Distribuição exponencial

A função densidade de probabilidade da distribuição exponencial para diferentes valores de λ.

A função distribuição acumulada da distribuição exponencial para diferentes valores de λ.

A distribuição exponencial é um tipo de distribuição contínua de probabilidade, representada por um parâmetro $\lambda$. Sua função de densidade pode ser expressa por:

Em linguagem matemática	Em Português
$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}& ,x\ge 0,\\ 0& ,x<0.\end{array}$	A probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor não negativo no intervalo infinitesimal [x*, x*+dx] é $\lambda e^{-\lambda x}dx$. A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor negativo é zero.

Repare que existe uma família de distribuições exponenciais (e não apenas uma) - cada uma com um $\lambda$ (parâmetro lambda) diferente.

E sua função acumulada:

Em linguagem matemática	Em Português
$F(x;\lambda )=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x}& ,x\ge 0,\\ 0& ,x<0.\end{array}$	A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a certo valor x* é $1-e^{-\lambda x}$, se x* for não-negativo, e 0, em caso contrário.

Propriedades

Valor Esperado

$\mathrm{E}[X]=\frac{1}{\lambda }$

Variância

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{1}{{\lambda }^2}$

Falta de Memória

Se T é uma variável aleatória com distribuição exponencial, então sua probabilidade condicional obedece a equação:

$Pr(T>s+t|T>s)=Pr(T>t)\text{para todo}s,t\ge 0.$

Isso pode ser visto considerando a função de distribuição cumulativa complementar:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Pr}(T>s+t\mid T>s)& =\frac{\mathrm{Pr}(T>s+t\cap T>s)}{\mathrm{Pr}(T>s)}\\ & =\frac{\mathrm{Pr}(T>s+t)}{\mathrm{Pr}(T>s)}\\ & =\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}\\ & =e^{-\lambda t}\\ & =\mathrm{Pr}(T>t).\end{array}$

Isso significa que a probabilidade de que seja necessário esperar, por exemplo, mais que 30 segundos até que o evento aconteça, dado que esse evento não aconteceu antes de 20 segundos, é a mesma de que esse evento ocorra depois dos 10 segundos iniciais.

Função Característica

${\phi }_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -it}\text{com}i=\sqrt{-1}$

Distribuições relacionadas

• Uma distribuição de Weibull $f(x;k,\lambda )$ reduz-se uma distribuição exponencial quando $k=1$.
• Distribuição de poisson se a variável aleatória continua T representar o tempo passo entre a ocorrência de dois eventos de poisson, então a probabilidade da não ocorrência no tempo "t" é igual a probabilidade de que o tempo T entre as ocorrências seja maior que "t". Exemplo: Admita que o número de avarias de uma fotocopiadora é um processo de Poisson com taxa λ =5/ano. Calcule a probabilidade do tempo entre avarias consecutivas ser inferior a um mês. Resolução: O tempo X entre avarias consecutivas tem distribuição Exp(5). Assim, a probabilidade pedida é: $Pr(X<1/12)=Pr(X<\frac{1}{12})=Fx(\frac{1}{12})=1-e^{\frac{-\lambda }{12}}=1-e^{\frac{-5}{12}}=0,3048$

Ligações externas

• Calculadora - Distribuição exponencial