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{{Cálculo}}
No [[cálculo]], a '''derivada''' em um ponto de uma função <math>y=f(x)</math> representa a taxa de variação instantânea de <math>y</math> em relação a <math>x</math> neste ponto. Um exemplo típico é a função [[velocidade]] que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo, a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto <math>x=a</math> de <math>y = f(x)</math> representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto <math>(a,~f(a))</math>.<ref>STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 159.</ref><ref>{{citar livro|título = Cálculo - Volume 1|sobrenome = Anton|nome = Howard|edição = 8|local = |editora = Bookman|ano = 2009|página = |isbn = 9788560031634}}</ref> A função que a cada ponto <math>x</math> associa a derivada neste ponto de <math>f(x)</math> é chamada de função derivada de f(x).

[[Imagem:Graph of sliding derivative line.gif|right|thumb|300px|Em cada ponto, a derivada de <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> é a tangente do [[Entes geométricos fundamentais#Coeficiente angular|ângulo]] que a [[reta tangente]] à [[curva]] faz em relação ao [[abscissa|eixo das abscissas]]. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é [[Número positivo|positiva]] quando verde, [[Número negativo|negativa]] quando vermelha, e [[zero]] quando preta.]]

==Notação==
Duas distintas notações são comumente utilizadas para a derivada, o resultante de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] e o outro a partir de [[Joseph-Louis Lagrange|Joseph Louis Lagrange]]. 

Na [[notação de Leibniz]], uma mudança [[infinitesimal]] em ''x'' é denotada por ''dx'', e a derivada de ''y'' em relação a ''x'' é escrito <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} x} \,\!</math>.

sugerindo que a razão de duas quantidades infinitesimais (A expressão acima é lido como "a derivada de ''y'' em relação a ''x''", "''dy'' por ''dx''", ou "''dy'' sobre ''dx''". A forma oral ''dydx'' é usado frequentemente em tom de conversa, embora possa levar à confusão).

Na notação de Lagrange, a derivada em relação a ''x'' de uma função ''F(x)'' é denotada ''f'(x)'' ou ''fx'(x)'', em caso de ambiguidade da variável implicada pela derivação. A notação de Lagrange é por vezes incorretamente atribuída a [[Isaac Newton|Newton]]. 

== Definição ==

[[File:What is derivative (animation).gif|thumb|Uma animação que dá uma ideia intuitiva da derivada, à medida que o "balanço" de uma função muda quando o argumento muda.]]

Seja <math>I</math> um [[Intervalo (matemática)|intervalo]] [[Conjunto aberto|aberto]] não-vazio e seja <math>f:I\to\mathbb{R}</math>, <math>y = f(x)</math>, uma [[função (matemática)|função]] de <math>I</math> em <math>\mathbb{R}</math>. Diz-se que função <math>f(x)</math> é derivável no ponto <math>a\in I</math> se existir o seguinte limite:<ref>STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 156.</ref>
:<math>f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>.
Se for esse o caso, o número real <math>f'(a)</math> é chamado de derivada da função <math>f</math> no ponto <math>a</math>. Notações equivalentes são:

<math>f'(a) = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}(a) = \left. \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} x}\right|_{x=a}</math>.

Equivalentemente, escrevemos:

<math>f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}</math>

o que é obtido fazendo <math>h = x-a</math> no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de <math>f(x)</math> por:

<math>f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}</math>

para todo <math>x</math> para o qual este limite existe.

Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.

{|
| Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de [[limite]]. Considera-se a inclinação da [[Secante (trigonometria)|secante]], quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de ''f'' convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da [[tangente]].|| [[Ficheiro:Secante_calculo.svg|thumb|280px|centro|Inclinação da secante ao gráfico de ''f'']]  || [[Ficheiro:Derivada.svg|thumb|255px|centro|Inclinação da tangente à curva como a derivada de ''f''(''x'')]]
|}
Seja ''f'' uma [[função real]] definida em uma [[vizinhança aberta]] de um número real ''a''.  

Na geometria clássica, a linha tangente ao gráfico da função ''f'' em ''a'' foi a única linha que passou pelo ponto (a, f(a)) que não encontrou o gráfico de f transversalmente, significando que a linha não passou diretamente pelo gráfico.

O declive da secante ao gráfico de ''f, [[Derivada#/media/File:Secante calculo.svg|na imagem acima]],'' que passa pelos pontos (''x'',''f''(''x'')) e (''x''&nbsp;+&nbsp;''h'',''f''(''x''&nbsp;+&nbsp;''h'')) é dado pelo ''quociente de [[Isaac Newton|Newton]]'':
:<math>\frac{f(x+h)-f(x)}h</math>.

Uma definição alternativa é: a função ''f'' é derivável em ''a'' se existir uma função φ<sub>''a''</sub> de ''I'' em '''R''' contínua em ''a'' tal que
:<math>(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x)\cdot(x-a)</math>.
Então define-se a derivada de ''f'' em ''a'' como sendo φ<sub>''a''</sub>(''a'').

Funções com valores em R<math>^n</math>

Se <math>I</math> for um intervalo de <math>\mathbb{R}</math> com mais do que um ponto e se <math>f</math> for uma função de <math>I</math> em <math>\mathbb{R}^n</math>, para algum [[número natural]] <math>n</math>, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
:<math>\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array}</math>        (ou seja: uma função que a cada x do [[domínio]] em <math>\mathbb{R}</math> responde com uma coordenada no [[contradomínio]] em <math>\mathbb{R}^n</math>. Esta coordenada é <math>(\cos(x),\operatorname{sen}(x))</math>.
é derivável e
:<math>(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x)).</math>
[[Ficheiro:Tangent to a curve.svg|thumb|O gráfico de uma função, desenhadas em preto, e uma linha tangente a essa função, elaborado em vermelho. A inclinação da linha tangente é igual a derivada da função no ponto marcado.]]
De fato, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, exceto, naturalmente, as que dizem respeito à [[Função monótona|monotonia]] de funções.

==Diferenciabilidade==
===Derivabilidade num ponto===
* Seja <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto, seja <math>a</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>I</math> e seja <math>f</math> uma função de <math>I</math> em '''R''' derivável em <math>a</math>. Então <math>f</math> é [[função contínua|contínua]] em <math>a</math>. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
* Seja <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto, seja <math>a</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>I</math> e sejam <math>f</math> e <math>g</math> funções de <math>I</math> em '''R''' deriváveis em <math>a</math>. Então as funções <math>f</math>&nbsp;±&nbsp;<math>g</math>, <math>f.g</math> e (caso <math>g(a)</math>&nbsp;≠&nbsp;<math>0</math>) <math>f/g</math> também são deriváveis em <math>a</math> e:
** <math>(f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)</math>
** <math>(f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)</math>
** <math>(f/g)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}</math>
Em particular, se <math>c</math>&nbsp;∈&nbsp;'''R''', então <math>(c.f)'=c.f'</math>. Resulta daqui e de se ter <math>(f+g)'=f'+g'</math> que a derivação é uma [[Transformação linear|aplicação linear]].
* Sejam <math>I</math> e <math>J</math> intervalos de '''R''' com mais do que um ponto, seja <math>a</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>I</math>, seja <math>f</math> uma função de <math>I</math> em <math>J</math> derivável em <math>a</math> e seja seja <math>g</math> uma função de <math>J</math> em '''R''' derivável em <math>f(a)</math>. Então <math>g</math>&nbsp;o&nbsp;<math>f</math> é derivável em <math>a</math> e
:<math>(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a)</math>.
Esta propriedade é conhecida por [[regra da cadeia]].
* Seja <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto, seja <math>a</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>I</math> e seja <math>f</math> uma função contínua de <math>I</math> em '''R''' derivável em <math>a</math> com derivada não nula. Então a [[função inversa]] <math>f^{-1}</math> é derivável em <math>f(a)</math> e
:<math>(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}\cdot</math>
Outra maneira de formular este resultado é: se <math>a</math> está na imagem de <math>f</math> e se <math>f</math> for derivável em <math>f^{-1}(a)</math> com derivada não nula, então
:<math>(f^{-1})'(a)=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(a)\bigr)}\cdot</math>

Assim, por exemplo, se considerarmos a função ''f'' de '''R''' em '''R''' definida por ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''²&nbsp;+&nbsp;''x''&nbsp;−&nbsp;1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, ''f''(''x'')&nbsp;−&nbsp;''f''(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive&nbsp;1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,''f''(0)) mais perto estará este de ser linear.

[[Ficheiro:Differentiable function.png|center|thumb|400px|Gráfico de uma função derivável.]]

Em contrapartida, a função [[valor absoluto|módulo]] de '''R''' em '''R''' não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

[[Ficheiro:Module.png|center|thumb|190px|Gráfico da função modular, que não é derivável em <math>0</math>.]]

===Derivabilidade em todo o domínio===
Diz-se que ''f'' é ''derivável'' ou ''diferenciável'' se o for em todos os pontos do domínio.
[[Imagem:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|Uma função diferenciável]]
* Uma função derivável <math>f</math> de <math>I</math> em '''R''' é constante se e só se a derivada for igual a <math>0</math> em todos os pontos. Isto é uma consequência do [[Teorema do valor médio|teorema da média]].
* Uma função derivável <math>f</math> de <math>I</math> em '''R''' é [[Função monótona|crescente]] se e só se a derivada for maior ou igual a <math>0</math> em todos os pontos. Isto também é uma consequência do [[Teorema do valor médio|teorema da média]].
Uma função cuja derivada seja sempre maior que <math>0</math> é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor <math>0</math> em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de '''R''' em '''R''' definida por <math>f(x)=x^3</math>. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.
* Se <math>f</math> for uma função derivável de <math>I</math> em '''R''', sendo <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto, então <math>f'(I)</math> também é um intervalo de '''R'''. Outra maneira de formular este resultado é: se <math>f</math> for uma função derivável de <math>[a,b]</math> em '''R''' e se <math>y</math> for um [[número real]] situado entre <math>f'(a)</math> e <math>f'(b)</math> (isto é, <math>f'(a)</math>&nbsp;≤&nbsp;<math>y</math>&nbsp;≤&nbsp;<math>f'(b)</math> ou <math>f'(a)</math>&nbsp;≥&nbsp;<math>y</math>&nbsp;≥&nbsp;<math>f'(b)</math>), então existe algum <math>c</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>[a,b]</math> tal que <math>f'(c)=y</math>. Este resultado é conhecido por [[teorema de Darboux]].
=== Funções continuamente deriváveis ===
Seja <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto e seja <math>f</math> uma função de <math>I</math> em '''R'''. Diz-se que <math>f</math> é ''continuamente derivável'' ou ''de classe <math>C^1</math>'' se <math>f</math> for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é
:<math>\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\begin{cases}x^2\mathop{\mathrm{sen}}(\frac1x)&\text{ se }x\neq0\\0&\text{ se }x=0\text{,}\end{cases}\end{array}</math>
pois o limite <math>\lim_{x\rightarrow0}f'(x)</math> não existe; em particular, ''f' '' não é contínua em&nbsp;<math>0</math>.

===Derivadas de ordem superior===
Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de ''x'' e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a ''segunda derivada'' da função ''f''. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de ''terceira derivada'' e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de ''f'' por:
:<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} x},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} x}\right),\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} x}\right)\right)</math>
e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:
:<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} x},\quad \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}x^2},\quad \frac{\mathrm{d}^{3}f}{\mathrm{d}x^3}</math>
ou alternativamente,
:<math>f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)</math>
ou ainda
:<math>f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)</math>

Se, para algum ''k''&nbsp;∈&nbsp;'''N''', ''f'' for ''k'' vezes derivável e, além disso, ''f''<sup>(''k'')</sup> for uma função contínua, diz-se que ''f'' é ''de classe ''C<sup>k</sup>''.

Se a função ''f'' tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que ''f'' é ''infinitamente derivável'' ou ''indefinidamente derivável'' ou ainda ''de classe ''C''<sup>∞</sup>.

===Exemplos===
Se <math>c</math>&nbsp;∈&nbsp;'''R''', a função <math>f</math> de '''R''' em '''R''' definida por <math>f(x)=c</math> é derivável em todos os pontos de '''R''' e a sua derivada é igual a <math>0</math> em todos os pontos, pois, para cada <math>a</math>&nbsp;∈&nbsp;'''R''':
:<math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{c-c}{x-a}=0</math>.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir <math>\phi_a</math> de '''R''' em '''R''' por <math>\phi_a(x)=0</math>, então <math>\phi_a</math> é contínua e, para cada <math>x</math> e cada <math>a</math> reais, tem-se
:<math>c=c+0.(x-a)=c+\varphi_a(x).(x-a)</math>;
além disso, <math>f'(a)=\phi_a(a)=0</math>.

A função <math>f</math> de '''R''' em '''R''' definida por <math>f(x)=x</math> é derivável em todos os pontos de '''R''' e a sua derivada é igual a <math>1</math> em todos os pontos, pois, para cada <math>a</math>&nbsp;∈&nbsp;'''R''':
:<math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x-a}=1</math>.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir <math>\phi_a</math> de '''R''' em '''R''' por <math>\phi_a(x)=1</math>, então <math>\phi_a</math> é contínua e, para cada <math>x</math> e cada <math>a</math> reais, tem-se
:<math>x=a+1.(x-a)=a+\varphi_a(x).(x-a)</math>;
além disso, <math>f'(a)=\phi_a(a)=1</math>.

A função <math>f</math> de '''R''' em '''R''' definida por <math>f(x)=x^2</math> é derivável em todos os pontos de '''R''' e a sua derivada no ponto <math>a</math>&nbsp;∈&nbsp;'''R''' é igual a <math>2a</math>, pois:
:<math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}x+a=2a</math>.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir <math>\phi_a</math> de '''R''' em '''R''' por <math>\phi_a(x)=x+a</math>, então <math>\phi_a</math> é contínua e, para cada <math>x</math> e cada <math>a</math> reais, tem-se
:<math>x^2=a^2+(x^2-a^2)=a^2+\varphi_a(x).(x-a)</math>;
além disso, <math>f'(a)=\phi_a(a)=2a</math>.

A função [[valor absoluto|módulo]] de '''R''' em '''R''' não é derivável em <math>0</math> pois
:<math>(\forall x\in\mathbb{R}):\frac{|x|-|0|}{x-0}=\begin{cases}1&\text{ se }x>0\\-1&\text{ se }x<0\end{cases}</math>
No entanto, é derivável em todos os outros pontos de '''R''': a derivada em <math>a</math> é igual a <math>1</math> quando <math>a>0</math> e é igual a <math>-1</math> quando <math>a<0</math>.

=== Ponto de inflexão ===
Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um '''[[ponto de inflexão]]'''. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = <math>x^ \frac{1}{3} \,\!</math>. Em um ponto de inflexão, uma [[função convexa]] passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.

== Pontos críticos, estacionários ou singulares ==
{{Artigo principal|[[Ponto crítico (funções)|Ponto crítico]]}}
Pontos onde a derivada da função é igual a <math>0</math> chamam-se normalmente de ''pontos críticos''. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos <math>x</math>. Estes pontos podem acontecer:
# onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados ''máximos locais'' da função
# onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de ''mínimos locais'' da função
# em ''pontos de inflexão'' (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função <math>f(x)=x^3</math>: no ponto <math>x=0</math> a função tem um [[ponto de inflexão]] (horizontal).
# em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função <math>f(x) = x^2 sin(1/x)</math>
# em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a [[função constante]]. Um exemplo típico é a função ''f(x) = |x + 1| + |x - 1|'' no ponto ''x=0''.

Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar [[gráfico de uma função|gráficos de funções]].

== Derivadas notáveis ==
{{AP|Tabela de derivadas}}
A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples.

A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente utilizadas de uma única variável real e seus derivados. 

Alguns exemplos de derivadas notáveis são:
*A [[função exponencial natural]] ''y'' = ''e''<sup>''x''</sup> = exp(''x'')  cuja derivada é igual a si mesma, isto é:
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}e^x=e^x.</math>
*  A função [[logaritmo natural]] ''y'' = ln(''x''):
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln(x)=\frac{1}{x},\quad x>0.</math>

Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}e^x=e^x</math> e da [[Derivada#Derivabilidade num ponto|fórmula para a derivada da inversa]] que
:<math>(\forall x>0):\log'(x)=(\exp^{-1})'(x)=\frac1{\exp'\bigl(\exp^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{\exp(\log(x))}=\frac1x\cdot</math>
Reciprocamente, supondo-se que, para cada <math>x>0</math>, <math>\log'(x)=1/x</math>, então <math>\exp'(x)=(\log^{-1})'(x)=\frac1{\log'\bigl(\log^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{1/\exp(x)}=\exp(x).</math>
* Também são notáveis as derivadas das [[funções trigonométricas]]:
<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sin(x) = \cos(x).</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\cos(x) = -\sin(x).</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x).</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \csc(x) = -\cot(x) \csc(x) 
</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sec(x) =\sec(x) \tan(x) 
 
</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \cot(x) = -\csc^2(x)  
</math>

* E funções [[Funções trigonométricas inversas]]:
<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1.</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1.</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}</math>

Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a [[Derivada#Derivabilidade num ponto|fórmula para a derivada da inversa]] e a [[Trigonometria#Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários|fórmula fundamental da trigonometria]].

=== Regras para funções combinadas ===
Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite.  Algumas das regras mais básicas são as seguintes:
* Regra da constante: se f(x) é constante, então:
<math>f' = 0. \,</math>
* Regra da soma:
<math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,</math>

para todas as funções f e g e todos os números reais <math>\alpha</math> e <math>\ beta</math>
* [[Regra do produto|Regra do produto:]]
<math>(fg)' = f 'g + fg' \,</math>

para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\pi r^2=2 \pi r. \,</math>
* [[Regra do quociente]]:
<math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math>

para todas as funções f e g, em que g ≠ 0.
* [[Regra da cadeia]]:
Se <math>f(x) = h(g(x)),</math>

então:

<math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). \,</math>

=== Exemplo de uso ===
A derivada de <math>f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,</math>

é <math>\begin{align}
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{\mathrm{d}\left(x^2\right)}{\mathrm{d} x}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{\mathrm{d}\left(e^x\right)}{\mathrm{d} x} + 0 \\
      &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x.
\end{align}</math>

As derivadas conhecidas de funções elementares <math>x^2, x^4,</math> sen(x) e <math>exp(x)=e^x</math>, assim como a constante 7, também foram usadas. 

==Funções de uma variável complexa==
Se ''A'' for um conjunto de [[Número complexo|números complexos]], se ''f'' for uma função de ''A'' em '''C''' e se ''a'' for um ponto não isolado de ''A'' (isto é, se tão perto quanto se queira de ''a'' houver outros elementos de ''A''), então as duas definições da derivada de ''f'' no ponto&nbsp;''a'' continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à [[Função monótona|monotonia]] de funções.

==Física==
Uma das mais importantes aplicações da [[Análise matemática|Análise]] à [[Física]] (senão a mais importante), é o conceito de '''derivada temporal'''&nbsp;— a taxa de mudança ao longo do tempo&nbsp;— que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição ''s'' de um objecto são importantes na física newtoniana:
*[[Velocidade]] (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) ''v'' é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
*[[Aceleração]] ''a'' é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.
Posto de outro modo:
:<math>\begin{align}v(t)&=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d} t}\\a(t)&=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d} t^2}\end{align}</math>
Por exemplo, se a posição de um objecto é  ''s''(''t'')&nbsp;=&nbsp;−16''t''²&nbsp;+&nbsp;16''t''&nbsp;+&nbsp;32, então a velocidade do objecto é ''s''′(''t'')&nbsp;=&nbsp;−32''t''&nbsp;+&nbsp;16 e a aceleração do objecto é ''s''′′(''t'')&nbsp;=&nbsp;−32.
Uma forma de enunciar a segunda lei de [[Newton]] é ''F''&nbsp;=&nbsp;''dp''/''dt'' , sendo ''p'' o [[Quantidade de movimento linear|momento linear]] do objecto.

==Derivadas em maiores dimensões==

Em dimensão 1, as derivadas são pensadas como números pois, nesta dimensão, um número e uma transformação linear são a mesma coisa. Entretanto, para dimensões maiores, as derivadas necessitam ser tratadas como [[transformações lineares]].{{Sfn|Lima|1981|loc=Prefácio}}

=== Derivadas de funções vetoriais ===
Uma [[função vectorial|função vetorial]] y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores em <math>R^n</math> algum [[espaço vetorial]]. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = (<math>y_1</math> (t), ..., <math>y_n</math> (t)). Isto inclui, por exemplo, [[Equação paramétrica|curvas paramétricas]] em R² ou R³.

As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o [[Vetor (matemática)|vetor]], chamado o vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é,  

<math>\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math>

equivalentemente, 

<math>\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},</math>   se o limite existe.

A subtração no numerador é a subtração de vetores, não escalares. Se a derivada de y existe para cada valor de t, então y' é outra função vetorial. 

Se <math>e_1</math>, ..., <math>e_n</math> é a base padrão para <math>R^n</math>, então y (t) também pode ser escrito como <math>y_1</math>''(t)''<math>e_1</math> + ... + <math>y_n</math>''(t)''<math>e_n</math>. Se assumirmos que a derivada de uma função vetorial mantém a propriedade da linearidade, então a derivada de y (t) deve ser

<math>y'_1(t)\mathbf{e}_1 + \cdots + y'_n(t)\mathbf{e}_n</math>

porque cada um dos vetores de base é uma constante. 


Esta generalização é útil, por exemplo, se y (t) é o vetor de posição de uma partícula no tempo t; em seguida, o derivado y '(t) é o vetor de [[velocidade]] da partícula no tempo t. 

=== Derivadas parciais ===
{{Artigo principal|Derivada parcial}}

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de '''[[derivada parcial]]'''. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo.
Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂''z''/∂''x'', sendo ''x'' a variável fixada sobre uma função em ''z''.

Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo, 

<math>f(x,y) = x^2 + xy + y^2.\,</math>

f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis: 

<math>f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,</math>

Em outras palavras, cada valor de x escolhe uma função,  denotando <math>f_x</math>, que é uma função de um número real.  Ou seja, 

<math>x \mapsto f_x,\,</math>

<math>f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,</math>

Uma vez que um valor de x é escolhido,  digamos a, então f(x,y) determina a função <math>f_a</math> que envia y a a2+ay+y2: 

<math>f_a(y) = a^2 + ay + y^2.\,</math>

Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, de modo que <math>f_a</math> é uma função de uma única variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se: 

<math>f_a'(y) = a + 2y.\,</math>

O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de ''a''. Montando as derivadas juntas em uma função, dá uma função que descreve a variação de f na direção y: 

<math>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y.</math>

Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, ∂ é o símbolo derivada parcial. 

Em geral, a derivada parcial de uma função f (<math>x_1</math>, ..., <math>x_n</math>) na direção de <math>x_i</math>, no ponto (<math>a_1</math> ..., <math>a_n</math>) é definido como sendo:  

<math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n)}{h}.</math> 

Na diferença de quociente acima, todas as variáveis, exceto <math>x_i</math>, são mantidos fixos. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável. 

{<math>f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n),</math>

e por definição, 

<math>\frac{\mathrm{d}f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).</math>

Em outras palavras, as diferentes opções de classificar uma família de funções de uma variável tal como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais reduz para o cálculo dos derivados de uma variável. 

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de uma função de valor escalar f (<math>x_1</math>, ..., <math>x_n</math>) em um domínio no espaço Euclidiano <math>R^n</math> (por exemplo, em R² ou R²). Neste caso, f tem uma derivada parcial ∂f / ∂xj em relação a cada variável <math>x_j</math>. No ponto ''a'', estas derivadas parciais definem o vetor 

<math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math>

Este vetor é denominado [[gradiente]] de f em ''a''. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial ∇f  que leva o ponto ''a'' para o vetor ∇f(a). 

Consequentemente, o gradiente determina um [[campo vetorial]].

=== Derivadas direcionais ===
Se f é uma função com valores reais em <math>R^n</math>, então a derivada parcial de f mede a sua variação na direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor: 

<math>\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).</math>

A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite  

<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math>

Em alguns casos pode ser mais fácil computar ou estimar a derivada direcional depois de mudar o comprimento do vetor. Frequentemente isso é feito para transformar o problema numa computação de uma derivada direcional na direção de um [[vetor unitário]]. Para ver como isso funciona, suponha ''v = λu''. Substitua ''h = k/λ'' no quociente da diferença. 

O quociente da diferença torna-se: 

<math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda}
= \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.</math>

Isso é λ vezes o quociente da diferença para a derivada direcional de f  no que diz respeito a u. Além disso, tomar o limite como h tendendo a zero é o mesmo que tomar o limite como k tendendo a zero, pois h e k são múltiplos um do outro. 

Portanto, ''Dv(f) = λDu(f)''. Devido a essa propriedade de redirecionamento, derivadas direcionais são frequentemente consideradas apenas para vetores unitários.    

Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada direcional de f na direção de v  pela fórmula: 

<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}.</math> 

Essa é a consequência da definição de [[derivada total]]. Diz-se que a derivada direcional é [[Transformação linear|linear]] em v, significando que D<math>_V</math> + <math>_W</math>(f) = D<math>_V</math>(f) + D<math>_W</math>(f).  

A mesma definição também é aplicável quando f é a função com valores em <math>R^m</math>. . A definição acima é aplicada a cada componente dos vetores. Nesse caso, a derivada direcional é um vetor em <math>R^m</math>.

==Derivadas de aplicações==
Sejam <math>U</math> um aberto de <math>{\mathbb{R}}^m</math>, <math>z_0 \in U</math> e <math>f:U \rightarrow {\mathbb{R}}^n</math> uma função. Dizemos que <math>f</math> é diferenciável quando existem uma [[transformação linear]] <math>T: {\mathbb{R}}^m \rightarrow {\mathbb{R}}^n</math> e uma função <math>r: \{z-z_0: z \in U\} \rightarrow {\mathbb{R}}^n</math> dada por <math>r(h)=f(z_0+h)-f(z_0)-T.h</math> tais que

<math>\lim_{h \rightarrow 0} \frac{r(h)}{|h|}=0</math>.

Neste caso, a aplicação <math>T</math> é chamada de derivada da função <math>f</math> no ponto <math>z_0</math> e denotada por <math>Df(z_0)</math>. Em outras palavras

<math>Df(z_0)=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{f(x+tz_0)-f(x)}{t}.</math>

===Exemplos===
# Se <math>f:U \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>z_0 \in U</math> e <math>h \in \mathbb{R}</math>, então <math display="block">Df(z_0)h=h.f'(z_0).</math>
# Se <math>f:U \subset \mathbb{R} \rightarrow {\mathbb{R}}^n</math>, <math>z_0 \in U</math> e <math>h \in \mathbb{R},</math> então <math display="block">Df(z_0)h=h.(f_1'(z_0),f_2'(z_0),...,f_n'(z_0)).</math>
# Se <math>f:U \subset \mathbb{R}^m \rightarrow {\mathbb{R}}</math>, <math>z_0 \in U</math> e <math>h=(h_1,\cdots,h_m) \in \mathbb{R}^m,</math> então <math display="block">Df(z_0)h=h_1.{\partial f \over\partial x_1}(z_0)+\cdots+h_m.{\partial f \over\partial x_m}(z_0)</math>
# Se <math>f:U \subset \mathbb{R}^m \rightarrow {\mathbb{R}}^n</math>, <math>z_0 \in U</math> e <math>h \in \mathbb{R}^n,</math> então <math display="block">Df(z_0)h=(h.\nabla f_1(z_0),\cdots,h.\nabla f_n(z_0))</math>

Nesta definição, podemos considerar a derivada parcial de uma aplicação como sendo

<math>\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)=Df(x)e_j.</math>

Podemos repensar nessa igualdade. Se observarmos que <math>e_jx</math> corresponde à <math>j</math>-ésima coordenada de <math>x</math> e que a <math>j</math>-ésima coordenada de <math>\nabla f(z_0)</math> é <math>\frac{\partial f}{\partial x_j}(z_0)</math> segue que <math display="block">\frac{\partial f}{\partial x_j}(z_0)=\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_j}(z_0),\cdots,\frac{\partial f_n}{\partial x_j}(z_0) \right)</math>

{{Referências}}

=== Bibliografia ===
* Agudo, F. R. Dias, ''Análise Real'' (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
* {{Citar livro|título=Curso de análise, Volume 2|ultimo=Lima|primeiro=Elon Lages|autorlink=Elon Lages Lima|data=1981|outros=Instituto de Matemática Pura e Aplicada|local=Rio de Janeiro|editora=Instituto de Matemática Pura e Aplicada|ref=harv}}
* Ostrowski, A., ''Lições de Cálculo Diferencial e Integral'' (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
* Ricieri, A. P., ''Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos'', Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.

== Ver também ==
*[[Cálculo|Cálculo Diferencial e Integral]]
*[[Cálculo fracionário]]
*[[Derivada simétrica]], [[Diferenciação automática]], [[Diferenciação numérica]]
*[[Diferintegral]]
*[[Função suave|Classe de diferenciabilidade]]
*[[Linearização]]
*[[Tabela de derivadas]]
*[[Técnicas para diferenciação]]

==Ligações externas==
*{{Link|pt|2=http://www.reidaderivada.com |3=Rei da Derivada - Torneio inventado pelo prof. Ricardo Fragelli para ensino de derivadas}}
*{{Link|pt|2=http://www.dme.ufcg.edu.br/sites_pessoais/professores/Marco/trigono.pdf |3=Cálculo diferencial para funções trigonométricas}}
*{{Link|pt|2=http://www.ppgem.ct.utfpr.edu.br/ppgem/dissertacoes/CECCON,%20Estevan%20Rodrigo.pdf |3=tese de Engenharia Mecânica aplicando derivadas fracionárias}}
*{{Link|pt|2=http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-47442005000200011 |3=Equações generalizadas de difusão (aplica derivadas parciais fracionárias)}}
*{{Link|pt|2=https://derivative-calculator.org/pt/ |3=Calculadora de derivadas com soluções detalhadas passo a passo e gráficos}}
*{{Link|en|2=https://www.calculatored.com/math/calculus/derivative-calculator |3=Calcular derivada passo a passo}}

{{Funções}}
{{Análise}}
{{Controle de autoridade}}
{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Derivada}}
[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:Derivadas| ]]
[[Categoria:Cálculo diferencial]]
[[Categoria:Funções matemáticas]]