Mostrar código-fonte de Equação do quarto grau

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{{revisão|data=setembro de 2012}}
[[Imagem:Polynomialdeg4.png|thumb|250px|direita|Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas]]
Em [[matemática]], uma '''equação do quarto grau''' ou '''equação quártica''' é uma [[equação polinomial]] monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:<math display="block">ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,</math>em que os coeficientes <math>a \neq 0</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> e <math>e</math> são elementos de um [[Corpo (matemática)|corpo]], geralmente o dos [[números reais]] ou [[números complexos|complexos]].

== Exemplos ==
<math display="block">x^4+2x^3-13x^2-14x+24=0</math><math display="block">x^4-1=0</math><math display="block">x^4-5x^2+6=0</math>

== Existência de soluções ==
O [[teorema fundamental da álgebra]] garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos [[número complexo|números complexos]].

== Formas especiais ==
=== Equação biquadrática ===
{{Artigo principal|[[Equação biquadrada]]}}
Uma '''equação biquadrática''' é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:<math display="block"> px^4+qx^2 + r=0.</math>Como <math>p \ne 0</math>, esta equação pode ser reduzida a uma [[equação do segundo grau]] através da mudança de variáveis <math>y = x^2</math>, de modo que<math display="block"> py^2+qy + r=0.</math>Os valores de <math>y</math> que satisfazem esta equação são dados pela [[Fórmula de Bhaskara|fórmula]]: <math> y = \frac{-q \pm \sqrt{q^2-4pr}}{2p}.</math>
Logo, <math> x = \pm \sqrt{\frac{-q + \sqrt{q^2-4pr}}{2p}} </math> e <math>x = \pm \sqrt{\frac{-q - \sqrt{q^2-4pr}}{2p}}</math>.

=== Produtos Notáveis ===
Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida <math> \left ( x^4+ax^2+bx+c=0 \right ) , </math> apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em <math> x=-\dfrac{b}{4a} .</math>
*'''Exemplo:''' <math>x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0</math> quando reduzido fica na forma <math>z^4=0 , </math> logo <math>x=-\dfrac{b}{4a}</math> ou <math> x=1 .</math>
Formula de Wilson x⁴=y²

== O método de Ferrari ==
As soluções podem ser encontradas usando o '''método de Ferrari''' desenvolvido pelo matemático italiano [[Lodovico Ferrari]].
Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:<math display="block">x^4+px^2+q=rx</math>Nota-se que a equação geral <math>az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e = 0</math> pode ser reduzida a este caso através da transformação <math>z=x-\frac{b}{4a},</math> e dividindo a equação resultante por <math>a</math>.

Ao dividirmos a equação por <math>a</math>, a equação terá a forma <math>z^4+Az^3+Bz^2+Cz+D=0</math>, onde <math>A=\frac{b}{a}</math>, <math>B=\frac{c}{a}</math>, <math>C=\frac{d}{a}</math> e <math>D=\frac{e}{a}</math><ref name=":0">{{citar web|url=https://www.blogcyberini.com/2018/06/algoritmo-equacao-quarto-grau.html|titulo=Algoritmo da Equação do Quarto Grau|data=9 de junho 2018|acessodata=4 de julho de 2018|publicado=Blog Cyberini|ultimo=Felipe|primeiro=Henrique}}</ref>. Ao realizar a substituição <math>z=x-\frac{B}{4}</math> a equação assumirá a forma reduzida <math>x^4+px^2+q=rx</math>, onde<ref name=":0" />

<math>p=B-\frac{3}{8}A^2</math>

<math>r=-\frac{1}{8}A^3+\frac{1}{2}AB-C</math>

<math>q=-\frac{3}{256}A^4+\frac{1}{16}A^2B-\frac{1}{4}AC+D</math>

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual <math>(x^2 + A)^2 - (B x + C)^2=0 ,</math> cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de [[equação do segundo grau|equações do segundo grau]].

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, <math>x^4 + p x^2 + q,</math> é transformado no quadrado baseado em <math>x^4 + q,</math> ou seja, <math>x^4 + 2 \sqrt{q}  x^2 + q:</math><math display="block">x^4 + q = r x - p x^2</math><math display="block">x^4 + 2 \sqrt{q} x^2 + q = (2 \sqrt{q} - p) x^2 + r x</math><math display="block">(x^2+ \sqrt q)^2 = rx + \left (2\sqrt q - p \right )x^2 </math>Em seguida, somam-se termos em uma nova variável <math>y,</math> porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar <math>y^2,</math> devemos somar também <math>2y \cdot (x^2 + \sqrt q) ,</math> ou seja:<math display="block">(x^2+ \sqrt q)^2 + 2y \cdot (x^2 + \sqrt q) + y^2 =rx + \left (2\sqrt q - p \right )x^2 + 2y \cdot (x^2 + \sqrt q) + y^2</math>Reescrevendo:<math display="block"> (x^2+ \sqrt q + y)^2 = (2 \sqrt q - p + 2y ) x^2+ rx +2y \sqrt q + y^2</math>O segundo membro da equação pode ser reescrito como <math> (2 \sqrt q - p + 2y)\cdot(x-x_{+})\cdot(x-x_{-}) ,</math> onde <math>x_+</math> e <math>x_-</math> são soluções da equação quadrática

<math>(2 \sqrt q - p + 2y ) x^2+ rx +2y \sqrt q + y^2 = 0,</math> ou seja, <math>x=\dfrac{-r\pm\sqrt{r^2-4\cdot(2 \sqrt q - p + 2y)\cdot(2y \sqrt q + y^2)}}{2\cdot(2 \sqrt q - p + 2y)}</math>

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que <math> (2 \sqrt q - p + 2y)\cdot(x-x_{+})\cdot(x-x_{-}) </math> seja um quadrado, então escreveremos que <math> x_+ = x_- ,</math> que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:<math display="block"> r^2-4\cdot(2\sqrt q - p + 2y )\cdot(2y\sqrt q + y^2)=0</math>que, expandido, gera a [[equação do terceiro grau]] auxiliar:<math display="block"> 8y^3+ (24\sqrt q - 4 p)y^2 + (16 q - 8p\sqrt q)y -r^2=0,</math>onde apenas uma raiz <math> y_1 </math> é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando <math>r\ne 0</math>, a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva<ref name=":0" />.

Retomando o cálculo da incógnita <math>x ,</math> temos que <math>x_+=x_-=-\dfrac{r}{2\cdot(2 \sqrt q - p + 2y)}</math>

Com isso a equação <math>(x^2+ \sqrt q + y)^2 = \left (2 \sqrt q - p + 2y  \right ) \cdot\left (x+\dfrac{r}{2\cdot\left (2 \sqrt q - p + 2y  \right )}  \right )^2 ,</math> pode ser reescrita como <math>(x^2+ \sqrt q + y)^2 - \left (\sqrt{2 \sqrt q - p + 2y}  \right )^2 \cdot\left (x+\dfrac{r}{2\cdot\left (2 \sqrt q - p + 2y  \right )}  \right )^2 = 0,</math> ou <math>(x^2+\sqrt q + y)^2-\left (x\sqrt{2 \sqrt q - p + 2y}+\dfrac{r}{\sqrt{8 \sqrt q - 4p + 8y}}  \right )^2 = 0</math> 

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

<math>x^2+\sqrt q + y \pm \left (x\sqrt{2 \sqrt q - p + 2y}+\dfrac{r}{\sqrt{8 \sqrt q - 4p + 8y}}  \right )=0</math>

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de [[Equação quadrática|equações de segundo grau]] nas equações seguintes:

<math>x^2+x\sqrt{2\sqrt q -p+2y}+\sqrt{q}+y+\dfrac{r}{\sqrt{8\sqrt q -4p+8y}}=0</math> 

<math>x^2-x\sqrt{2\sqrt q -p+2y}+\sqrt{q}+y-\dfrac{r}{\sqrt{8\sqrt q -4p+8y}}=0</math>

<!-- TODO: incluir um exemplo numérico !-->

== Ver também ==

* [[Equação polinomial]]
{{Referências}}

== Ligações externas ==

* [https://www.blogcyberini.com/p/calculadora-de-equacoes-do-quarto-grau.html Calculadora de equações do quarto grau]
{{Equação polinomial}}{{esboço-matemática}}
[[Categoria:Equações polinomiais]]
[[Categoria:Matemática]]
[[Categoria:Álgebra]]