Divisão

Ilustração de 20 maçãs dividas igualmente em 4 grupos, totalizando 5 maças em cada grupo.

Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.

Propriedades importantes

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

Nos números inteiros

Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com $b\ge a$), o quociente da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que $bq\le a$. O resto da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que $r=a-bq.$

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

Nos números racionais, reais e em outros corpos

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional $q_1=\frac{a}{b}$ por $q_2=\frac{c}{d}$ (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

$\frac{q_1}{q_2}=q_1{q}_2^{-1}=\frac{a}{b}\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

Em ${\mathbb{Z}}_{13}$ (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

$\frac{7}{5}=7.5^{-1}=7.8=4$

Divisão de polinômios

Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto. Veja divisão polinomial.

Em estruturas mais gerais

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

Representação

Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:

• Como uma fração: $\frac{a}{b},$ (utilizando uma barra horizontal entre os dois números);
• Através de uma barra inclinada: ${}^a/{}_b$. (É utilizado para fazer operações em computadores);
• Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: $a÷b$;
• Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal: $a:b$;
• Usando a notação do inverso multiplicativo: $a{b}^{-1}$.

Divisão de números consecutivos

Seja o número impar $a>1$ e o seu consecutivo $a+1$ .

Seja a divisão $a/(a+1)=s$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir :

a - O quociente $s$ é menor do que $1$ e tende para $1$ com o aumento de $a$, então $\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\to s=1$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente $s$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Seja a divisão $(a+1)/a=s^{\prime }$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:

a - O quociente $s^{\prime }$ é maior do que $1$ e tende para $1$ com o aumento de $a$, então $\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\to s^{\prime }=1$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente $s^{\prime }$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Entretanto

Em nenhuma das proposições para $s,s^{\prime }$ ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal.

Divisão entre números consecutivos

Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos a considerar:

Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par

Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar

Caso 1

sejam dois números consecutivos $A,B$ com $A>B$ e de paridade par.

A divisão $A/B=1+1/B$ , e a outra divisão $B/A=1-1/A$ .

Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número $10$ é dada por $10=2.5$ , então a fração $1/B$ só não será uma dizima infinita quando $B=5^n$ pois $B$ é um número de paridade impar.

A fração $1/A$ só não será uma dizima infinita quando $A=2^m.10^n$ .

A expressão $5^n$ termina sempre com o número $25$ exceto para $n=1$.

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número $A$ tem que terminar com o número $26$ exceto para o primeiro caso onde $A=6$ , e o número $A$ , terá que ser da forma $2^m$ onde a expressão $1/A$ não será uma dizima infinita.

Como os números da forma $2^m$ com algarismo $6$ na na última posição são sempre terminados em $16,56,96,36,76$ jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo $25,26$ e com a propriedade de serem da forma $5^n,2^m$.

Caso 2

Sejam dois números consecutivos $B,A$ com $B>A$ e de paridade impar.

A divisão $B/A=1+1/A$ e a outra divisão $A/B=1-1/B$

Na imensa maioria dos casos, cada uma destas duas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número $10$ é $10=2.5$, então a fração $1/A$ só não uma dizima infinita quando $A=2^m$ .

A fração $1/B$ só não será uma dizima infinita quando $B=5^n$ .

A expressão $5^n$ termina sempre no número $25$ exceto para $n=1$ .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número $A$ tem que terminar em $24$ , exceto para o primeiro caso onde $A=4$ , e número $A$ terá que ser da forma $2^m$ , onde a expressão $1/A$ não será uma dizima infinita.

O valor de $A$ só termina em $24$ , para $m=10,30,50,70,90,110...$ e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em $25$ é da forma $5^n$, impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em $24,25$ que sejam da forma $2^m,5^n$ .

Estas divisões são aplicadas nas soluções para o Último Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal a partir das equações do Terno Pitagórico obtidas por Geometria , pois qualquer raiz de um número racional com dizima infinita não terá como resposta um número inteiro.

Todas as outras fórmulas para a determinação do Terno Pitagórico inclusive as Fórmulas de Euclides não se aplicam, porque são fórmulas incompletas.

Ver também

• Critérios de divisibilidade
• Divisão por zero
• Multiplicação
• Anel (matemática)
• Corpo (matemática)
• Algoritmo de Euclides

Referências

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livroi

Ligações externas

• Explicando o Algoritmo da Divisão