Cubo

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Predefinição:Ver desambiguação Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:

cada face tem 4 arestas;
de cada vértice partem 3 arestas;
vale a relação de Euler: $V - A + F = 2$ , onde $V$ representa o número de vértices, $A$ o número de arestas e $F$ o número de faces.^[1]

O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:

faces poligonais regulares e congruentes;
ângulos poliédricos congruentes.^[1]

Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos ( $9 0^{\circ}$ ) com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.

O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.^[2]

Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:

6 \cdot 4 = 24

Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:

24 \div 2 = 12

Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.

Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

V - A + F = 2

sendo

F = 6

e

A = 12

, tem-se:

V - 12 + 6 = 2 \Rightarrow V - 6 = 2 \Rightarrow V - 6 + 6 = 2 + 6 \Rightarrow V = 8

Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma

Sendo $n$ o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:

$2$ bases congruentes;
$n$ faces laterais e $n + 2$ faces no total - as $n$ faces laterais e as $2$ bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
$n$ arestas laterais e $3 n$ arestas no total;
$2 n$ vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.^[1]

Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:

n = 4 .

Logo, substituindo $n$ por $4$ , nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

$F = n + 2 = 4 + 2 = 6$

$A = 3 n = 3 \cdot 4 = 12$

$V = 2 n = 2 \cdot 4 = 8$ .

Planificação do cubo

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas.^[3]^[4] E são elas:

Área total da superfície do cubo

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.

Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo $l$ é dada por $l^{2}$ e supondo que cada aresta do cubo tenha medida $a$ , concluí-se que a área de cada face (quadrado) será $a^{2}$ .

Logo a área total da superfície do cubo será $6 a^{2}$ .^[1]

Diagonal do cubo

É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta $a$ e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:

a^{2} + a^{2} = (\overline{A C})^{2}

onde $a$ representa a medida da aresta do cubo e $\overline{A C}$ representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:

a^{2} + a^{2} = (\overline{A C})^{2}

\Rightarrow 2 a^{2} = (\overline{A C})^{2}

\Rightarrow \sqrt{2 a^{2}} = \sqrt{(\overline{A C})^{2}}

\Rightarrow a \sqrt{2} = \overline{A C} .

^[1]

Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:

a^{2} + (\overline{A C})^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

em que $\overline{A C^{'}}$ representa a diagonal do cubo, $a$ representa a aresta do cubo e $\overline{A C}$ a diagonal de uma das faces. Substituindo $\overline{A C}$ por $a \sqrt{2}$ :

a^{2} + (\overline{A C})^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

\Rightarrow a^{2} + (a \sqrt{2})^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

\Rightarrow a^{2} + 2 a^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

\Rightarrow 3 a^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

\Rightarrow \sqrt{3 a^{2}} = \sqrt{(\overline{A C^{'}})^{2}}

\Rightarrow a \sqrt{3} = \overline{A C^{'}} .

^[1]

Ou seja, a diagonal do cubo é dada por $a \sqrt{3}$ .

Volume do cubo

Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura.^[5] Assim,

V = A b \cdot h

onde

V

representa o volume,

A b

a área da base e

h

a altura.

Como a base é um quadrado de lado $a$ e a altura também vale $a$ (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:

V = a^{2} \cdot a \Rightarrow V = a^{3} .

^[5]

Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta $2 a$ , o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

V = (2 a)^{3} \Rightarrow V = 8 a^{3} .

Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera

Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.

Utilizando $r$ para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

2 r = a \Rightarrow r = \frac{a}{2} .

^[1]

Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera

Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.

Se $R$ representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, $2 R$ representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

2 R = a \sqrt{3} \Rightarrow R = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

^[1]

Poliedro dual do cubo

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.

Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.^[6]

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta $a$

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta $a$ do cubo. Fixando $x$ para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:

x^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}

\Rightarrow x^{2} = 2 {(\frac{a}{2})}^{2}

\Rightarrow x^{2} = 2 \cdot \frac{a^{2}}{4}

\Rightarrow x^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}

\Rightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{\frac{2 a^{2}}{4}}

\Rightarrow x = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

^[1]

Portanto, a medida da aresta do octaedro é $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Exemplos

Um cubo em rotação
Dados de 6 faces
Cubo
(Matemateca_IME-USP)
Revolução de um cubo
(Matemateca_IME-USP)

Ver também

Predefinição:Referências

Ligações externas

Predefinição:Wiktionary1

Modelo 3D Interativo do Cubo

Predefinição:Esboço-geometria Predefinição:Poliedros convexos Predefinição:Portal3 Predefinição:Controle de autoridade

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 ^1,8 Predefinição:Citar livro

[2] Predefinição:Citar web

[3] ttp://www.ijvr.org/issues/issue3-2010/paper2.pdf

[4] ttp://www.numeracycd.com/contents/main/nets/netsofacube.pdf

[:1-5] 5,0 ^5,1 Predefinição:Citar web

[6] Predefinição:Citar web

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Cubo

Índice

Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma

Planificação do cubo

Área total da superfície do cubo

Diagonal do cubo

Volume do cubo

Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera

Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera

Poliedro dual do cubo

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta $a$

Exemplos

Ver também

Ligações externas

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Cubo

Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma

Planificação do cubo

Área total da superfície do cubo

Diagonal do cubo

Volume do cubo

Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera

Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera

Poliedro dual do cubo

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta a

Exemplos

Ver também

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Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta $a$