Mostrar código-fonte de Desigualdade de Cauchy-Schwarz (números reais)

{{Wikificação|data=março de 2017}}
A '''desigualdade de Cauchy-Schwarz''' para [[números reais]] é outra forma de escrever a desigualdade conhecida entre vetores. O nome é dado em homenagem aos matemáticos [[Augustin Cauchy]] e [[Hermann Amandus Schwarz]].

== Teorema ==
A desigualdade para o caso de números reais assegura que, dados ''n'' reais <math>a_1,a_2,...,a_n</math> ''e n reais'' <math display="inline">b_1,b_2,...,b_n</math>'','' se tem

<math>(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2</math>

em que a igualdade ocorre se e somente se os <math>a_i
</math> e <math>b_i
</math> forem proporcionais, ou seja

<math>a_1=\lambda b_1
</math>, <math>a_2=\lambda b_2
</math>,..., <math>a_n=\lambda b_n
</math>,

Para algum <math>\lambda
</math> pertencente aos reais.

== Demonstração ==
Considere a função

<math>f(x)=(a_1-b_1x)^2 +(a_2-b_2x)^2+...+(a_n-b_nx)^2
</math>

Como <math>f(x)\geq0 </math>   <math>\forall x\in\mathbb{R}</math>, segue que <math>\Delta\leq0</math>

Abrindo os quadrados e explicitando os coeficientes:

<math>f(x)=a_1^2-2a_1b_1x+b_1^2x^2+a_2^2-2a_2b_2x+b_2^2x^2+...+a_n^2-2a_nb_nx+b_n^2x^2</math>

<math>f(x)=(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)x^2-2(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)+a_1^2+a_2^2+...+a_n^2</math>

Calculando o discriminante:

<math>\Delta=4(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2-4(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)</math>

Da conclusão acima, segue o resultado:

<math>4(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2-4(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)\leq0
</math>

<math>(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\leq(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)
</math>.

<math display="inline">C.Q.D</math>.<!-- —————— Fim!  —————— -->

== Referências ==
[http://www.olimpiada.ccet.ufrn.br/wp-content/uploads/2013/08/AULA-N2-OLIMPIADA-DE-MATEMATICA-SUPER-CORRIGIDA.pdf UMA DESIGUALDADE MUITO ÚTIL: A DE CAUCHY–SCHWARTZ] por  Benedito Tadeu V. Freire e José Maria Gomes - AULA Nº 02 – 2010.

== Bibliografia ==
Antonio Caminha Muniz Neto,(2013), Tópicos de Matemática Elementar Volume 1 Números Reais, 2ª Edição, Editora SBM.
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