Mostrar código-fonte de Distribuição K generalizada

{{Info/Distribuições de probabilidade
|nome=Distribuição K generalizada
|média=<math>\mu</math>
|variância=<math>\mu^2 \frac{\alpha+\beta+1}{\alpha \beta}</math>
|FGM=<math>\left(\frac{\xi}{s}\right)^{\beta/2} \exp \left( \frac{\xi}{2s} \right) W_{-\delta/2,\gamma/2} \left(\frac{\xi}{s}\right)</math>
|parâmetros=<math>\mu \in (0, +\infty)</math>, <math>\alpha \in [0, +\infty)</math>, <math>\beta \in [0, +\infty)</math>
|suporte=<math>x \in [0, +\infty)\;</math>
|fdp=<math>\frac{2}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \, \left( \frac{\alpha \beta}{\mu} \right)^{\frac{\alpha + \beta}{2}}  \, x^{ \frac{\alpha + \beta}{2} - 1} K_{\alpha - \beta} \left( 2 \sqrt{\frac{\alpha \beta x}{\mu}} \right), </math>
|obliquidade=
|curtose =
|fda=
|entropia=
|mediana=
|moda=
|phiX=
}}

Em [[probabilidade]] e [[estatística]], a '''distribuição K generalizada''' é uma família de três parâmetros de distribuições de probabilidade contínuas. A distribuição é resultado da composição de duas [[Distribuição gama|distribuições gama]]. Em cada caso, é usada uma reparametrização da forma comum da família de distribuições gama, de modo que os parâmetros sejam:

* a média da distribuição,
* o parâmetro de forma usual.

A distribuição K é um caso especial de [[distribuição de variância-gama]], que por sua vez é um caso especifico de [[distribuição hiperbólica generalizada]] . Um caso especial mais simples da distribuição K generalizada é frequentemente chamado de ''distribuição'' K.

== Densidade ==
Suponha que uma [[variável aleatória]] <math>X</math> tem distribuição Gama com média <math>\sigma</math> e parâmetro de forma <math>\alpha</math>, com <math>\sigma</math> sendo tratada como uma variável aleatória com outra distribuição Gama, desta vez com média <math>\mu</math> e parâmetro de forma <math>\beta</math>. O resultado é que <math>X</math> tem a seguinte [[função de densidade de probabilidade]] (pdf) para <math>x>0</math> :{{Sfn|Redding|1999}}

: <math>f_X(x; \mu, \alpha, \beta)= \frac{2}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \, \left( \frac{\alpha \beta}{\mu} \right)^{\frac{\alpha + \beta}{2}} \, x^{ \frac{\alpha + \beta}{2} - 1} K_{\alpha - \beta} \left( 2 \sqrt{\frac{\alpha \beta x}{\mu}} \right), </math>

onde <math>K</math> é uma [[Função de Bessel|função de Bessel modificada]] do segundo tipo. Note que para a função de Bessel modificada do segundo tipo, temos <math>K_{\nu} = K_{-\nu}</math> . Nesta derivação, a distribuição K é uma [[distribuição de probabilidade composta]] . É também uma [[Distribuição de produtos|distribuição de produto]]:{{Sfn|Redding|1999}} é a distribuição do produto de duas variáveis aleatórias independentes, uma delas com distribuição gama com média 1 e parâmetro de forma <math>\alpha</math>, o segundo tendo uma distribuição gama com média <math>\mu</math> e parâmetro de forma <math>\beta</math>.

Uma formalização mais simples de dois parâmetros da distribuição K pode ser obtida definindo <math>\beta = 1</math> como{{Sfn|Long|2001}} {{Sfn|Bocquet|2011}}

: <math>f_X(x; b, v)= \frac{2b}{\Gamma(v)} \left( \sqrt{bx} \right)^{v-1} K_{v-1} (2 \sqrt{bx} ), </math>

onde <math>v = \alpha</math> é o fator de forma, <math>b = \alpha/\mu</math> é o fator de escala, e <math>K</math> é a função de Bessel modificada de segundo tipo. A formalização dos dois parâmetros acima também pode ser alcançada por meio da definição <math>\alpha = 1</math>, <math>v = \beta</math>, e <math>b = \beta/\mu</math>, embora com diferentes interpretações físicas dos parâmetros <math>b</math> e <math>v</math>. Essa formalização de dois parâmetros é frequentemente chamada de ''distribuição'' K, enquanto a formalização de três parâmetros é chamada de distribuição K generalizada.

Esta distribuição deriva de um artigo de Eric Jakeman e Peter Pusey (1978), que a utilizaram para modelar o eco marinho de micro-ondas.{{Sfn|Jakeman|Pusey|1978}} Jakeman e Tough (1987) derivaram a distribuição de um modelo de caminhada aleatória tendenciosa.{{Sfn|Jakeman|Tough|1987}} Keith D. Ward (1981) derivou a distribuição do produto para duas variáveis aleatórias, ''z'' = ''ay'', onde ''a'' tem uma [[Distribuição de Chi|distribuição chi]] e ''y'' uma distribuição gaussiana complexa. O módulo de ''z'', ''|z|'', então tem distribuição K.{{Sfn|Ward|1981}}

== Momentos ==
A função geradora de [[Momento (estatística)|momento]] é dada por{{Sfn|Bithas|Sagias|Mathiopoulos|Karagiannidis|2006}}

: <math> M_X(s) = \left(\frac{\xi}{s}\right)^{\beta/2} \exp \left( \frac{\xi}{2s} \right) W_{-\delta/2,\gamma/2} \left(\frac{\xi}{s}\right), </math>

onde <math>\gamma = \beta - \alpha,</math><math>\delta = \alpha + \beta - 1,</math><math>\xi = \alpha \beta/\mu,</math> e <math>W_{-\delta/2,\gamma/2}(\cdot)</math> é a [[Função Whittaker|função de Whittaker]] .

Os n-ésimos momentos da distribuição K são dados por{{Sfn|Redding|1999}}

: <math> \mu_n = \xi^{-n} \frac{\Gamma(\alpha+n)\Gamma(\beta+n)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}. </math>

Portanto, a média e a variância são dadas por{{Sfn|Redding|1999}}

: <math> \operatorname{E}(X)= \mu </math>
: <math> \operatorname{var}(X)= \mu^2 \frac{\alpha+\beta+1}{\alpha \beta} .</math>

== Outras propriedades ==
As propriedades da distribuição são simétricas em <math>\alpha</math> e <math>\beta.</math> {{Sfn|Redding|1999}}

== Aplicações ==
A distribuição K surge como consequência de um [[modelo estatístico]] ou probabilístico usado em imagens de [[radar de abertura sintética]] (SAR). A distribuição K é formada pela [[Distribuição de probabilidade composta|composição]]  de duas [[Distribuição de probabilidade|distribuições de probabilidade]] separadas, uma representando a [[RCS (aviação)|seção transversal do radar]] e a outra representando o ''[[speckle]]'', que é uma característica da imagem. Ele também é usado em comunicação sem fio para modelar efeitos compostos de atenuação rápida e sombreamento.

== Notas ==
{{Reflist}}

== Fontes ==

* {{Citation|last=Redding|first1=Nicholas J.|title=Estimating the Parameters of the K Distribution in the Intensity Domain|publisher=DSTO Electronics and Surveillance Laboratory|place=South Australia|id=DSTO-TR-0839|date=1999|pages=60|url=https://apps.dtic.mil/sti/pdfs/ADA368069.pdf}}
* {{Citation|last=Bocquet|first1=Stephen|title=Calculation of Radar Probability of Detection in K-Distributed Sea Clutter and Noise|publisher=Joint Operations Division, DSTO Defence Science and Technology Organisation|place=Canberra, Australia|id=DSTO-TR-0839|date=2011|pages=35|url=https://apps.dtic.mil/sti/pdfs/ADA543178.pdf}}
* {{Citar periódico |título=Significance of K-Distributions in Scattering Experiments |data=1978-02-27 |periódico=Physical Review Letters |publicado=American Physical Society (APS) |número=9 |ultimo=Jakeman |primeiro=Eric |ultimo2=Pusey |primeiro2=Peter N. |paginas=546–550 |bibcode=1978PhRvL..40..546J |doi=10.1103/physrevlett.40.546 |issn=0031-9007 |volume=40}}
* {{Citar periódico |título=Generalized K distribution: a statistical model for weak scattering |data=1987-09-01 |periódico=Journal of the Optical Society of America A |publicado=The Optical Society |número=9 |ultimo=Jakeman |primeiro=Eric |ultimo2=Tough |primeiro2=Robert J. A. |pagina=1764-1772 |bibcode=1987JOSAA...4.1764J |doi=10.1364/josaa.4.001764 |issn=1084-7529 |volume=4}}
* {{Citar periódico |título=Compound representation of high resolution sea clutter |periódico=Electronics Letters |publicado=Institution of Engineering and Technology (IET) |número=16 |ultimo=Ward |primeiro=Keith D. |ano=1981 |pagina=561-565 |bibcode=1981ElL....17..561W |doi=10.1049/el:19810394 |issn=0013-5194 |volume=17}}
* {{Citar periódico |título=On the performance analysis of digital communications over generalized-k fading channels |periódico=IEEE Communications Letters |publicado=Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) |número=5 |ultimo=Bithas |primeiro=Petros S. |ultimo2=Sagias |primeiro2=Nikos C. |ano=2006 |paginas=353–355 |citeseerx=10.1.1.725.7998 |doi=10.1109/lcomm.2006.1633320 |issn=1089-7798 |ultimo3=Mathiopoulos |primeiro3=P. Takis |ultimo4=Karagiannidis |primeiro4=George K. |ultimo5=Rontogiannis |primeiro5=Athanasios A. |volume=10}}
* {{Citar livro|título=Radar Reflectivity of Land and Sea|ultimo=Long|primeiro=Maurice W.|editora=Artech House|ano=2001|localização=Norwood, MA|autorlink=Maurice W. Long|edição=3rd}}

== Leitura adicional ==

* {{Citar periódico |título=On the statistics of K-distributed noise |data=1980-01-01 |periódico=Journal of Physics A: Mathematical and General |publicado=IOP Publishing |número=1 |ultimo=Jakeman |primeiro=Eric |paginas=31–48 |bibcode=1980JPhA...13...31J |doi=10.1088/0305-4470/13/1/006 |issn=0305-4470 |volume=13}}
* Ward, Keith D.; Tough, Robert J. A; Watts, Simon (2006) ''Sea Clutter: Scattering, the K Distribution and Radar Performance'', Institution of Engineering and Technology. {{ISBN|0-86341-503-2}}.
{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:Distribuições contínuas]]