Del

No cálculo vectorial, o del é um operador diferencial representado pelo símbolo nabla $\left(\mathrm{\nabla }\right).$

Derivada em função do espaço

Seja um campo escalar diferenciável $f$ em função do vector espaço $\overrightarrow{x}.$ Então:

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{*}}{D}_{n}f=\frac{\partial f}{\partial {\overrightarrow{x}}_n}$$

Em altas ordens

A derivada em função do espaço em alta ordem é representada por uma multiplicação simbólica como no exemplo abaixo (de 2ª ordem):

$$\mathrm{\forall }n,m\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{*}}{}^2{D}_n{D}_{m}f=D_n\left(D_{m}f\right)=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial {\overrightarrow{x}}_m}\right)}{\partial {\overrightarrow{x}}_n}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\overrightarrow{x}}_n\partial {\overrightarrow{x}}_m}$$

Essa operação é comutativa de acordo com o teorema de Clairaut-Schwarz, então, do exemplo acima pode-se afirmar que:

$$D_n{D}_{m}f=D_m{D}_{n}f$$

Quando os índices são iguais podemos fazer uma exponenciação simbólica.

$$\mathrm{\forall }k,n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{*}}{}^2{D}_n^{k}f=\underset{k}{\underbrace{D_n{D}_n(\dots )D_n}}f=\frac{{\partial }^{k}f}{\partial \overrightarrow{x}{}_n^k}$$

Em outras coordenadas ortogonais

Para todo sistema de coordenadas ortogonal $\overrightarrow{q}$ temos que:

$$D_{n}f=\frac{\partial f}{{\overrightarrow{q}}_n\partial {\overrightarrow{q}}_n}$$

Operações

Seja um campo escalar $f$ e um campo vectorial $\overrightarrow{F}$ ambos diferenciáveis em função do vector espaço $\overrightarrow{x}.$

Gradiente

Visualização da interpretação de gradiente - o campo escalar domínio está em preto e a imagem, vectorial, em azul.

Em cada ponto, o gradiente aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar.

$$\mathrm{\nabla }f={\sum }^i{D}_{i}f\cdot {\hat{e}}_i$$

Portanto o gradiente de $f$ para três dimensões no espaço carteseano $\overrightarrow{x}=⟨x,y,z⟩$ é dado por:

$$\mathrm{\nabla }f=⟨\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}⟩$$

O processo de computação do gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente.

$$\mathrm{\Delta }f=f_Q-f_P=\underset{{\gamma }_P}{\overset{{\gamma }_Q}{\int }}\mathrm{\nabla }f\cdot \overrightarrow{d\gamma }$$

Identidades do gradiente

1. $\mathrm{\nabla }(f+g)=\mathrm{\nabla }f+\mathrm{\nabla }g$
   
2. $\mathrm{\nabla }(fg)=f\mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\nabla }f$
   

Derivada direcional

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar (no caso, f) ao longo de um vector (no caso abaixo, $\overrightarrow{u}$). $$\mathrm{\forall }\overrightarrow{u}\mathrm{\nabla }{}_{\overrightarrow{u}}f=\overrightarrow{u}\cdot \mathrm{\nabla }f$$

Em coordenadas cartesianas, $$\overrightarrow{u}\cdot \mathrm{\nabla }f=u_x\frac{\partial f}{\partial x}+u_y\frac{\partial f}{\partial y}+u_z\frac{\partial f}{\partial z}$$

Em coordenadas cilíndricas, $$\overrightarrow{u}\cdot \mathrm{\nabla }f=u_r\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{u_{\theta }}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }-\frac{u_{\theta }^2}{r}+u_z\frac{\partial f}{\partial z}$$

Divergência

A divergência (ou divergente) é um campo escalar igual ao traço (álgebra linear) da matriz jacobiana dum campo vectorial. $$\mathrm{\nabla }\bullet \overrightarrow{F}={\sum }^i{D}_i{\overrightarrow{F}}_i=\text{Sp}{𝐉}_{\overrightarrow{x}}^{\overrightarrow{F}}$$

Portanto a divergência de $\overrightarrow{F}$ para três dimensões no espaço carteseano $\overrightarrow{x}=⟨x,y,z⟩$ é dada pela seguinte soma: $$\mathrm{\nabla }\bullet \overrightarrow{F}=\frac{\partial {\overrightarrow{F}}_x}{\partial x}+\frac{\partial {\overrightarrow{F}}_y}{\partial y}+\frac{\partial {\overrightarrow{F}}_z}{\partial z}$$

Denomina-se convergência o inverso aditivo da divergência.

Identidades da divergência

1. $\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{G}$
   

Rotacional

A rotacional (ou rotor) é o determinante entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.

$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}=\sum _i{D}_i\overrightarrow{F}\times {\hat{e}}_i=\sum _{ijk}{\epsilon }_{ijk}\cdot {\hat{e}}_i\cdot D_j{\overrightarrow{F}}_k$$

Pelo teorema de Laplace o rotor de $\overrightarrow{F}$ no espaço carteseano $\overrightarrow{x}=⟨x,y,z⟩$ é:

$$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}=⟨& D_y{\overrightarrow{F}}_z-D_z{\overrightarrow{F}}_y,\\ & D_z{\overrightarrow{F}}_x-D_x{\overrightarrow{F}}_z,\\ & D_x{\overrightarrow{F}}_y-D_y{\overrightarrow{F}}_x⟩\\ \end{array}$$

Identidades do rotacional

1. $\mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}+\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{G}$
   

Operações combinadas

Das nove possíveis simples combinações entre os operadores gradiente, divergente e rotor duas a duas, quatro são impossíveis, duas são triviais nulas (sempre resultam em zero) – restam três operadores dos quais um recebe um nome especial, que é o divergente do gradiente denominado laplaciano.

	…gradiente de $f$	…divergente de $\overrightarrow{F}$	…rotor de $\overrightarrow{F}$
Gradiente do…	Predefinição:Vermelho	Gradiente do divergente	Predefinição:Vermelho
Divergente do…	Laplaciano escalar	Predefinição:Vermelho	Predefinição:Marrom
Rotor do…	Predefinição:Marrom	Predefinição:Vermelho	Rotor do rotor

Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade:

$$\underset{laplacianovectorial}{\underbrace{\left({\sum }^i{\mathrm{\nabla }}^2{\overrightarrow{F}}_i\right)}}+\underset{rotordorotor}{\underbrace{(\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})}}=\underset{gradientedodivergente}{\underbrace{\left(\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\bullet \overrightarrow{F})\right)}}$$

Laplaciano

O laplaciano escalar é o divergente do gradiente ou o traço (álgebra linear) da matriz hessiana dum campo escalar.

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\bullet \mathrm{\nabla }f={\sum }^i{D}_i^{2}f=\text{Sp}{𝐇}_{\overrightarrow{x}}^f$$

Onde:

$$D_i^{2}f=D_i\left(D_{i}f\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\overrightarrow{x}}_i^2}$$

O laplaciano de $f$ para três dimensões no espaço carteseano $\overrightarrow{x}=⟨x,y,z⟩$ é dado pela seguinte soma: $${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$$

Outras combinações

1. $\mathrm{\nabla }\cdot (f\overrightarrow{F})=(\mathrm{\nabla }f)\cdot \overrightarrow{F}+f(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})$
   
2. $\mathrm{\nabla }\times (f\overrightarrow{F})=(\mathrm{\nabla }f)\times \overrightarrow{F}+f(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})$
   
3. $\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{G})=\overrightarrow{G}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})-\overrightarrow{F}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{G})$
   
4. $\mathrm{\nabla }(\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{G})=(\overrightarrow{G}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{F}+(\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{G}+\overrightarrow{G}\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})+\overrightarrow{F}\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{G})$
5. $\mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{G})=(\overrightarrow{G}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{F}-\overrightarrow{G}(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})-(\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{G}+\overrightarrow{F}(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{G})$
6. $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{F}$ dado que funções $f$ e $\overrightarrow{F}$ têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
   
7. $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)=\overrightarrow{0}$ dado que funções $f$ e $\overrightarrow{F}$ têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
   
8. $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})=0$ dado que funções $f$ e $\overrightarrow{F}$ têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
   

Laplaciano vectorial

Cada componente do laplaciano vectorial representa o laplaciano do componente respectivo do campo vectorial argumento.

$${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{F}={\sum }^i{\mathrm{\nabla }}^2{\overrightarrow{F}}_i\cdot {\hat{e}}_i={\sum }^{ij}{D}_j^2{\overrightarrow{F}}_i\cdot {\hat{e}}_i={\sum }^i\text{Sp}{𝐇}_{\overrightarrow{x}}^{{\overrightarrow{F}}_i}\cdot {\hat{e}}_i$$

Onde:

$$D_j^2{\overrightarrow{F}}_i=D_j\left(D_j{\overrightarrow{F}}_i\right)=\frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_i}{\partial {\overrightarrow{x}}_j^2}$$

Portanto o laplaciano vectorial de $\overrightarrow{F}$ para três dimensões no espaço carteseano $\overrightarrow{x}=⟨x,y,z⟩$ é:

$$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{F}=⟨& \frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_x}{\partial z^2},\\ & \frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_y}{\partial z^2},\\ & \frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{\overrightarrow{F}}_z}{\partial z^2}⟩\\ \end{array}$$

Vector del

Apesar de se tratar dum grave caso de abuso de notação, é muito comum se encontrar a seguinte definição de vector del:

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}={\sum }^i\frac{{\hat{q}}_i}{h_i}\cdot \frac{\partial }{\partial {\overrightarrow{x}}_i}$$

…onde $h_i$ é o módulo do vetor ${\hat{q}}_i.$

Em coordenadas cartesianas

Em coordenadas cartesianas, em que $h_i=1$ obtém-se:

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}.$$

Em coordenadas cilíndricas

Em coordenadas cilíndricas em que $h_{\rho }=h_z=1,h_{\phi }=\rho ,$ obtém-se:

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\hat{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }+\frac{\hat{\phi }}{\rho }\frac{\partial }{\partial \phi }+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}$$

Em coordenadas esféricas

Em coordenadas esféricas, em que $h_r=1,h_{\theta }=r,h_{\phi }=r\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta ,$ obtém-se:

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\hat{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\hat{\theta }}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\hat{\phi }}{r\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta }\frac{\partial }{\partial \phi }$$

Derivada direcional com o vector del

Com o vector del, a derivada direcional pode ser redefinida como a combinação linear de $\overrightarrow{u}$ com $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}:$

$${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_{\overrightarrow{u}}={\sum }^i{\overrightarrow{u}}_i\cdot \frac{\partial }{\partial {\overrightarrow{x}}_i}=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$$

Em três dimensões no espaço carteseano $\overrightarrow{x}=⟨x,y,z⟩$ temos que:

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\hat{ı}\cdot \frac{\partial }{\partial x}+\hat{ȷ}\cdot \frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\cdot \frac{\partial }{\partial z}=⟨\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}⟩$$

E:

$${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_{\overrightarrow{u}}={\overrightarrow{u}}_x\cdot \frac{\partial }{\partial x}+{\overrightarrow{u}}_y\cdot \frac{\partial }{\partial y}+{\overrightarrow{u}}_z\cdot \frac{\partial }{\partial z}$$

Divergência com o vector del

A divergência passa a ser a combinação linear (não o produto escalar! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão:

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{F}={\sum }^i\frac{\partial }{\partial {\overrightarrow{x}}_i}\cdot {\overrightarrow{F}}_i$$

Laplaciano com o vector del

A combinação linear do vector del consigo mesmo forma o operador laplaciano:

$${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$$

Em três dimensões no espaço carteseano $\overrightarrow{x}=⟨x,y,z⟩$ teriamos que:

$${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$$

Rotacional com o vector del

Daí admitimos outro abuso de notação para definir rotacional:

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}=\det \left[\begin{array}{ccc}\widehat{𝐞}& \mathrm{\nabla }& \overrightarrow{F}\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{ccc}{\hat{e}}_x& {\hat{e}}_y& {\hat{e}}_z\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ {\overrightarrow{F}}_x& {\overrightarrow{F}}_y& {\overrightarrow{F}}_z\end{array}\right]$$

Nesse caso, de certa forma, temos sim um produto vectorial entre o vector del e o campo vectorial.

Riscos do abuso de notação

O uso do vector del pode gerar muita confusão – por exemplo, a multiplicação envolvendo vector del e não é comutativa, distributiva nem euclideana; também o vector del não tem magnitude nem direcção. Esses fatores podem induzir iniciantes ao erro.

Alternativas ao símbolo nabla

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:

$$\mathrm{\nabla }f=\text{grad}f$$

$$\mathrm{\nabla }{}_{\overrightarrow{u}}f=\overrightarrow{u}\cdot \text{grad}f$$

$$\mathrm{\nabla }\bullet \overrightarrow{F}=\text{div}\overrightarrow{F}$$

No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos anglófonos como "curl" ou "rotor":

$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}=\text{curl}\overrightarrow{F}=\text{rot}\overrightarrow{F}$$

Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta maiúscula em vez do tradicional nabla elevado ao quadrado.

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\text{div}\text{grad}f=\mathrm{\Delta }f$$

$${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{F}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{𝐅}$$

Notação de Einstein

Na notação de Einstein substituimos a forma $D_J$ por ${\partial }_J$ e assumimos o vector del $\mathrm{\nabla }=\left[{\partial }_J\right].$

Seja $\phi$ um campo escalar e $𝐅=\left[f_J\right]$ um campo vectorial ambos diferenciaveis em função do espaço $𝐗=\left[x_J\right]$

1. $\text{grad}\phi ={\partial }_i\phi \cdot {\hat{e}}_i$
2. $\text{div}𝐅={\partial }_i{f}_i$
3. $\text{curl}𝐅=\left|\begin{array}{ccc}\widehat{𝐞}& \mathrm{\nabla }& 𝐅\end{array}\right|={\epsilon }_{ijk}{\hat{e}}_i{\partial }_j{f}_k$
4. $\mathrm{\Delta }\phi =\partial {}_i^2\phi$
5. $\mathrm{\Delta }𝐅=\mathrm{\Delta }{f}_i\cdot {\hat{e}}_i$

A derivada direcional fica denotada por:

$$𝐮\cdot \text{grad}\phi$$ upgrade

Ver também

• Teorema da divergência
• Teorema do gradiente
• Teorema de Stokes
• Operador de d'Alembert

Ligações externas

• Predefinição:Link