Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos

O teorema de Euclides, que assegura a existência de uma infinidade de números primos, é um resultado fundamental da teoria dos números e possui inúmeras demonstrações. Além do próprio Euclides, matemáticos famosos como Euler, Goldbach e Erdös, entre outros, também forneceram demonstrações desse teorema. Há uma, no entanto, que chama bastante a atenção e que valeu fama ao matemático que a engendrou: é a “demonstração topológica” do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A prova foi publicada pela primeira vez em 1955 no American Mathematical Monthly, o jornal mais famoso da Mathematical Association of America.

A demonstração de Fürstenberg

Dados inteiros $a,b$, em que $a\ne 0$, defina $S(a,b)=\{an+b:n\in \mathbb{Z}\}=a\mathbb{Z}+b$. Podemos chamar um conjunto da forma $S(a,b)$ de “conjunto aritmético” (abreviadamente CA), dado que a ordenação de seus elementos $x\ge b$ é uma progressão aritmética de termo inicial $b$ e razão igual a $|a|$; e a ordenação dos elementos $x\le b$ uma progressão aritmética de termo inicial também $b$ e razão, porém, igual a $-|a|$.

Considere a coleção $\tau =\{$X : X é um CA ou uma união de CAs$\}\cup \{\varnothing \}$ de subconjuntos de $\mathbb{Z}$. Tal coleção é uma topologia sobre $\mathbb{Z}$ (cujos CAs são abertos básicos, isto é, a coleção de todos os CAs é uma base para tal topologia). Os axiomas de uma topologia são facilmente verificados:

• Por definição, o conjunto vazio $\varnothing$ é aberto; e o espaço inteiro $\mathbb{Z}$ também, já que $S(1,0)=\mathbb{Z}$;
• União arbitrária de elementos de $\tau$ é ainda um elemento de $\tau$;
• A interseção de dois elementos de $\tau$ pertence ainda a $\tau$: dados $U_1,U_2\in \tau$ e $x\in U_1\cap U_2$, sejam $a_1$ e $a_2$ inteiros tais que $S(a_1,x)\subseteq U_1$ e $S(a_2,x)\subseteq U_2$; e seja $a$ o mínimo múltiplo comum de $a_1$ e $a_2$. Então, como $S(a,x)\subseteq S(a_1,x)\subseteq U_1$ e $S(a,x)\subseteq S(a_2,x)\subseteq U_2$, $S(a,x)\subseteq U_1\cap U_2$.

Esta topologia é um tanto incomum e possui duas propriedades notáveis:

1. Se $X\ne \varnothing$ é finito, então $X\in ̸\tau$ e, consequentemente, o complementar de um conjunto finito não-vazio nunca é fechado.
2. Os abertos básicos $S(a,b)$ são também conjuntos fechados, pois é possível escrever $S(a,b)$ como o complementar de um conjunto aberto:

$S(a,b)=\mathbb{Z}\setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}S(a,b+j).$

Bem, os únicos inteiros que não são múltiplos de números primos são -1 e 1, ou seja, vale a identidade

$\mathbb{Z}\setminus \{-1,1\}=\bigcup _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}}S(p,0).$

Pela primeira propriedade, o conjunto $\mathbb{Z}\setminus \{-1,1\}$ não pode ser fechado. Por outro lado, pela segunda propriedade, os conjuntos $S(p,0)$ são fechados. Assumindo então, por absurdo, que o conjunto dos números primos seja finito, como a união finita de conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado, ganha-se que $\bigcup _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}}S(p,0)$ é fechado. Mas isto é uma contradição e, portanto, existem infinitos números primos.

Estudos complementares sobre a topologia de Fürstenberg

O espaço topológico proposto por Fürstenberg foi estudado por vários autores. Lovas e Mező, por exemplo, forneceram diversas métricas que geram a topologia de Fürstenberg. E mais ainda: encontraram também o completamento métrico de Z por meio de uma dessas métricas.

Ligações externas

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