Mostrar código-fonte de Derivada total

Em [[matemática]], a '''derivada total''' de uma função <math display="inline"> f</math>é a melhor [[aproximação linear]] do valor da função em relação aos seus argumentos. Ao contrário das [[Derivada parcial|derivadas parciais]], a derivada total aproxima a função em relação a todos os seus argumentos, e não apenas a um. Em muitas situações, isso é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente. O termo "derivado total" é usado principalmente quando <math> f </math> é uma função de várias variáveis, porque quando <math> f </math> é uma função de uma única variável, a derivada total é a mesma que a [[derivada]] da função.<ref name="Chiang">{{Citar livro|título=Fundamental Methods of Mathematical Economics|ultimo=Chiang|primeiro=Alpha C.|isbn=0-07-010813-7}}</ref> {{Rp|198–203}}

A "derivada total" é algumas vezes também usada como sinônimo da [[Derivada material|derivada de material]] na [[Mecânica dos fluidos|mecânica de fluidos]] .

== A derivada total como um mapa linear ==
Seja <math>U\subseteq\mathbf{R^n}</math>um [[Conjunto aberto|subconjunto aberto]] . Então uma função <math>f:U\rightarrow\mathbf{R}^m</math>é dito ser ('''totalmente''') '''diferenciável''' em um ponto <math>a \in U</math>se existe uma [[transformação linear]] <math>df_a:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^m</math>tal que<math display="block">
\lim_{x\rightarrow a}\frac{\|f(x)-f(a)-df_a(x-a)\|}{\|x-a\|}=0.</math>O [[Transformação linear|mapeamento linear]] <math> df_a</math>é chamado de '''diferencial''' '''(total)''' ou '''derivada''' '''(total)''' de <math> f</math> em <math> a</math><math>f</math>. Outras notações para a derivada total incluem <math> D_a{f}</math> e <math>Df\big(a\big)</math>. Uma função é ('''totalmente''') '''diferenciável''' se sua derivada total existir em todos os pontos de seu domínio.

Conceitualmente, a definição da derivada total expressa a ideia de que <math> df_a</math>é a melhor aproximação linear para <math> f</math>no ponto <math> a</math>. Isso pode ser feito com precisão quantificando o erro na aproximação linear determinada por <math> df_a</math>. Para fazer isso, escreva<math>f(a + h) = f(a) + df_a(h) + \varepsilon(h),</math>

onde <math>  \varepsilon\big(h\big)</math>é igual ao erro na aproximação. Dizer que a derivada de <math>   f</math>em <math>   a</math> é <math>   df_a</math>é equivalente à enunciar que

:<math>   \varepsilon\big(h\big)=o\big(\lVert h \rVert\big),</math>

onde <math>    o</math> é [[Grande-O|notação do pequeno o]] e indica que <math>   \varepsilon\big(h\big)</math> é muito menor do que <math>   \lVert h \rVert</math>quando <math>   h\rightarrow 0</math>. A derivada total <math>   df_a</math>é a única transformação linear para a qual o termo de erro é tão pequeno, e este é o sentido em que é a melhor aproximação linear para <math>   f</math>.

A função <math>   f</math> é diferenciável [[se e somente se]] cada um de seus componentes <math>   f_i:U\rightarrow\mathbf{R}</math>é diferenciável, por isso, quando se estudam derivadas totais, muitas vezes é possível trabalhar uma coordenada de cada vez no co-domínio. No entanto, o mesmo não é verdade das coordenadas no domínio. É verdade que se <math>    f</math> é diferenciável em <math>    a</math>, então cada derivada parcial <math>   \partial f/ \partial x_i</math>existe em <math>    a</math>. O inverso é falso: pode acontecer que todas as derivadas parciais de <math>    f </math>em <math>    a</math> existam, mas <math>    f</math> não seja diferenciável em <math>    a</math>. Isso significa que a função é muito <nowiki>''</nowiki>grosseira" em <math>   a</math>, a tal extremo que seu comportamento não pode ser adequadamente descrito por seu comportamento nas direções das coordenadas. Quando <math>   f</math> não é tão grosseira, isso não pode acontecer. Mais precisamente, se todas as derivadas parciais de <math>   f</math> em <math>   a</math> existem e são contínuos em uma vizinhança de <math>   a</math>, então <math>   f</math>é diferenciável em <math>   a</math>. Quando isso acontece, então, além disso, a derivada total de <math>   f</math> é a transformação linear correspondente à [[matriz jacobiana]] de derivadas parciais naquele ponto.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com/books?id=b-IlBQAAQBAJ&pg=PA78|título=Manifolds, Tensor Analysis, and Applications|ultimo=Abraham|primeiro=Ralph|ultimo2=Marsden|primeiro2=J. E.|ultimo3=Ratiu|primeiro3=Tudor|isbn=}}</ref>

== Referências ==
<references responsive="1"></references>

* A. D. Polyanin e V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)'', Chapman & Hall / [[CRC Press]], [[Boca Raton]], 2003. {{ISBN|1-58488-297-2}} [[International Standard Book Number|ISBN]] &nbsp; [[Special:BookSources/1-58488-297-2|1-58488-297-2]]
* From thesaurus.maths.org [https://web.archive.org/web/20060501183510/http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html derivado total do]

== Ligações externas ==

* {{MathWorld|TotalDerivative|Total Derivative}}
* http://www.sv.rkriz.net/classes/ESM4714/methods/df2D.html

[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:Mecânica lagrangiana]]
[[Categoria:Cálculo diferencial]]
[[Categoria:Operadores diferenciais]]
[[Categoria:Cálculo de muitas variáveis]]