Distribuição K generalizada

Em probabilidade e estatística, a distribuição K generalizada é uma família de três parâmetros de distribuições de probabilidade contínuas. A distribuição é resultado da composição de duas distribuições gama. Em cada caso, é usada uma reparametrização da forma comum da família de distribuições gama, de modo que os parâmetros sejam:

• a média da distribuição,
• o parâmetro de forma usual.

A distribuição K é um caso especial de distribuição de variância-gama, que por sua vez é um caso especifico de distribuição hiperbólica generalizada . Um caso especial mais simples da distribuição K generalizada é frequentemente chamado de distribuição K.

Densidade

Suponha que uma variável aleatória $X$ tem distribuição Gama com média $\sigma$ e parâmetro de forma $\alpha$, com $\sigma$ sendo tratada como uma variável aleatória com outra distribuição Gama, desta vez com média $\mu$ e parâmetro de forma $\beta$. O resultado é que $X$ tem a seguinte função de densidade de probabilidade (pdf) para $x>0$ :Predefinição:Sfn

$f_X(x;\mu ,\alpha ,\beta )=\frac{2}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\left(\frac{\alpha \beta }{\mu }\right)}^{\frac{\alpha +\beta }{2}}{x}^{\frac{\alpha +\beta }{2}-1}{K}_{\alpha -\beta }\left(2\sqrt{\frac{\alpha \beta x}{\mu }}\right),$

onde $K$ é uma função de Bessel modificada do segundo tipo. Note que para a função de Bessel modificada do segundo tipo, temos $K_{\nu }=K_{-\nu }$ . Nesta derivação, a distribuição K é uma distribuição de probabilidade composta . É também uma distribuição de produto:Predefinição:Sfn é a distribuição do produto de duas variáveis aleatórias independentes, uma delas com distribuição gama com média 1 e parâmetro de forma $\alpha$, o segundo tendo uma distribuição gama com média $\mu$ e parâmetro de forma $\beta$.

Uma formalização mais simples de dois parâmetros da distribuição K pode ser obtida definindo $\beta =1$ comoPredefinição:Sfn Predefinição:Sfn

$f_X(x;b,v)=\frac{2b}{\mathrm{\Gamma }(v)}{\left(\sqrt{bx}\right)}^{v-1}{K}_{v-1}(2\sqrt{bx}),$

onde $v=\alpha$ é o fator de forma, $b=\alpha /\mu$ é o fator de escala, e $K$ é a função de Bessel modificada de segundo tipo. A formalização dos dois parâmetros acima também pode ser alcançada por meio da definição $\alpha =1$, $v=\beta$, e $b=\beta /\mu$, embora com diferentes interpretações físicas dos parâmetros $b$ e $v$. Essa formalização de dois parâmetros é frequentemente chamada de distribuição K, enquanto a formalização de três parâmetros é chamada de distribuição K generalizada.

Esta distribuição deriva de um artigo de Eric Jakeman e Peter Pusey (1978), que a utilizaram para modelar o eco marinho de micro-ondas.Predefinição:Sfn Jakeman e Tough (1987) derivaram a distribuição de um modelo de caminhada aleatória tendenciosa.Predefinição:Sfn Keith D. Ward (1981) derivou a distribuição do produto para duas variáveis aleatórias, z = ay, onde a tem uma distribuição chi e y uma distribuição gaussiana complexa. O módulo de z, |z|, então tem distribuição K.Predefinição:Sfn

Momentos

A função geradora de momento é dada porPredefinição:Sfn

$M_X(s)={\left(\frac{\xi }{s}\right)}^{\beta /2}\exp \left(\frac{\xi }{2s}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left(\frac{\xi }{s}\right),$

onde $\gamma =\beta -\alpha ,$$\delta =\alpha +\beta -1,$$\xi =\alpha \beta /\mu ,$ e $W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )$ é a função de Whittaker .

Os n-ésimos momentos da distribuição K são dados porPredefinição:Sfn

${\mu }_n={\xi }^{-n}\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +n)\mathrm{\Gamma }(\beta +n)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}.$

Portanto, a média e a variância são dadas porPredefinição:Sfn

$\mathrm{E}(X)=\mu$

$\mathrm{var}(X)={\mu }^2\frac{\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }.$

Outras propriedades

As propriedades da distribuição são simétricas em $\alpha$ e $\beta .$ Predefinição:Sfn

Aplicações

A distribuição K surge como consequência de um modelo estatístico ou probabilístico usado em imagens de radar de abertura sintética (SAR). A distribuição K é formada pela composição de duas distribuições de probabilidade separadas, uma representando a seção transversal do radar e a outra representando o speckle, que é uma característica da imagem. Ele também é usado em comunicação sem fio para modelar efeitos compostos de atenuação rápida e sombreamento.

Fontes

• Predefinição:Citation
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• Predefinição:Citar periódico
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Leitura adicional

• Predefinição:Citar periódico
• Ward, Keith D.; Tough, Robert J. A; Watts, Simon (2006) Sea Clutter: Scattering, the K Distribution and Radar Performance, Institution of Engineering and Technology. Predefinição:ISBN.