Laplaciano

Em matemática e física, o laplaciano ou operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por $\mathrm{\Delta }$  ou ${\mathrm{\nabla }}^2$, sendo o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações diferenciais parciais que modelam problemas físicos, tais como potencial elétrico e gravitacional, propagação de ondas, condução de calor e fluidos, e também fazendo parte das equações de Poisson para eletrostática e da equação de Schrödinger independente do tempo.

Definição do laplaciano escalar

O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:

$\mathrm{\Delta }\varphi ={\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\mathrm{\nabla }\cdot \left(\mathrm{\nabla }\varphi \right)=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\varphi )$

Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja $u:{ℝ}^n\to ℝ$, assim, o Laplaciano é definido como:

$\mathrm{\Delta }u=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i^2}$

Significado físico

Através de um desenvolvimento em série de Taylor em torno de um ponto $r_0$, demonstra-se que o laplaciano nesse ponto é proporcional à diferença entre o valor médio de $\varphi$ do campo no elemento de volume em torno do ponto e o valor ${\varphi }_0$ do campo em $r_0$. Logo, é possível interpretar imediatamente as equações que contenham o operador laplaciano. Um exemplo particularmente importante é o da equação de Laplace que governa o potencial eletrostático no vazio:

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=0$

Essa equação diz que o valor médio do potencial em torno de um ponto $P$ é igual ao valor do potencial no próprio ponto $P$.

Laplaciano escalar em R²

O caso particular em ${𝐑}^2$, onde as componentes são denotadas por x e y, temos:

$\mathrm{\Delta }u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$

Em coordenadas polares $(r,\varphi )$, assume a forma:

$\mathrm{\Delta }u=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\varphi }^2}$

Laplaciano escalar em R³

O caso particular em ${𝐑}^3$, onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:

$\mathrm{\Delta }u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}$

Em coordenadas esféricas $(r,\theta ,\varphi )$, assume a forma:

$\mathrm{\Delta }u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\varphi }^2}$

Em coordenadas cilíndricas $(r,\varphi ,z)$, assume a forma:

$\mathrm{\Delta }u=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}$

Definição do laplaciano vetorial

Seja $𝐀:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$, o Laplaciano é denotado por $\mathrm{\Delta }$ e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de $𝐮=(A_1,\dots ,A_m)$:

$\mathrm{\Delta }𝐀=(\mathrm{△}{A}_1,\dots ,\mathrm{△}{A}_m)=\mathrm{\Delta }𝐀=\left(\mathrm{\Delta }{A}_x\right)𝐢+\left(\mathrm{\Delta }{A}_y\right)𝐣+\left(\mathrm{\Delta }{A}_z\right)𝐤$

Laplaciano vetorial em R³

Coordenadas cartesianas

Em ${ℝ}^3$, vale a igualdade:

$\mathrm{\Delta }𝐀=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐀$

O (importante) caso particular em que $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=0$, vale:

$\mathrm{\Delta }𝐀=-\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐀$

ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.

Coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas usual $r$, $\theta$, $z$, em $𝐀$:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Delta }𝐀=(\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial z^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial r}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }-\frac{A_r}{r^2}){𝐚}_r+\\ & (\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial z^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial r}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }-\frac{A_{\theta }}{r^2}){𝐚}_{\theta }+\\ & (\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial r}){𝐚}_z\\ \end{array}$

Coordenadas esféricas

O sistema de coordenadas esféricas usual $r$, $\theta$, $\varphi$, em $𝐀$:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Delta }𝐀=(\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2(r{A}_r)}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2{A}_r}{\partial {\varphi }^2}+\frac{\cot \theta }{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }-\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }-\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }-\frac{2A_r}{r^2}-\frac{2\cot \theta }{r^2}{A}_{\theta }){𝐚}_r+\\ & (\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2(r{A}_{\theta })}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2{A}_{\theta }}{\partial {\varphi }^2}+\frac{\cot \theta }{r^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }-\frac{2}{r^2}\frac{\cot \theta }{\sin \theta }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }-\frac{A_{\theta }}{r^2{\sin }^2\theta }){𝐚}_{\theta }+\\ & (\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2(r{A}_{\varphi })}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{A}_{\varphi }}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2{A}_{\varphi }}{\partial {\varphi }^2}+\frac{\cot \theta }{r^2}\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }+\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \varphi }+\frac{2}{r^2}\frac{\cot \theta }{\sin \theta }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }-\frac{A_{\varphi }}{r^2{\sin }^2\theta }){𝐚}_{\varphi }\\ \end{array}$

Propriedades

O laplaciano tem as seguintes propriedades:

• $\stackrel{2}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha \stackrel{2}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}f(x)+\beta \stackrel{2}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}g(x)$

• $\stackrel{2}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}(fg)=(\stackrel{2}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}f)g+2(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f)\cdot (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}g)+f(\stackrel{2}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}g)$

• $\stackrel{2}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}f(r)=2\frac{f^{\prime }(r)}{r}+f^{″}(r)$

Resultados importantes

Há os seguintes resultados importantes a respeito do laplaciano:

• O rotacional do gradiente de um campo escalar $V$ é nulo.

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }V)=0$

Um campo vetorial $𝐕$ cujo rotacional seja nulo pode ser associado a um campo escalar $\varphi$. Um exemplo é o campo eletrostático $𝐄$ que se associa com o potencial eletrostático $V$, e, dessa forma, convenciona: $𝐄=-\mathrm{\nabla }V$.

• A divergência do rotacional de um campo vetorial $A$ é nula.

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times A)=0$

Um campo vetorial $𝐁$ cuja divergência seja nula pode ser associado a um campo vetorial $𝐀$. Um exemplo é o campo magnetostático $𝐁$ que se associa com o potencial vetor $𝐀$, e, dessa forma, convenciona: $𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$.

• Um campo vetorial numa região do espaço pode ser completamente especificado através de sua divergência e do seu rotacional, e de um conjunto adequado de condições de fronteira.

A condições de fronteira exigida é a especificação da componente normal no campo na fronteira da região.

Ver também

• Potencial newtoniano
• Gradiente
• Divergência
• Rotacional
• Cálculo vetorial

Ligações externas

• Roldao da Rocha Jr. E. Capelas de Oliveira e Jayme Vaz Jr.; O laplaciano: de Gauss a Beltrami até Hodge-de Rham (formato PostScript)