Distribuição gama

Predefinição:Info/Distribuições de probabilidade Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição gama é uma família de distribuições contínuas de probabilidade de dois parâmetros. Diversos tipos de distribuições são dependentes, ou são casos específicos da distribuição gama, como a distribuição exponencial e a distribuição qui-quadrado. A distribuição gama é usada para modelar valores de dados positivos que são assimétricos à direita e maiores que 0. Ela é comumente usada em estudos de sobrevivência de confiabilidade. 

Existem três diferentes parametrizações no uso comum:

1. Com um parâmetro de forma $k$ e um parâmetro de escala $\theta$.
2. Com um parâmetro de forma $\alpha =k$ e um parâmetro de escala inversa $\beta =\frac{1}{\theta }$, chamado parâmetro de taxa.
3. Com um parâmetro de forma $k$ e um parâmetro média $\mu =\frac{k}{\beta }$.

Em cada uma dessas formas, ambos os parâmetros são números reais positivos.

ra a qual $E[X]=k\theta =\frac{\alpha }{\beta }$ é fixada e maior que zero, e $E[ln(X)]=\psi (k)+ln(\theta )=\psi (\alpha )-ln(\beta )$ é fixado ($\psi$ é a função digama).

Dentro da distribuição gama uma importante propriedade é o fato de que à medida que $\theta$ aumenta, essa distribuição se aproxima de uma Normal com média µ e variância $\theta$ µ²= µ²/v

Por exemplo, a distribuição gama pode descrever o tempo de um componente elétrico de falhar. A maioria dos componentes elétricos de um determinado tipo falharão na mesma época, mas alguns vão demorar muito tempo para falhar.

Parametrização

A parametrização com $k$ e $\theta$ parece ser mais comum em econometria e em outros campos de aplicação, onde por exemplo, a distribuição gama é frequentemente usada para modelar tempos de espera. A parametrização com $\alpha$ e $\beta$ é mais comum em estatística bayesiana, onde a distribuição gama é usada como uma distribuição conjugada a priori para vários tipos de parâmetros de escala inversa (também conhecido como parâmetros de taxa), assim como o $\lambda$ de uma distribuição exponencial ou uma distribuição de Poisson.

Se $k$ é um inteiro positivo, então a distribuição representa uma distribuição Erlang, isto é, a soma de $k$ variáveis aleatórias exponencialmente distribuídas, cada uma das quais tem média $\theta$

Caracterização usando $\alpha$ e taxa $\beta$

A distribuição gama pode ser parametrizadas em termos de um parâmetro de forma $\alpha =k$ e o parâmetro de escala inversa $\beta =\frac{1}{\theta }$, chamado parâmetro de taxa. Uma variável aleatória $X$ que é distribuída sob gama com forma $\alpha$ e taxa $\beta$ é denotada

$X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )\equiv \text{Gama}(\alpha ,\beta )$

A função densidade de probabilidade correspondente na parametrização forma-taxa é

$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{{\beta }^{\alpha }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\text{ para }x>0\text{ e }\alpha ,\beta >0$,

onde $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ é uma função gama completa. Para todos os inteiros positivos $\mathrm{\Gamma }(\alpha )=(\alpha -1)!$

A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:

$F(x;\alpha ,\beta )=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(u;\alpha ,\beta )du=\frac{\gamma (\alpha ,\beta x)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}$

onde $\gamma (\alpha ,\beta x)$ é a função gama incompleta inferior.

Se $\alpha$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma Distribuição Erlang), a função de distribuição acumulada tem a seguinte expansão em séries:

$F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}\frac{(\beta x{)}^i}{i!}{e}^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\mathrm{\infty }}\frac{(\beta x{)}^i}{i!}$

Caracterização usando a forma $k$ e escala $\theta$

Uma variável aleatória $X$ que é distribuída sob gama com parâmetro de forma $k$ e escala $\theta$ é denotada por

$X\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta )\equiv \text{Gama}(k,\theta )$

Ilustração de uma função densidade de probabilidade para valores de parâmetros $k$ e $x$ com $\theta$ ajustado para 1, 2,3,4,5 e 6.

A função densidade de probabilidade usando a parametrização forma-escala é

$f(x;k,\theta )=\frac{x^{k-1}{e}^{-\frac{x}{\theta }}}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)}\text{ para }x>0\text{ e }k,\theta >0.$

Aqui $\mathrm{\Gamma }(k)$ é a função gama avaliada em $k$.

A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:

$F(x;k,\theta )=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(u;k,\theta )du=\frac{\gamma (k,\frac{x}{\theta })}{\mathrm{\Gamma }(k)}$

onde $\gamma (k,\frac{x}{\theta })$ é a função gama incompleta inferior.

Também pode ser expressa como segue, se $k$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma distribuição Erlang):

$F(x;k,\theta )=1-\sum _{i=0}^{k-1}\frac{1}{i!}{\left(\frac{x}{\theta }\right)}^i{e}^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i!}{\left(\frac{x}{\theta }\right)}^i$

Aplicações

Este tipo de distribuição geralmente é aplicada quando se quer fazer algum tipo de analise ligada ao tempo de vida de algum tipo de produto. Por exemplo em um painel elétrico, os mesmo componentes elétricos tem a sua duração (vida útil) aproximadamente igual, ou seja vão durar o mesmo período de tempo, porem alguns podem durar muito mais.