Mostrar código-fonte de Distribuição de Poisson

{{Mais notas|data=maio de 2022}}
{{revisão}} <!-- fórmula do processo misturada com a distribuição //-->

[[Ficheiro:Poisson distribution PMF.png|thumb|300px|Função de probabilidade da distribuição de Poisson para vários valores de λ.]]

Na teoria da [[probabilidade]] e na [[estatística]], a '''distribuição de Poisson''' é uma [[distribuição de probabilidade]] discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.<ref>{{citar livro|Título=Handbook of the Poisson Distribution|ultimo=Haight |primeiro=Frank A. |data=1967 |local=|editora=John Wiley & Sons. |isbn=978-0-471-33932-8}}</ref>

A distribuição foi descoberta por [[Siméon Denis Poisson]] (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em [[1838]] no seu trabalho ''Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile'' ("Pesquisa sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis").  O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias ''N'' que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente ''k'' ocorrências (''k'' sendo um [[inteiro]] não negativo, ''k'' = 0, 1, 2, ...) é

:<math>f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\!</math>

onde
* ''e'' é [[Número de Euler|base do logaritmo natural]] (''e'' = 2.71828...),
* ''k''! é o [[fatorial]] de ''k'',
* λ é um [[número real]], igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 [[minuto]]s, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ=10/4= 2.5.
Como função de ''k'', esta é a [[função de probabilidade]]. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da [[distribuição binomial]].

== Processo de Poisson ==
{{AP|Processo de Poisson}}
A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (''t = 0''), seja ''N(t)'' o número de eventos que ocorrem até uma certa data ''t''. Por exemplo, ''N(t)'' pode ser um modelo para o número de impactos de [[Asteroide|asteroides]] maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.

Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de [[independência estatística]]) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.

Neste caso, a solução para o problema é o [[processo estocástico]] chamado de '''Processo de Poisson''', para o qual vale:

<math>P[N(t)=K]=\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t )^k}{k!},\,\!</math>

em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo){{Citation needed}}.

Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer ''t'' é uma distribuição de Poisson com parâmetro ''λ t''.

==Propriedades==
===Média===
O [[valor esperado]] de uma distribuição de Poisson é igual a ''λ''. Esta propriedade pode ser derivada facilmente<ref>Sayan Mukherjee. Lecture 6.5.- Poisson processes. In: PROBABILITY AND STATISTICS IN ENGINEERING. http://www.isds.duke.edu/courses/Fall06/sta113/poisson.pdf</ref>:


{| class="wikitable"
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! Em [[linguagem]] [[matemática]] !! Em [[língua portuguesa|Português]]
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| <math>E \left [ X \right ] = \sum_{k=0}^{\infty} k\mathbb{P} \left [ X=k \right ] </math> || Por definição, a esperança de uma [[variável aleatória]] X é igual à soma de cada uma das suas possíveis ocorrências ponderadas pela probabilidade de que estas ocorrências aconteçam.
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| <math>E \left [ X \right ] = \sum_{k=0}^{\infty} k \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\! \right ] </math> || No caso de variáveis com distribuição, a probabilidade de que determinado evento ocorra é calculado por :<math>f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}</math>. Portanto, este valor foi substituído na fórmula.
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| <math>E \left [ X \right ] = \begin{matrix} \underbrace{ 0 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!},\,\! \right ] } \\ k=0 \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{ 1 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!},\,\! \right ] } \\ k=1 \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{ 2 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!},\,\! \right ] } \\ k=2 \end{matrix}+... </math> || Esta expressão equivale à expressão da linha imediatamente superior; apenas se substituiu a expressão de somatório pela soma infinita para melhor compreensão. Note que como o primeiro termo é sempre igual a zero, podemos reescrever <math>E \left [ X \right ] = \sum_{k=0}^{\infty} k \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \right ] = \sum_{k=1}^{\infty} k \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \right ]</math>
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| Como <math>\sum_{k=1}^{\infty} k \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \right ]=\sum_{k=1}^{\infty} \lambda \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^{k-1}}{(k-1)!} \right ]</math> || Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo.
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| <math>E \left [ X \right ] =\lambda \sum_{k=1}^{\infty}  \left [ \frac{e^{-\lambda}\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \right ]</math> || Tomamos a substituição acima e tiramos a constante <math>\lambda</math> para fora do somatório (pois o primeiro termo da expressão imediatamente superior é igual à <math>\lambda*1</math>.
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| <math>E \left [ X \right ] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty}  \left [ \frac{\lambda^{k}}{(k)!} \right ]</math> || Nova transformação para facilitar os cálculos...
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|<math>E \left [ X \right ] = \lambda e^{-\lambda} </math> <math> \left [ \frac{\lambda^{0}}{(0)!}+ \frac{\lambda^{1}}{(1)!}+ \frac{\lambda^{2}}{(2)!}+\frac{\lambda^{3}}{(3)!}+... \right ]  </math> || Abrindo o somatório, verifica-se que a série converge para <math>e^\lambda</math>
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|<math>E \left [X \right] = \lambda e^{-\lambda}e^{\lambda} </math> || Obtemos <math>e^{-\lambda}e^{\lambda} = e^0 = 1</math>
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| <math>E \left [ X \right ] = \lambda </math> || Como queríamos demonstrar
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=== Variância (<math>\operatorname{var}(X)</math>, <math>\sigma_X^2</math> ou <math>\sigma^2</math>) ===
A [[variância]] de uma distribuição de Poisson é igual a <math>\lambda</math>, como podemos demonstrar.

Sabendo que <math>\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2</math> e <math>{E}(X)=\lambda</math>

Calculamos o [[Momento (estatística)|segundo momento]] <math>{E}(X^2)</math>, para uma variável aleatória discreta:

<math>E \left [ X^2 \right ] = \sum_{k=0}^{\infin} k^2 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\,\! \right ]</math> Expandindo o somatório

<math>E \left [ X^2 \right ] =  1^2 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!}\,\! \right ] + 2^2 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}\,\! \right ]+3^2 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}\,\! \right ]+...+n^2 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^{n}}{n!}\,\right ]+...\!</math>  Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

<math>E \left [ X^2 \right ] =  \left [ {e^{-\lambda} \lambda^1} \right ] + 2 \left [ {e^{-\lambda} \lambda^2} \right ]+3 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{2!}\,\! \right ]+...+n \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^{n}}{(n-1)!}\, \right ]+...\!</math>  Colocando <math>\lambda</math> e <math>e^{-\lambda}</math> em evidência

<math>E \left [ X^2 \right ] =  {e^{-\lambda}}{\lambda}\biggl[1 + 2 {\lambda}+3  \frac{ \lambda^2}{2!}+...+n\frac{ \lambda^{n-1}}{(n-1)!}+...\biggr]</math>

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda} \sum_{n=1}^{\infin} n \left [ \frac{ \lambda^{n-1}}{(n-1)!} \right ]</math> fazendo <math>n-1=k</math> e <math>n=k+1</math>

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda} \sum_{k=0}^{\infin} {\left [k+1\right ]} \left [ \frac{ \lambda^k}{k!} \right ]</math>

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda} \sum_{k=0}^{\infin} {\left [{k\frac{ \lambda^k}{k!}}+\frac{ \lambda^k}{k!}\right ]}</math>

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda}\left [ \sum_{k=0}^{\infin} { {k\frac{ \lambda^k}{k!}}+ {\sum_{k=0}^{\infin}\frac{ \lambda^k}{k!}}}  \right]</math> Série de [[Série de Taylor|Taylor Função Exponencial]] <math>\sum_{k=0}^{\infin} \frac{\lambda^k}{k!}</math> converge para <math>e^\lambda</math>

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda}\left [ \sum_{k=0}^{\infin} { {k\frac{ \lambda^k}{k!}}+ e^\lambda}  \right]</math> Expandindo o somatório

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda}\left [  { {0\frac{ \lambda^0}{0!}}+{1\frac{ \lambda^1}{1!}}+{2\frac{ \lambda^2}{2!}}+{3\frac{ \lambda^3}{3!}}+...+{k\frac{ \lambda^k}{k!}}+ e^\lambda}  \right]</math> Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda}\left [  { {{\lambda}}+{\lambda^2}+{\frac{ \lambda^3}{2!}}+...+{\frac{ \lambda^k}{(k-1)!}}+ e^\lambda}  \right]</math> Colocando <math>\lambda</math> em evidência

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda}\left [ \lambda\biggl( { {1}+{\lambda}+{\frac{ \lambda^2}{2!}}+...+{\frac{ \lambda^{k-1}}{(k-1)!}}\biggr)+ e^\lambda}  \right]</math>

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda}\left [ \lambda {{\sum_{k=1}^{\infin}\frac{ \lambda^{k-1}}{(k-1)!}} + e^\lambda}  \right]</math> fazendo <math>k - 1 = n</math>

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda}\left [ \lambda {{\sum_{n=0}^{\infin}\frac{ \lambda^{n}}{n!}} + e^\lambda}  \right]</math> Série de [[Série de Taylor|Taylor Função Exponencial]] <math>\sum_{n=0}^{\infin} \frac{\lambda^n}{n!}</math> converge para <math>e^\lambda</math>

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} \lambda } \biggl[\lambda {e^\lambda + e^\lambda}\biggr]  </math>

<math>E \left [ X^2 \right ] ={e^{-\lambda} } {\lambda^2} {e^\lambda} + {e^{-\lambda} {\lambda} {e^\lambda}}  </math>

<math>E \left [ X^2 \right ] = {\lambda^2}  +  {\lambda}   </math>

Substituindo <math>\operatorname{E}(X^2)</math> e <math>{E}(X)</math> em <math>\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2</math>

<math>\operatorname{var}(X)={\lambda^2} + {\lambda} - {\lambda^2}</math>

<math>\operatorname{var}(X)= {\lambda}</math>

===Soma de variáveis===
A '''soma''' de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Ou seja, se <math>X_i \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_i)\,</math> segue uma distribuição de Poisson com parâmetro <math>\lambda_i\,</math> e as variáveis aleatórias <math>X_i</math> são estatisticamente independentes, então
:: <math>Y = \sum_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,</math> também segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à [[soma]] dos <math>\lambda_i\,</math>.
Por exemplo, <math>X_1</math> é uma [[variável aleatória]] que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "A" (distribuição de Poisson com média 1,2, digamos) e <math>X_2</math> é uma [[variável aleatória]] que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "B" (variável de Poisson com média 3). Ao todo, o número de óbitos por mil nascimentos nas cidades "A" e "B" têm distribuição de Poisson com média <math>\sum_{i=1}^2 \lambda_i=1,2+3=4,2</math>.

===Intervalo de confiança===
Um método rápido e fácil para calcular um intervalo de confiança de aproximada de λ, é proposto na Guerriero (2012).<ref>{{citar periódico|último = V |primeiro = Guerriero |ano= 2012 |título= Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics |periódico= J. Mod. Math. Fr |url=https://web.archive.org/web/20130321064636/http://www.sjmmf.org/paperInfo.aspx?ID=886 }}</ref> Dado um conjunto de eventos k (pelo menos 15 - 20) ao longo de um período de tempo T, os limites do intervalo confiança para a frequência são dadas por:
:<math> F_{low}=(1-\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) \frac{ k}{T}</math>
:<math> F_{upp}=(1+\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) \frac{ k}{T}</math>
em seguida, os limites do parâmetro <math>\lambda</math> são dadas por: <math> \lambda_{low}=F_{low} T;  \lambda_{upp}=F_{upp} T</math>.



==Exemplos==
A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:
*Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
*Defeitos por unidade de área;
*Acidentes por unidade de tempo;
*Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
*Número de glóbulos visíveis ao microscópio por unidade de área;
*Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.

==Ligações externas==
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/po.php?language=portugues Calculadora - Distribuição de Poisson]

==Referências==
<references/>


{{esboço-matemática}}

{{Estatística}}

[[Categoria:Distribuições discretas|Poisson]]
[[Categoria:Distribuições de probabilidade]]