Distribuição de Poisson

Função de probabilidade da distribuição de Poisson para vários valores de λ.

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.

A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Pesquisa sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é

$f(k;\lambda )=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!},$

onde

• e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),
• k! é o fatorial de k,
• λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ=10/4= 2.5.

Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

Processo de Poisson

Predefinição:AP A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (t = 0), seja N(t) o número de eventos que ocorrem até uma certa data t. Por exemplo, N(t) pode ser um modelo para o número de impactos de asteroides maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.

Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de independência estatística) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.

Neste caso, a solução para o problema é o processo estocástico chamado de Processo de Poisson, para o qual vale:

$P[N(t)=K]=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^k}{k!},$

em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo)Predefinição:Citation needed.

Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer t é uma distribuição de Poisson com parâmetro λ t.

Propriedades

Média

O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a λ. Esta propriedade pode ser derivada facilmente:

	Em linguagem matemática	Em Português
	$E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\mathbb{P}[X=k]$	Por definição, a esperança de uma variável aleatória X é igual à soma de cada uma das suas possíveis ocorrências ponderadas pela probabilidade de que estas ocorrências aconteçam.
	$E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!},]$	No caso de variáveis com distribuição, a probabilidade de que determinado evento ocorra é calculado por :$f(k;\lambda )=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$. Portanto, este valor foi substituído na fórmula.
	$E\left[X\right]=\begin{array}{c}\underbrace{0[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^0}{0!},]}\\ k=0\end{array}+\begin{array}{c}\underbrace{1[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^1}{1!},]}\\ k=1\end{array}+\begin{array}{c}\underbrace{2[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^2}{2!},]}\\ k=2\end{array}+...$	Esta expressão equivale à expressão da linha imediatamente superior; apenas se substituiu a expressão de somatório pela soma infinita para melhor compreensão. Note que como o primeiro termo é sempre igual a zero, podemos reescrever $E\left[X\right]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\right]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\right]$
	Como $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\right]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda \left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}\right]$	Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo.
	$E\left[X\right]=\lambda \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}\right]$	Tomamos a substituição acima e tiramos a constante $\lambda$ para fora do somatório (pois o primeiro termo da expressão imediatamente superior é igual à $\lambda *1$.
	$E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{{\lambda }^k}{(k)!}\right]$	Nova transformação para facilitar os cálculos...
	$E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }$ $[\frac{{\lambda }^0}{(0)!}+\frac{{\lambda }^1}{(1)!}+\frac{{\lambda }^2}{(2)!}+\frac{{\lambda }^3}{(3)!}+...]$	Abrindo o somatório, verifica-se que a série converge para $e^{\lambda }$
	$E\left[X\right]=\lambda e^{-\lambda }{e}^{\lambda }$	Obtemos $e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=e^0=1$
	$E\left[X\right]=\lambda$	Como queríamos demonstrar

Variância ($\mathrm{var}(X)$, ${\sigma }_X^2$ ou ${\sigma }^2$)

A variância de uma distribuição de Poisson é igual a $\lambda$, como podemos demonstrar.

Sabendo que $\mathrm{var}(X)=\mathrm{E}(X^2)-(\mathrm{E}(X){)}^2$ e $E(X)=\lambda$

Calculamos o segundo momento $E(X^2)$, para uma variável aleatória discreta:

$E\left[X^2\right]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^2\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\right]$ Expandindo o somatório

$E\left[X^2\right]=1^2\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^1}{1!}\right]+2^2\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^2}{2!}\right]+3^2\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^3}{3!}\right]+...+n^2\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^n}{n!}\right]+...$ Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

$E\left[X^2\right]=\left[e^{-\lambda }{\lambda }^1\right]+2\left[e^{-\lambda }{\lambda }^2\right]+3\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^3}{2!}\right]+...+n\left[\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^n}{(n-1)!}\right]+...$ Colocando $\lambda$ e $e^{-\lambda }$ em evidência

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda [1+2\lambda +3\frac{{\lambda }^2}{2!}+...+n\frac{{\lambda }^{n-1}}{(n-1)!}+...]$

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\left[\frac{{\lambda }^{n-1}}{(n-1)!}\right]$ fazendo $n-1=k$ e $n=k+1$

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[k+1]\left[\frac{{\lambda }^k}{k!}\right]$

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[k\frac{{\lambda }^k}{k!}+\frac{{\lambda }^k}{k!}]$

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \left[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\frac{{\lambda }^k}{k!}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^k}{k!}\right]$ Série de Taylor Função Exponencial $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^k}{k!}$ converge para $e^{\lambda }$

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \left[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\frac{{\lambda }^k}{k!}+e^{\lambda }\right]$ Expandindo o somatório

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \left[0\frac{{\lambda }^0}{0!}+1\frac{{\lambda }^1}{1!}+2\frac{{\lambda }^2}{2!}+3\frac{{\lambda }^3}{3!}+...+k\frac{{\lambda }^k}{k!}+e^{\lambda }\right]$ Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \left[\lambda +{\lambda }^2+\frac{{\lambda }^3}{2!}+...+\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}+e^{\lambda }\right]$ Colocando $\lambda$ em evidência

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \left[\lambda \right(1+\lambda +\frac{{\lambda }^2}{2!}+...+\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!})+e^{\lambda }]$

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \left[\lambda \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}+e^{\lambda }\right]$ fazendo $k-1=n$

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \left[\lambda \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^n}{n!}+e^{\lambda }\right]$ Série de Taylor Função Exponencial $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^n}{n!}$ converge para $e^{\lambda }$

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }\lambda \left[\lambda e^{\lambda }+e^{\lambda }\right]$

$E\left[X^2\right]=e^{-\lambda }{\lambda }^2{e}^{\lambda }+e^{-\lambda }\lambda e^{\lambda }$

$E\left[X^2\right]={\lambda }^2+\lambda$

Substituindo $\mathrm{E}(X^2)$ e $E(X)$ em $\mathrm{var}(X)=\mathrm{E}(X^2)-(\mathrm{E}(X){)}^2$

$\mathrm{var}(X)={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2$

$\mathrm{var}(X)=\lambda$

Soma de variáveis

A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Ou seja, se $X_i\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}({\lambda }_i)$ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro ${\lambda }_i$ e as variáveis aleatórias $X_i$ são estatisticamente independentes, então

$Y=\sum _{i=1}^N{X}_i\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\left(\sum _{i=1}^N{\lambda }_i\right)$ também segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à soma dos ${\lambda }_i$.

Por exemplo, $X_1$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "A" (distribuição de Poisson com média 1,2, digamos) e $X_2$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "B" (variável de Poisson com média 3). Ao todo, o número de óbitos por mil nascimentos nas cidades "A" e "B" têm distribuição de Poisson com média $\sum _{i=1}^2{\lambda }_i=1,2+3=4,2$.

Intervalo de confiança

Um método rápido e fácil para calcular um intervalo de confiança de aproximada de λ, é proposto na Guerriero (2012). Dado um conjunto de eventos k (pelo menos 15 - 20) ao longo de um período de tempo T, os limites do intervalo confiança para a frequência são dadas por:

$F_{low}=(1-\frac{1.96}{\sqrt{k-1}})\frac{k}{T}$

$F_{upp}=(1+\frac{1.96}{\sqrt{k-1}})\frac{k}{T}$

em seguida, os limites do parâmetro $\lambda$ são dadas por: ${\lambda }_{low}=F_{low}T;{\lambda }_{upp}=F_{upp}T$.

Exemplos

A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:

• Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
• Defeitos por unidade de área;
• Acidentes por unidade de tempo;
• Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
• Número de glóbulos visíveis ao microscópio por unidade de área;
• Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.

Ligações externas

• Calculadora - Distribuição de Poisson

Referências

Predefinição:Esboço-matemática