Mostrar código-fonte de Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos

{{Mais notas|data=janeiro de 2022}}
{{Reciclagem|data=janeiro de 2022}}
<p align=justify>O [[teorema de Euclides]], que assegura a existência de uma [[infinito|infinidade]] de [[número primo|números primos]], é um resultado fundamental da [[teoria elementar dos números|teoria dos números]] e possui inúmeras [[demonstração|demonstrações]]. Além do próprio [[Euclides]], matemáticos famosos como [[Leonhard_Euler|Euler]], [[Christian_Goldbach|Goldbach]] e [[Paul_Erdős|Erdös]], entre outros, também forneceram demonstrações desse [[teorema]]. Há uma, no entanto, que chama bastante a atenção e que valeu fama ao matemático que a engendrou: é a “demonstração topológica” do matemático israelense [[Hillel Fürstenberg]]. A prova<ref name=furstenberg/> foi publicada pela primeira vez em [[1955]] no ''[[American Mathematical Monthly]]'', o jornal mais famoso da ''[[Mathematical Association of America]]''.</p>

== A demonstração de Fürstenberg ==

<p align=justify>Dados inteiros <math>a, b</math>, em que <math>a \neq 0</math>, defina <math>S(a, b) = \{an + b : n\in\mathbb{Z}\} = a\mathbb{Z} + b</math>. Podemos chamar um [[conjunto]] da forma <math>S(a, b)</math> de “''conjunto aritmético''” (abreviadamente CA), dado que a ordenação de seus elementos <math>x \geq b</math> é uma ''[[progressão aritmética]]'' de termo inicial <math>b</math> e razão igual a <math>|a|</math>; e a ordenação dos elementos <math>x \leq b</math> uma progressão aritmética de termo inicial também <math>b</math> e razão, porém, igual a <math>-|a|</math>.</p>

<p align=justify>Considere a coleção <math> \tau = \{</math>X : X é um CA ou uma união de CAs<math>\}\cup\{\varnothing\}</math> de [[subconjunto]]s de <math>\mathbb{Z}</math>. Tal coleção é uma topologia sobre <math>\mathbb{Z}</math> (cujos CAs são [[Conjunto_aberto|abertos]] básicos, isto é, a coleção de todos os CAs é uma [[Base_(topologia)|base]] para tal topologia). Os [[axioma]]s de uma topologia são facilmente verificados:</p>
* Por definição, o [[conjunto vazio]] <math>\varnothing</math> é aberto; e o espaço inteiro <math>\mathbb{Z}</math> também, já que <math>S(1, 0) = \mathbb{Z}</math>;
* [[União_(matemática)|União]] arbitrária de elementos de <math>\tau</math> é ainda um elemento de <math>\tau</math>;
* A [[interseção]] de dois elementos de <math>\tau</math> pertence ainda a <math>\tau</math>: dados <math>U_1, U_2 \in \tau</math> e <math>x \in U_1 \cap U_2</math>, sejam <math>a_1</math> e <math>a_2</math> inteiros tais que <math>S(a_1, x) \subseteq U_1</math> e <math>S(a_2, x) \subseteq U_2</math>; e seja <math>a</math> o [[mínimo múltiplo comum]] de <math>a_1</math> e <math>a_2</math>. Então, como <math>S(a, x) \subseteq S(a_1, x) \subseteq U_1</math> e <math>S(a, x) \subseteq S(a_2, x) \subseteq U_2</math>, <math>S(a, x) \subseteq U_1\cap U_2</math>.

<p align=justify>Esta topologia é um tanto incomum e possui duas propriedades notáveis:</p>
# Se <math>X\neq\varnothing</math> é finito, então <math>X\not\in\tau</math> e, consequentemente, o complementar de um conjunto finito não-vazio nunca é [[Conjunto fechado|fechado]].
# Os abertos básicos <math>S(a, b)</math> são também conjuntos fechados, pois é possível escrever <math>S(a, b)</math> como o complementar de um conjunto aberto:
<center><math>S(a, b) = \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{j = 1}^{a - 1} S(a, b + j).</math></center>

<p align=justify>Bem, os únicos inteiros que não são múltiplos de números primos são -1 e 1, ou seja, vale a identidade</p>
<center><math>\mathbb{Z} \setminus \{ -1, 1 \} = \bigcup_{p \mathrm{\, primo}} S(p, 0).</math></center>

<p align=justify>Pela primeira propriedade, o conjunto <math>\mathbb{Z}\setminus\{-1, 1\}</math> não pode ser fechado. Por outro lado, pela segunda propriedade, os conjuntos <math>S(p, 0)</math> são fechados. Assumindo então, por absurdo, que o conjunto dos números primos seja finito, como a união finita de conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado, ganha-se que <math>\bigcup_{p \mathrm{\, primo}} S(p, 0)</math> é fechado. Mas isto é uma contradição e, portanto, existem infinitos números primos.</p>

==Estudos complementares sobre a topologia de Fürstenberg==
O espaço topológico proposto por Fürstenberg foi estudado por vários autores. Lovas e Mező,<ref name=LovasMezo/> por exemplo, forneceram diversas métricas que geram a topologia de Fürstenberg. E mais ainda: encontraram também o completamento métrico de '''Z''' por meio de uma dessas métricas.

== Referências ==
{{reflist|refs=
<ref name=furstenberg>
{{citar periódico
|último = Fürstenberg
|primeiro = Harry
|autorlink = Hillel Fürstenberg
|título= On the infinitude of primes
|periódico= Amer. Math. Monthly
| volume = 62
|ano= 1955
|páginas= 353
| issn = 0002-9890
| doi = 10.2307/2307043
| url = http://www.math.auckland.ac.nz/~gauld/750-05/inftlymanyprimes.pdf
}}</ref>
<ref name=LovasMezo>
{{citar periódico
|último1 = Lovas |primeiro1 = R.
|último2 = Mező |primeiro2 = I.
|título= Some observations on the Furstenberg topological space
|periódico= Elemente der Mathematik
| volume = 70
|páginas= 103–116
|ano= 2015
}}</ref>
}}

== Ligações externas ==
* {{en}} {{Link||2=http://www.everything2.com/index.pl?node_id=1460203 |3=Furstenberg's proof that there are infinitely many prime numbers}} no [[Everything2]]
* {{en}} {{Link||2=http://planetmath.org/encyclopedia/FurstenbergsProofOfTheInfinitudeOfPrimes.html |3=Fürstenberg's proof of the infinitude of primes}} no [[PlanetMath]]
* {{en}} {{Link||2=http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/topproof.html |3=Fürstenberg's Proof of the Infinitude of Primes}} no [http://primes.utm.edu/ The Prime Pages]
* {{en}} {{Link||2=http://www.cut-the-knot.org/proofs/Furstenberg.shtml |3=Infinitude of Primes - A Topological Proof}} no [http://www.cut-the-knot.org Cut The Not]
* {{en}} {{Link||2=http://www.cut-the-knot.org/proofs/Mercer.shtml |3=Infinitude of Primes - A Topological Proof without Topology}} no [http://www.cut-the-knot.org Cut The Not]


{{portal3|matemática}}


{{DEFAULTSORT:Demonstracao Furstenberg Infinitude Dos Numeros Primos}}
[[Categoria:Números primos]]
[[Categoria:Teoremas de matemática|Furstenberg Infinitude]]
[[Categoria:Topologia (matemática)]]