentes.<ref name=":0" /> 

Ainda, é um [[prisma]] quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são [[Polígono|polígonos]] regulares (quadrados) e as arestas laterais formam [[Ângulo reto|ângulos retos]] (<math>90^\circ</math>) com as arestas das bases. No cubo, todos os [[Diedro|diedros]] possuem ângulo reto. 

O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.<ref>{{citar web|url=http://rei.biblioteca.ufpb.br/jspui/bitstream/123456789/6/3/APRJ08082012.pdf|titulo=Poliedros de Platão|data=2011|publicado=Universidade Federal da Paraíba|ultimo=Rodrigues Justino|primeiro=Ana Paula}}</ref> 

== Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler ==
Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:

: <math>6 \cdot 4 = 24</math>

Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:

: <math>24 \div 2 = 12</math>
Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.

Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

:<math>V - A + F = 2</math>
:sendo <math>F = 6</math> e <math>A = 12</math>, tem-se:
:<math>V - 12 + 6 = 2 \Rightarrow V - 6 = 2 \Rightarrow V - 6 + 6 = 2 + 6 \Rightarrow V = 8</math>
Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

== Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma ==
Sendo <math>n</math> o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:
* <math>2</math> bases congruentes;
* <math>n</math> faces laterais e <math>n + 2</math> faces no total - as <math>n</math> faces laterais e as <math>2</math> bases (as faces laterais são [[Paralelogramo|paralelogramos]] e dependem do número de lados do polígono da base);
* <math>n</math> arestas laterais e <math>3n</math> arestas no total;
* <math>2n</math> vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.<ref name=":0" />

Assim, como o polígono da base do cubo é um [[quadrado]], tem-se:

: <math>n = 4.</math>

Logo, substituindo <math>n</math> por <math>4</math>, nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

* <math>F = n + 2 = 4 + 2 = 6</math>

*<math>A = 3n = 3 \cdot 4 = 12</math>

* <math>V = 2n = 2 \cdot 4 = 8</math>.

== Planificação do cubo ==

O cubo possui, no total, 11 [[Planificação de um poliedro|planificações]] distintas.<ref>http://www.ijvr.org/issues/issue3-2010/paper2.pdf</ref><ref>http://www.numeracycd.com/contents/main/nets/netsofacube.pdf</ref> E são elas:

[[Ficheiro:Planificacao cubo.gif|thumb|502 px|none|Planos do Cubo]]

== Área total da superfície do cubo ==
Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a [[área]] de uma de suas faces e multiplicar por 6.

Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo <math>l</math> é dada por <math>l^2</math> e supondo que cada aresta do cubo tenha medida <math>a</math>, concluí-se que a área de cada face (quadrado) será <math>a^2</math>.

Logo a área total da superfície do cubo será <math>6a^2</math>.<ref name=":0" />

== Diagonal do cubo ==
É possível obter a diagonal do cubo utilizando o [[Teorema de Pitágoras]]. Basta descobrir o valor da [[Diagonais de um polígono|diagonal]] de uma de suas faces em função do valor da aresta <math>a</math> e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.

[[File:Cube diagonals.svg|thumb|O segmento <math>\overline{AC'}</math> representa a diagonal do cubo.]]

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:

:<math>a^2 + a^2 = (\overline{AC})^2</math>

onde <math>a</math> representa a medida da aresta do cubo e <math>\overline{AC}</math> representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:

:<math>a^2 + a^2 = (\overline{AC})^2</math>
:<math>\Rightarrow 2a^2 = (\overline{AC})^2</math>
:<math>\Rightarrow \sqrt{2a^2} = \sqrt{(\overline{AC})^2} </math>
:<math>\Rightarrow a\sqrt{2} = \overline{AC}.</math><ref name=":0" />

Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:

:<math>a^2 + (\overline{AC})^2 = (\overline{AC'})^2</math>

em que <math>\overline{AC'}</math> representa a diagonal do cubo, <math>a</math> representa a aresta do cubo e <math>\overline{AC}</math> a diagonal de uma das faces. Substituindo <math>\overline{AC}</math> por <math>a\sqrt{2}</math>:
:<math>a^2 + (\overline{AC})^2 = (\overline{AC'})^2</math>
:<math>\Rightarrow a^2 + \Big( {a\sqrt{2}} \Big)^2 = (\overline{AC'})^2</math>
:<math>\Rightarrow a^2 + 2a^2 = (\overline{AC'})^2</math>
:<math>\Rightarrow 3a^2 = (\overline{AC'})^2</math>
:<math>\Rightarrow \sqrt{3a^2} = \sqrt{(\overline{AC'})^2}</math>
:<math>\Rightarrow a\sqrt{3} = \overline{AC'}.</math><ref name=":0" /><p>Ou seja, a diagonal do cubo é dada por <math>a\sqrt{3}</math>.</p>

== Volume do cubo ==
<p>Sendo um prisma, o [[volume]] do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela [[Altura (geometria)|altura]].<ref name=":1">{{citar web|url=https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/volume-cubo.htm|titulo=Volume do Cubo|data=|acessodata=11 de junho de 2018|publicado=Mundo Educação|ultimo=|primeiro=|autor=Marcos Noé Pedro da Silva}}</ref> Assim,</p><dl><dd><math>V = Ab \cdot h</math></dd></dl>onde <math>V</math> representa o volume, <math>Ab</math> a área da base e <math>h</math> a altura.

Como a base é um quadrado de lado <math>a</math> e a altura também vale <math>a</math> (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:

: <math>V = a^2 \cdot a \Rightarrow V = a^3.</math><ref name=":1" />

Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta <math>2a</math>, o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

:<math>V = (2a)^3 \Rightarrow V = 8a^3.</math>

== Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera ==
Caso a [[esfera]] esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do [[Raio (geometria)|raio]] da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do [[diâmetro]] da esfera.

Utilizando <math>r</math> para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

: <math>2r = a \Rightarrow r = \frac{a}{2}.</math><ref name=":0" />

== Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera ==
Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.

Se <math>R</math> representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, <math>2R</math> representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

: <math>2R = a\sqrt{3} \Rightarrow R = \frac{a\sqrt{3}}{2}.</math><ref name=":0" />

== Poliedro dual do cubo ==
O [[poliedro dual]] do cubo é o [[octaedro]] regular.

Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.<ref>{{citar web|url=http://www.es.iff.edu.br/poliedros/poli_duais.html|titulo=Poliedros Duais|data=|acessodata=11 de junho de 2018|publicado=|ultimo=Batista|primeiro=Silvia|ultimo2=Barcelos|primeiro2=GIlmara}}</ref>[[Ficheiro:Dualcube.png|200px|thumb|none|Octaedro]]

== Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta <math>a</math> ==

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada [[cateto]] irá medir a metade da aresta <math>a</math> do cubo. Fixando <math>x</math> para representar a [[hipotenusa]] (medida da aresta do octaedro), obtém-se: 

: <math> x^2 =  \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{a}{2} \right)^2</math> 
: <math> \Rightarrow x^2 = 2\left( \dfrac{a}{2} \right)^2</math>
: <math> \Rightarrow x^2 = 2 \cdot \dfrac{a^2}{4}</math> 
: <math> \Rightarrow x^2 = \dfrac{2a^2}{4}</math> 
: <math> \Rightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{\dfrac{2a^2}{4}}</math>
: <math> \Rightarrow x = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}.</math><ref name=":0" />

Portanto, a medida da aresta do octaedro é <math>\dfrac{a \sqrt{2}}{2}</math>.

== Exemplos ==
<gallery class="center">
File:Hexahedron.gif|<center>Um cubo em rotação</center>
File:6sided dice.jpg|<center>Dados de 6 faces</center>
File:Cubo (Matemateca - IME USP).jpg|<center>Cubo<br>([[Matemateca_IME-USP]])</center>
File:Revolução de um cubo (IME-USP).webm|<center>Revolução de um cubo<br>([[Matemateca_IME-USP]])</center>
</gallery>


== Ver também ==
* [[Tesserato]]
* [[Cubo truncado]]
* [[Cubo snub]]
* [[Cuboctaedro]]
* [[Cuboctaedro truncado]]
* [[Hexaedro tetrakis]]

{{Referências|col=2}}

== Ligações externas ==
{{Wiktionary1|Cubo}}
* [http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/cubo-br.html Modelo 3D Interativo do Cubo]

{{esboço-geometria}}
{{Poliedros convexos}}
{{Portal3|Matemática|Geometria}}
{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:Sólidos platónicos]]
[[Categoria:Volume]]