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No [[cálculo vectorial]], o '''del''' é um [[operador diferencial]] representado pelo símbolo [[nabla]] <math>\left( \nabla \right).</math> 

==Derivada em função do espaço==
Seja um [[campo escalar]] diferenciável <math>f</math> em função do vector espaço <math>\vec x.</math> Então:

<math display="block">\forall n \in \mathbb{N_*} \quad D_n f = \frac{\partial f}{\partial \vec x_n}</math>

===Em altas ordens===
A derivada em função do espaço em alta ordem é representada por uma multiplicação simbólica como no exemplo abaixo (de 2ª ordem):

<math display="block">\forall n,m \in \mathbb{N_*}\!^2 \quad D_n D_m f = D_n \left( D_m \, f \right) = \frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial \vec x_m} \right) }{\partial \vec x_n} = \frac{\partial^2 f}{\partial \vec x_n \partial \vec x_m}</math>

Essa operação é [[Comutatividade|comutativa]] de acordo com o [[teorema de Clairaut-Schwarz]], então, do exemplo acima pode-se afirmar que:

<math display="block">D_n D_m f = D_m D_n f</math>

Quando os índices são iguais podemos fazer uma exponenciação simbólica.

<math display="block">\forall k,n \in \mathbb{N_*}\!^2 \quad D^k_n f = \underbrace{D_n D_n \left(\ldots\right) D_n}_k f = \frac{\partial^k f}{\partial \vec x\,^k_n}</math>

===Em outras coordenadas ortogonais===
Para todo sistema de coordenadas ortogonal <math>\vec q</math> temos que:

<math display="block">D_n f = \frac{\partial f}{\vec q_n \partial \vec q_n}</math>

==Operações==
Seja um [[campo escalar]] <math>f</math> e um [[campo vectorial]] <math>\vec F</math> ambos diferenciáveis em função do vector espaço <math>\vec x.</math> 

===Gradiente===
[[Ficheiro:Gradient2.svg|thumb|Visualização da interpretação de gradiente - o campo escalar domínio está em preto e a imagem, vectorial, em azul.]]

Em cada ponto, o [[gradiente]] aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar.

<math display="block">\nabla f = \sum^i D_i f \cdot \hat e_i</math>

Portanto o gradiente de <math>f</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dado por:

<math display="block">\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle</math>

O processo de computação do gradiente é revertido pelo [[integral de linha]] de acordo com o [[teorema do gradiente]].

<math display="block"> \Delta f = f_Q - f_P = \int^{\gamma_Q}_{\gamma_P} \nabla f \cdot \vec{d\gamma}</math>

==== Identidades do gradiente ====
#<math>\nabla (f+g) = \nabla f + \nabla g</math><br />
#<math>\nabla (fg) = f \nabla g + g \nabla f</math><br />

===Derivada direcional===
A [[derivada direcional]] é um escalar que representa a derivada dum campo escalar (no caso, f) ao longo de um vector (no caso abaixo, <math>\vec u</math>).
<math display="block">\forall \vec u \quad \nabla\!_{\vec u}\,f = \vec u \cdot \nabla f</math>

Em coordenadas cartesianas,
<math display="block">\vec u \cdot \nabla f = u_x \; \frac{\partial f}{\partial x} + u_y \; \frac{\partial f}{\partial y} + u_z \; \frac{\partial f}{\partial z}</math>

Em coordenadas cilíndricas,
<math display="block">\vec u \cdot \nabla f = u_r \; \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{u_{\theta}}{r} \; \frac{\partial f}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}^2}{r} + u_z \; \frac{\partial f}{\partial z}</math>

===Divergência===
A [[divergência]] (ou '''divergente''') é um campo escalar igual ao [[traço (álgebra linear)]] da [[matriz jacobiana]] dum campo vectorial.
<math display="block">\nabla \bullet \vec F = \sum^i D_i \vec F_i = \mbox{Sp}\mathbf{J}^{\vec F}_{\vec x}</math>

Portanto a divergência de <math>\vec F</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dada pela seguinte soma:
<math display="block">\nabla \bullet \vec F = \frac{\partial \vec F_x}{\partial x} + \frac{\partial \vec F_y}{\partial y} + \frac{\partial \vec F_z}{\partial z}</math>

Denomina-se '''convergência''' o [[inverso aditivo]] da divergência.

==== Identidades da divergência ====
#<math>\nabla \cdot(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})= \nabla\cdot\overrightarrow{F} + \nabla \cdot\overrightarrow{G}</math><br />

===Rotacional===
A [[rotacional]] (ou '''rotor''') é o [[determinante]] entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.

<math display="block">\nabla \times \vec F = \sum_i D_i \vec F \times \hat e_i = \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk} \cdot \hat e_i \cdot D_j \vec F_k</math>

Pelo [[teorema de Laplace]] o rotor de <math>\vec F</math> no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é:

<math display="block">\begin{align}

\nabla \times \vec F = \bigg\langle
&D_y \vec F_z - D_z \vec F_y,\\
&D_z \vec F_x - D_x \vec F_z,\\
&D_x \vec F_y - D_y \vec F_x \bigg\rangle\\

\end{align}</math>

==== Identidades do rotacional ====
#<math>\nabla\times(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})= \nabla\times\overrightarrow{F} + \nabla\times\overrightarrow{G}</math><br />

===Operações combinadas===
Das nove possíveis simples combinações entre os operadores gradiente, divergente e rotor duas a duas, quatro são impossíveis, duas são triviais nulas (sempre resultam em zero) – restam três operadores dos quais um recebe um nome especial, que é o '''divergente do gradiente''' denominado '''laplaciano'''.

{| class="wikitable"
|-----
!
! …gradiente de <math>f</math>
! …divergente de <math>\vec F</math>
! …rotor de <math>\vec F</math>
|-----
! Gradiente do…
| {{vermelho|(indefinido)}}
| [[Gradiente do divergente]]
| {{vermelho|(indefinido)}}
|-----
! Divergente do…
| [[Laplaciano|Laplaciano escalar]]
| {{vermelho|(indefinido)}}
| {{marrom|(trivial nulo)}}
|-----
! Rotor do…
| {{marrom|(trivial nulo)}}
| {{vermelho|(indefinido)}}
| [[Rotor do rotor]]
|-----
|}

Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade:

<math display="block">\underbrace{\left( \sum^i \nabla^2 \vec F_i \right)}_{laplaciano\,vectorial} + \underbrace{\left(\nabla\times\nabla\times\vec F \right)}_{rotor\,do\,rotor} = \underbrace{\left( \nabla\left(\nabla\bullet\vec F\right) \right)}_{gradiente\,do\,divergente}</math>

====Laplaciano====
O [[laplaciano]] escalar é o divergente do gradiente ou o [[traço (álgebra linear)]] da [[matriz hessiana]] dum campo escalar.

<math display="block">\nabla^2 f = \nabla \bullet \nabla f = \sum^i D^2_i f = \mbox{Sp}\mathbf{H}^{f}_{\vec x}</math>

Onde:

<math display="block">D^2_i f = D_i \left( D_i f \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial \vec x^2_i}</math>

O laplaciano de <math>f</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dado pela seguinte soma:
<math display="block">\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>

==== Outras combinações ====
#<math> \nabla \cdot(f\overrightarrow{F})= ( \nabla f)\cdot\overrightarrow{F} +f( \nabla \cdot\overrightarrow{F})</math><br />
#<math> \nabla \times(f\overrightarrow{F})= ( \nabla f)\times\overrightarrow{F}+ f( \nabla \times\overrightarrow{F})</math><br />
#<math> \nabla \cdot(\overrightarrow{F}\times\overrightarrow{G})= \overrightarrow{G}\cdot( \nabla \times\overrightarrow{F}) -\overrightarrow{F}\cdot( \nabla \times\overrightarrow{G})</math><br />
#<math> \nabla (\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{G})= (\overrightarrow{G}\cdot \nabla )\overrightarrow{F}+(\overrightarrow{F}\cdot \nabla )\overrightarrow{G} +\overrightarrow{G}\times( \nabla \times\overrightarrow{F})+ \overrightarrow{F}\times( \nabla \times\overrightarrow{G})  </math>
#<math> \nabla \times(\overrightarrow{F}\times\overrightarrow{G})= (\overrightarrow{G}\cdot \nabla )\overrightarrow{F}-\overrightarrow{G}( \nabla \cdot\overrightarrow{F}) - (\overrightarrow{F}\cdot \nabla )\overrightarrow{G}+ \overrightarrow{F}( \nabla \cdot\overrightarrow{G}) </math>
#<math> \nabla  \times ( \nabla  \times \overrightarrow{F} ) =  \nabla ( \nabla \cdot\overrightarrow{F}) - \nabla ^2 \overrightarrow{F} </math> dado que funções <math>f</math> e <math>\overrightarrow{F}</math> têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas<br />
#<math> \nabla  \times ( \nabla  f) = \overrightarrow{0}</math> dado que funções <math>f</math> e <math>\overrightarrow{F}</math> têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas<br />
#<math> \nabla  \cdot ( \nabla  \times \overrightarrow{F} ) = 0</math> dado que funções <math>f</math> e <math>\overrightarrow{F}</math> têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas<br />

===Laplaciano vectorial===
Cada componente do '''laplaciano vectorial''' representa o laplaciano do componente respectivo do campo vectorial argumento.

<math display="block">\nabla^2 \vec F = \sum^i \nabla^2 \vec F_i \cdot \hat e_i = \sum^{ij} D^2_j \vec F_i \cdot \hat e_i = \sum^i \mbox{Sp}\mathbf{H}^{\vec F_i}_{\vec x} \cdot \hat e_i</math>

Onde:

<math display="block">D^2_j \vec F_i = D_j \left( D_j \vec F_i \right) = \frac{\partial^2 \vec F_i}{\partial \vec x^2_j}</math>

Portanto o laplaciano vectorial de <math>\vec F</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é:

<math display="block">\begin{align}

\nabla^2 \vec F = \Bigg\langle

&\frac{\partial^2 \vec F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec F_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec F_x}{\partial z^2},\\

& \frac{\partial^2 \vec F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec F_y}{\partial z^2},\\

&\frac{\partial^2 \vec F_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec F_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec F_z}{\partial z^2} \Bigg\rangle\\

\end{align}</math>

==Vector del==
Apesar de se tratar dum grave caso de [[abuso de notação]], é muito comum se encontrar a seguinte definição de '''vector del''':

<math display="block">\vec \nabla = \sum^i \frac{\hat{q}_i}{h_i} \cdot \frac{\partial}{\partial \vec x_i}</math>

&hellip;onde <math>h_i</math> é o módulo do vetor <math>\hat{q}_i.</math> 

=== Em coordenadas cartesianas ===
Em [[coordenadas cartesianas]], em que <math>h_i=1</math> obtém-se: 

<math display="block">\overrightarrow{\nabla} = \hat{i}{\partial \over \partial x} + \hat{j}{\partial \over \partial y} + \hat{k}{\partial \over \partial z}.</math>

=== Em coordenadas cilíndricas ===
Em [[coordenadas cilíndricas]] em que <math>h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho,</math> obtém-se:

<math display="block">
\overrightarrow{\nabla} = \hat{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}
+\frac{\hat{\varphi}}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi}+
\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}
</math>

=== Em coordenadas esféricas ===
Em [[coordenadas esféricas]], em que <math>h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta,</math> obtém-se:

<math display="block">
\overrightarrow{\nabla} = \hat{r}\frac{\partial }{\partial r}
+\frac{\hat{\theta}}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+
\frac{\hat{\varphi}}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}
</math>

=== Derivada direcional com o vector del ===
Com o vector del, a [[derivada direcional]] pode ser redefinida como a [[combinação linear]] de <math>\vec u</math> com <math>\vec \nabla:</math> 

<math display="block">\vec \nabla_{\vec u} = \sum^i \vec u_i \cdot \frac{\partial}{\partial \vec x_i} = \vec u \cdot \vec \nabla</math>

Em três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> temos que:

<math display="block">\vec \nabla = \hat \imath \cdot \frac{\partial}{\partial x} + \hat \jmath \cdot \frac{\partial}{\partial y} + \hat k \cdot \frac{\partial}{\partial z} = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right\rangle</math>

E:

<math display="block">\vec \nabla_{\vec u} = \vec u_x \cdot \frac{\partial}{\partial x} + \vec u_y \cdot \frac{\partial}{\partial y} + \vec u_z \cdot \frac{\partial}{\partial z}</math>

=== Divergência com o vector del ===
A divergência passa a ser a [[combinação linear]] (não o [[produto escalar]]! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão:

<math display="block">\vec \nabla \cdot \vec F = \sum^i \frac{\partial}{\partial \vec x_i} \, \cdot \, \vec F_i</math>

=== Laplaciano com o vector del ===
A [[combinação linear]] do vector del consigo mesmo forma o operador laplaciano:

<math display="block">\vec \nabla^2 = \vec \nabla \cdot \vec \nabla</math>

Em três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> teriamos que:

<math display="block">\vec \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}</math>

=== Rotacional com o vector del ===
Daí admitimos outro abuso de notação para definir rotacional:

<math display="block">
\vec \nabla \times \vec F = \det
\begin{bmatrix}
\mathbf{\hat e} & \nabla & \vec F
\end{bmatrix}
= \det
\begin{bmatrix}
  \hat e_x & \hat e_y & \hat e_z \\
  \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
  \vec F_x & \vec F_y & \vec F_z \\
\end{bmatrix}
</math>

Nesse caso, de certa forma, temos sim um [[produto vectorial]] entre o vector del e o campo vectorial.

=== Riscos do abuso de notação ===
O uso do vector del pode gerar muita confusão – por exemplo, a multiplicação envolvendo vector del e não é comutativa, distributiva nem euclideana; também o vector del não tem magnitude nem direcção. Esses fatores podem induzir iniciantes ao erro.

== Alternativas ao símbolo nabla ==
O símbolo [[nabla]] foi introduzido por [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]] e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:

<math display="block">\nabla f = \mbox{grad} f</math>

<math display="block">\nabla\!_{\vec u}\,f = \vec u \cdot \mbox{grad} f</math>

<math display="block">\nabla \bullet \vec F = \mbox{div} \vec F</math>

No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos [[Língua inglesa|anglófonos]] como "''curl''" ou "''rotor''":

<math display="block">\nabla \times \vec F = \mbox{curl} \vec F = \mbox{rot} \vec F</math>

Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta maiúscula em vez do tradicional nabla elevado ao quadrado.

<math display="block">\nabla^2 f = \mbox{div} \mbox{grad} f = \Delta f</math>

<math display="block">\nabla^2 \vec F = \mathbf{\Delta \vec F}</math>

==Notação de Einstein==
Na [[notação de Einstein]] substituimos a forma <math>D_J</math> por <math>\partial_J</math> e assumimos o '''vector del''' <math>\mathbf{\nabla} = \left[\partial_J\right].</math> 

Seja <math>\varphi</math> um campo escalar e <math>\mathbf{F} = \left[f_J\right]</math> um campo vectorial ambos diferenciaveis em função do espaço <math>\mathbf{X} = \left[x_J\right]</math>

#<math>\mbox{grad} \, \varphi = \partial_i \varphi \cdot \hat e_i</math>
#<math>\mbox{div} \,\mathbf{F} = \partial_i f_i</math>
#<math>\mbox{curl} \, \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{\hat e} & \mathbf{\nabla} & \mathbf{F} \end{vmatrix} = \varepsilon_{ijk} \, \hat e_i \partial_j f_k </math>
#<math>\Delta \varphi = \partial \,^2_i \varphi </math>
#<math>\mathbf{\Delta F} = \Delta f_i \cdot \hat e_i </math>

A derivada direcional fica denotada por:

<math display="block">\mathbf{u} \cdot \mbox{grad} \, \varphi</math> upgrade

== Ver também ==
*[[Teorema da divergência]]
*[[Teorema do gradiente]]
*[[Teorema de Stokes]]
*[[Operador de d'Alembert]]

== Ligações externas ==
*{{Link|en|2=http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/divcurl|3=A ideia da divergência e rotacional}}

{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Cálculo vetorial]]
[[Categoria:Geometria diferencial]]
[[Categoria:Operadores diferenciais]]