Mostrar código-fonte de Derivação de algumas transformadas discretas de Hilbert

Apresenta-se aqui a derivação de algumas [[Transformada de Hilbert#Transformada Discreta de Hilbert|transformadas discretas de Hilbert]].

== f(t) = cos(2πt), com 10 amostras e intervalo de amostragem de 0.2 s ==

Neste caso, n = 10 e ω = 2π rd/s. Assim, f<sub>max</sub> = 1 Hz e a condição <math>t_a < \frac{1}{2 f_{max}}</math> foi satisfeita. Q(k) será a sequência


<math>Q(k) \;=\; \{p_k \} \;|\; p_k \;=\; cos(2 \pi k \cdot t_a), \; k \;=\; \{ 0,1,2...9 \}</math>


<math>Q(k) \;=\; \{p_k \} \;|\; p_k \;=\; cos(0.4 \cdot \pi k), \; k \;=\; \{ 0,1,2...9 \}</math>


Q(k) = {1.00, 0.309, -0.809, -0.809, 0.309, 1.00, 0.309, -0.809, -0.809, 0.309}.

=== Cálculo através da convolução ===
Vamos obter a DHT primeiro através da expressão da convolução. Para isso, calcula-se a matriz H<sup>-1</sup>(k-j) e depois o produto matricial H<sup>-1</sup>(k-j) · Q(j) 


<math>H^{-1}(k-j) \;=\; [p_{k,j}] \;|\; p_{k,j} \;=\; - \; \frac{2}{n} \cdot sin^2 \left( \frac{\pi}{2} \; (k \; \; j) \right) \cdot cot \left( \frac{\pi}{n} \; (k \;-\; j) \right), \; k,j \;=\; \{ 0,1,2...9 \}</math>


<math>H^{-1}(k-j) \;=\; \begin{bmatrix}
0.000 & 0.616 & 0.000 & 0.145 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.145 & 0.000 & -0.616 \\
-0.616 & 0.000 & 0.616 & 0.000 & 0.145 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.145 & 0.000 \\
0.000 & -0.616 & 0.000 & 0.616 & 0.000 & 0.145 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.145 \\
-0.145 & 0.000 & -0.616 & 0.000 & 0.616 & 0.000 & 0.145 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.000 & -0.145 & 0.000 & -0.616 & 0.000 & 0.616 & 0.000 & 0.145 & 0.000 & 0.000 \\
0.000 & 0.000 & -0.145 & 0.000 & -0.616 & 0.000 & 0.616 & 0.000 & 0.145 & 0.000 \\
0.000 & 0.000 & 0.000 &	-0.145 & 0.000 & -0.616 & 0.000 & 0.616 & 0.000 & 0.145 \\
0.145 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.145 & 0.000 & -0.616 & 0.000 & 0.616 & 0.000 \\
0.000 & 0.145 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.145 & 0.000 & -0.616 & 0.000 & 0.616 \\
0.616 & 0.000 & 0.145 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.145 & 0.000 & -0.616	& 0.000 \\
\end{bmatrix}</math>


<math>H^{-1}(k-j) \cdot Q(j) \;=\; \begin{bmatrix}
0.000 & 0.190 & 0.000 & -0.118 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & 0.118 & 0.000 & -0.190 \\
-0.616 & 0.000 & -0.498 & 0.000 & 0.045 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & 0.118 & 0,000 \\
0.000 & -0.190 & 0.000 & -0.498 & 0.000 & 0.145 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.045 \\
-0.145 & 0.000 & 0.498 & 0.000 & 0.190 & 0.000 & 0.045 & 0.000 & 0.000 & 0.000 \\
0.000 & -0.045 & 0.000 & 0.498 & 0.000 & 0.616 & 0.000 & -0.118 & 0.000 & 0.000 \\
0.000 & 0.000 & 0.118 & 0.000 & -0.190 & 0.000 & 0.190 & 0.000 & -0.118 & 0.000 \\
0.000 & 0.000 & 0.000 & 0.118 & 0.000 & -0.616 & 0.000 & -0.498 & 0.000 & 0.045 \\
0.145 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.045 & 0.000 & -0.190 & 0.000 & -0.498 & 0.000 \\
0.000 & 0.045 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.145 & 0.000 & 0.498 & 0.000 & 0.190 \\
0.616 & 0.000 & -0.118 & 0.000 & 0.000 & 0.000 & -0.045 & 0.000 & 0.498 & 0.000 \\
\end{bmatrix}</math>


<math>DHT(k) \;=\; \{p_k \} \;|\; p_k \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{9} \left[ H^{-1}(k \;-\; j) \cdot Q(j) \right] \; k,j \;=\; \{ 0,1,2...9 \}</math>


DHT(k) = {0, -0.951, -0.588, 0.588, 0.951, 0, -0.951, -0.588, 0.588, 0,951}.

=== Cálculo através da DFT ===
Vamos obter a DHT agora através da transformada discreta de Fourier. H(k) será dada por


<math>H(k) \;=\; \{p_k \} \;|\; p_k \;=\; i \cdot sgn \left( \frac{n}{2} \;-\; k \right) \cdot sgn(k), \; k \;=\; \{ 0,1,2...9 \}</math>


H(k) = {0, i, i, i, i, 0, -i, -i, -i, -i}. Os coeficientes da DFT e da DFT<sup>-1</sup>> são dados, por definição (ver [[Transformada de Fourier]], por


<math>DFT \{ F(k) \} \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} \left[ F[j] \cdot e^{-i \; \frac{2 \pi}{n} \; j k} \right]</math>


e


<math>DFT^{-1} \{ F(k) \} \;=\; \frac{1}{n} \cdot \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} \left[ F[j] \cdot e^{i \; \frac{2 \pi}{n} \; j k} \right]</math>


Assim,


<math>DFT \{ Q(k) \} \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} \left[ Q[j] \cdot e^{-i \; \frac{2 \pi}{n} \; j k} \right] \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{9} \left[ cos(0.4 \cdot \pi j) \cdot e^{- \; 0.2 \cdot i \pi j k} \right]</math>


<math>DFT \{ Q(k) \} \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{9} \left[ cos(0.4 \cdot \pi j) \cdot \left( cos(-0.2 \cdot \pi j k) \;+\; i \; sin(-0.2 \cdot \pi j k) \right) \right]</math>


DFT(k) = {0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0}. Multiplicando-se por H(k), obtemos F(k) = {0, 0, 5i, 0, 0, 0, 0, 0, -5i, 0}. Assim,


<math>DHT(k) \;=\; DFT^{-1} \{ H(k) \cdot DFT(k) \} \;=\; DFT^{-1} \{ F(k) \} \;=\; \frac{1}{n} \cdot \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} \left[ F[j] \cdot e^{i \; \frac{2 \pi}{n} \; j k} \right]</math>


<math>DHT(k) \;=\; \frac{1}{n} \cdot \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} \left[ F[j] \left( cos(-0.2 \cdot \pi j k) \;+\; i \; sin(-0.2 \cdot \pi j k) \right) \right]</math>


DHT(k) = {0, -0.951, -0.588, 0.588, 0.951, 0, -0.951, -0.588, 0.588, 0,951}.

=== Validação ===
Uma vez que a transformada de Hilbert û(t) em forma fechada é conhecida, pode-se amostrá-la a intervalos t<sub>a</sub> de maneira a obter os coeficientes exatos de DHT.


<math>DHT(k) \;=\; \{p_k \} \;|\; p_k \;=\; \hat u(k \cdot t_a), \; k \;=\; \{ 0,1,2...9 \}</math>


<math>DHT(k) \;=\; \{p_k \} \;|\; p_k \;=\; - \; sin(2 \pi k \cdot t_a), \; k \;=\; \{ 0,1,2...9 \}</math>


DHT(k) = {0, -0.951, -0.588, 0.588, 0.951, 0, -0.951, -0.588, 0.588, 0,951}. O resultado é exato, devido à alta frequência de amostragem utilizada.

[[Categoria:Transformadas]]