Mostrar código-fonte de Divisão

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{{Operações Matemáticas}}
[[Ficheiro:Divide20by4.svg|miniaturadaimagem|Ilustração de 20 maçãs dividas igualmente em 4 grupos, totalizando 5 maças em cada grupo.]]
'''Divisão''' é a [[matemática|operação matemática]] inversa da [[multiplicação]]. O ato de dividir por algum elemento de um [[conjunto]] só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma [[função bijetora]].

No [[Anel (matemática)|anel]] dos [[números inteiros]] a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define [[divisão por zero]].

== Propriedades importantes ==
As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a [[divisão por zero]] não produz como resultado um número real.

=== Nos números inteiros ===
Os números inteiros não formam um  [[Corpo (matemática)|corpo]], portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (''dividendo''<ref name="Vianna-nomenc">Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), [[s:Página:Elementos de Arithmetica.djvu/43|p. 39]]</ref>) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (''divisor''<ref name="Vianna-nomenc"/>). Para tratar dos casos em que o ''dividendo'' não é um múltiplo do ''divisor'' é necessário definir ''quociente'' e ''resto''.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com <math>b \ge a</math>), o '''quociente'''<ref name="Vianna-nomenc"/> da divisão de a por b é o ''maior número inteiro q tal que ''<math>bq \le a</math>. O '''resto'''<ref name="Vianna-nomenc2">Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), [[s:Página:Elementos de Arithmetica.djvu/44|p. 40]]</ref> da divisão de a por b com quociente q é o ''número inteiro r tal que ''<math>r = a - bq.</math>

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de [[Aritmética modular|congruência]].

=== Nos [[números racionais]], [[números reais|reais]] e em outros [[Corpo (matemática)|corpos]] ===
Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional <math> q_1 = \frac{a}{b}</math> por <math>q_2 =\frac{c}{d}</math> (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

<math>\frac{q_1}{q_2} = q_1 \ q_2^{-1} = \frac{a}{b} \ \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}</math>

Em <math> \mathbb{Z}_{13}</math> (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

<math> \frac{7}{5} = 7 . 5^{-1} = 7 . 8 = 4</math>

=== Divisão de polinômios ===
Pode-se definir a operação de divisão para [[polinômio]]s. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um ''resto''.<ref name="Serrasq-div-pol">Serrasqueiro (1906), [[s:Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/37|p. 35-37]]</ref> Veja [[divisão polinomial]].

=== Em estruturas mais gerais ===
A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em [[analogia]] ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da [[relação de ordem]], pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com [[Domínio Euclidiano|domínios euclidianos]].

== Representação ==
Sejam '''a''' e '''b''' elementos do conjunto dos números inteiros, e '''b''' diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:
* Como uma [[fração]]: <math>\frac{a}{b},</math> (utilizando uma barra horizontal entre os dois números);
* Através de uma [[Barra (caractere)|barra]] inclinada: <math>{}^a\!{/}\!{}_b</math>. (É utilizado para fazer operações em computadores);
* Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: <math>a\div b</math>; 
* Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal:  <math>a:b</math>;
* Usando a notação do [[inverso|inverso multiplicativo]]: <math>ab^{-1}</math>.
'''Divisão de números consecutivos'''

Seja o número impar  <math display="inline">a>1</math>  e o seu consecutivo <math display="inline">a+1</math> .

Seja a divisão  <math>a/(a+1)=s</math>. Esta divisão  apresenta as duas peculiaridade a seguir :

a - O quociente <math>s</math> é menor do que <math>1</math> e tende para <math>1</math> com o aumento de <math>a</math>, então <math>\lim_{a \to \infty}\rightarrow s=1</math> 

b - Na imensa maioria das proposições o quociente <math>s</math>  apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Seja a divisão <math>(a+1)/a=s'</math>. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:

a - O quociente <math>s'</math> é maior do que <math>1</math> e tende para <math>1</math> com o aumento de <math>a</math>, então <math>\lim_{a \to \infty}\rightarrow s'=1</math>

b - Na imensa maioria das proposições o quociente <math>s'</math> apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

'''Entretanto''' 

Em nenhuma das  proposições  para <math>s,s'</math>  ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números  finitos de algarismos após a virgula decimal.      

=== Divisão entre números consecutivos ===


Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos a considerar:

Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par

Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar

==== Caso 1 ====
sejam dois números consecutivos <math>A,B</math>  com  <math>A>B</math>   e de paridade par.

A divisão <math>A/B=1+1/B</math>  , e a outra divisão <math>B/A=1-1/A</math>   .

Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número <math>10</math>  é dada por <math>10=2.5</math> , então a fração <math>1/B</math> só não será uma dizima infinita quando <math>B=5^n</math> pois  <math>B</math> é um número de paridade impar.

A fração <math>1/A </math> só não será uma dizima infinita quando  <math>A=2^m.10^n</math> .

A expressão <math>5^n</math> termina sempre com o número <math>25</math>  exceto para <math>n=1</math>.

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número <math>A</math> tem que terminar com o número <math>26</math> exceto para o primeiro caso onde <math>A=6</math> , e o número <math>A </math> , terá que ser da forma <math>2^m</math> onde a expressão <math>1/A</math> não será uma dizima infinita.

Como os números da forma <math>2^m</math> com algarismo <math>6</math> na na última posição são sempre terminados em <math>16,56,96,36,76</math> jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo <math>25,26</math> e com a propriedade de serem da forma  <math>5^n , 2^m</math>.

==== Caso 2 ====
Sejam dois números consecutivos <math>B,A</math> com <math>B>A</math> e de paridade impar.

A divisão <math>B/A=1+1/A</math>  e a outra divisão <math>A/B=1-1/B</math> 

Na imensa maioria dos casos, cada uma destas duas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número <math>10</math> é <math>10=2.5</math>, então a fração <math>1/A</math> só não uma dizima infinita quando <math>A=2^m</math> .

A fração <math>1/B</math> só não será uma dizima infinita quando <math>B=5^n </math> .

A expressão <math>5^n</math> termina sempre no número <math>25</math> exceto para <math>n=1</math> .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número <math>A</math> tem que terminar em <math>24</math> , exceto para o primeiro caso onde <math>A=4</math> , e número <math>A</math> terá que ser da forma <math>2^m</math> , onde a expressão <math>1/A</math> não será uma dizima infinita.

O valor de <math>A</math> só termina em <math>24</math> ,   para  <math>m=10,30,50,70,90,110...</math> e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em <math>25</math> é da forma <math>5^n</math>, impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em <math>24,25</math> que sejam da forma  <math>2^m , 5^n</math> .

Estas divisões são aplicadas nas soluções para o Último Teorema de Fermat  e  para a [[Conjectura]] de Beal a partir das equações do Terno Pitagórico obtidas por Geometria , pois qualquer raiz de um número racional com dizima infinita não terá como resposta um número inteiro.

Todas as outras fórmulas para a determinação do Terno Pitagórico inclusive as Fórmulas de Euclides não se aplicam, porque são fórmulas incompletas.



== Ver também ==
* [[Critérios de divisibilidade]]
* [[Divisão por zero]]
* [[Multiplicação]]
* [[Anel (matemática)]]
* [[Corpo (matemática)]]
* [[Algoritmo de Euclides]]

{{referências|Notas e referências}}

== Referências ==
* {{Citar livro|nome=João José Luiz|sobrenome=Vianna|título=Elementos de Arithmetica|edição=15|local=Rio de Janeiro|editora=Francisco Alves|ano=1914}}
* {{Citar livro|nome=José Adelino|sobrenome=Serrasqueiro|título=Tratado de Algebra Elementar|edição=9|local=Largo da Sé Velha|editora=Livraria Central de J. Diogo Pires|ano=1906}}i

== Ligações externas ==
{{Wikilivros|Teoria de números|Máximo divisor comum#Algoritmo da divisão (de Euclides)|Algoritmo da divisão de Euclides}}
{{correlatos
|wikcionário=Divisão
}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=oHpKzOXgTyQ Explicando o Algoritmo da Divisão]

{{esboço-matemática}}
{{Aritmética elementar}}
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{{Portal3|matemática}}

[[Categoria:Aritmética]]