Mostrar código-fonte de Equações de campo de Einstein

{{Descrição curta|Equações de campo na relatividade geral}}
{{Relatividade geral|expanded=Equações e teorias}}
Na [[Relatividade geral|teoria da relatividade geral]], as '''equações de campo de Einstein''' (também conhecidas como '''equações de Einstein''') relacionam a geometria do [[espaço-tempo]] à distribuição de <!--[[:en:Matter#In_general_relativity_and_cosmology]]-->[[matéria]] dentro dele.<ref name="ein">{{Cite journal |last=Einstein |first=Albert |title=''The Foundation of the General Theory of Relativity'' |journal=[[Annalen der Physik]] |volume=354 |issue=7 |pages=769 |year=1916 |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/science.html |doi=10.1002/andp.19163540702 |format=[[PDF]] |bibcode=1916AnP...354..769E |archive-url=https://web.archive.org/web/20120206225139/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |archive-date=2012-02-06 |language=en, de}}</ref>

As equações foram publicadas por [[Albert Einstein]] em 1915 na forma de uma [[Tensor|equação tensorial]]<ref name=Ein1915>{{Cite journal |last=Einstein |first=Albert |author-link=Albert Einstein |date=25-11-1915 |title=''Die Feldgleichungen der Gravitation'' |journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |pages=844–847 |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/echo/einstein/sitzungsberichte/6E3MAXK4/index.meta |access-date=2017-08-21 |language=en}}</ref> que relacionava a ''[[curvatura]] do espaço-tempo'' local (expressa pelo [[tensor de Einstein]]) com a energia, [[Momento linear|momento]] e tensão locais dentro desse espaço-tempo (expressos pelo [[Tensor de energia-momento|tensor de tensão e energia]]).{{Sfnp|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=916 [ch. 34]}}

Analogamente à maneira como os [[Campo eletromagnético|campos eletromagnéticos]] são relacionados à distribuição de [[carga]]s e [[Corrente elétrica|correntes]] por meio das [[equações de Maxwell]], as equações de campo de Einstein relacionam a geometria do [[espaço-tempo]] à distribuição de massa e energia, momento e estresse, ou seja, elas determinam o <!--[[:en:Metric tensor (general relativity)]]-->tensor métrico do espaço-tempo para um determinado arranjo de estresse, energia e momento no espaço-tempo. A relação entre o tensor métrico e o tensor de Einstein permite que as equações de campo de Einstein sejam escritas como um conjunto de [[Equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]] que não são lineares quando usadas dessa maneira. As soluções das equações de campo de Einstein são os componentes do tensor métrico. As trajetórias [[Inércia|inerciais]] de partículas e radiação ([[Geodésica (relatividade geral)|geodésicas]]) na geometria resultante são então calculadas usando a <!--[[:en:Geodesic#Affine geodesics]]-->equação geodésica.

Além de implicar conservação de energia e momento local, as equações de campo de Einstein reduzem-se à [[Lei da gravitação universal|lei da gravitação de Newton]] no limite de um campo gravitacional fraco e velocidades muito menores que a [[velocidade da luz]].<ref name="Carroll">{{Cite book |last=Carroll |first=Sean |author-link=Sean M. Carroll |year=2004 |title=Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity |pages=151–159 |publisher=''Addison Wesley'' |isbn=0-8053-8732-3 |language=en}}</ref>

[[Soluções exatas em relatividade geral|Soluções exatas]] para as equações de campo de Einstein só podem ser encontradas sob suposições simplificadoras, como <!--[[:en:Spacetime symmetries]]-->simetria. Classes especiais de soluções exatas são mais frequentemente estudadas, pois modelam muitos fenômenos gravitacionais, como [[Buraco negro em rotação|buracos negros rotativos]] e o [[Expansão métrica do espaço|universo em expansão]]. Uma simplificação adicional é alcançada ao aproximar o espaço-tempo como tendo apenas pequenos desvios do [[Espaço de Minkowski|espaço-tempo plano]], levando às <!--[[:en:Linearized gravity]]-->equações de campo de Einstein linearizadas. Essas equações são usadas para estudar fenômenos como [[Onda gravitacional|ondas gravitacionais]].

==Forma matemática==
{{Espaço-tempo}}
As equações de campo de Einstein podem ser escritas na forma<ref>{{Cite book |title=Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology |edition=''illustrated'' |first1=Øyvind |last1=Grøn |first2=Sigbjorn |last2=Hervik |publisher=''Springer Science & Business Media'' |year=2007 |isbn=978-0-387-69200-5 |page=180 |url=https://books.google.com/books?id=IyJhCHAryuUC&pg=PA180 |language=en}}</ref><ref name="ein"/>
:<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}</math>
[[Imagem:EinsteinLeiden4.jpg|upright=1.35|thumb|As equações de campo de Einstein na parede do ''Rijksmuseum Boerhaave'' em [[Leiden]], Holanda]]
onde <math>G_{\mu \nu}</math> é o tensor de Einstein, <math>g_{\mu \nu}</math> é o tensor métrico, <math>T_{\mu \nu}</math> é o [[Tensor de energia-momento|tensor de tensão e energia]], <math>\Lambda</math> é a [[constante cosmológica]] e <math>\kappa</math> é a constante gravitacional de Einstein.

O tensor de Einstein é definido como
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu}</math>
onde <math>R_{\mu \nu}</math> é o [[tensor de curvatura de Ricci]], e <math>R</math> é a [[Escalar de curvatura de Ricci|curvatura escalar]]. Este é um tensor simétrico de segundo grau que depende apenas do tensor métrico e de suas primeira e segunda derivadas.

A '''constante gravitacional de Einstein''' é definida como<ref>Com a escolha da constante gravitacional de Einstein como dada aqui, {{Math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{I sup|4}}}}, o tensor de tensão e energia no lado direito da equação deve ser escrito com cada componente em unidades de densidade de energia (ou seja, energia por volume, pressão equivalente). Na publicação original de Einstein, a escolha é {{Math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{I sup|2}}}}, em cujo caso os componentes do tensor de tensão e energia têm unidades de densidade de massa.</ref><ref>{{Cite book|last1=Adler|first1=Ronald|last2=Bazin|first2=Maurice|last3=Schiffer|first3=Menahem|url=https://www.worldcat.org/oclc/1046135|title=Introduction to general relativity|date=1975|publisher=''McGraw-Hill''|isbn=0-07-000423-4|edition=''2nd''|location=''New York''|oclc=1046135|language=en}}</ref>
:<math>\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} \approx 2,07665\times10^{-43} \, \textrm{N}^{-1} ,</math> ou <math>\textrm{m/J} ,</math>
onde {{Mvar|G}} é a [[Constante gravitacional universal|constante newtoniana da gravitação]] e {{Mvar|c}} é a [[velocidade da luz]] no [[vácuo]].

As equações de campo de Einstein podem, portanto, também ser escritas como
:<math>R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}</math>
Em unidades padrão, cada termo à esquerda tem unidades de 1/comprimento<sup>2</sup>.

A expressão à esquerda representa a curvatura do espaço-tempo conforme determinado pela métrica; a expressão à direita representa o conteúdo de tensão, energia e momento do espaço-tempo. As equações de campo de Einstein podem então ser interpretadas como um conjunto de equações que ditam como a tensão, a energia e o momento determinam a curvatura do espaço-tempo.

Essas equações, juntamente com a [[Geodésica (relatividade geral)|equação geodésica]],<ref name="SW1993">{{Cite book| last=Weinberg|first=Steven|title=Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature|year=1993|publisher=''Vintage Press''|pages=107, 233|isbn=0-09-922391-0|language=en}}</ref> que dita como a matéria em queda livre se move através do espaço-tempo, formam o núcleo da [[Matemática da relatividade geral|formulação matemática]] da [[relatividade geral]].

As equações de campo de Einstein são uma equação tensorial que relaciona um conjunto de [[Tensor simétrico|tensores simétricos 4 × 4]]. Cada tensor tem 10 componentes independentes. As quatro <!--[[:en:Curvature form#Bianchi identities]]-->identidades de Bianchi reduzem o número de equações independentes de 10 para 6, deixando a métrica com quatro [[Graus de liberdade (física)|graus de liberdade]] de [[Fixação de gauge|fixação de ''gauge'']], que correspondem à liberdade de escolher um sistema de coordenadas.

Embora as equações de campo de Einstein tenham sido inicialmente formuladas no contexto de uma teoria quadridimensional, alguns teóricos exploraram suas consequências em {{Mvar|n}} dimensões.<ref name="Stephani et al">{{Cite book|last1=Stephani |first1=Hans|first2=D. |last2=Kramer|first3=M. |last3=MacCallum|first4=C. |last4=Hoenselaers|first5=E. |last5=Herlt|title=Exact Solutions of Einstein's Field Equations|publisher=''[[Cambridge University Press]]''| year=2003|isbn=0-521-46136-7|language=en}}</ref> As equações em contextos fora da relatividade geral ainda são chamadas de equações de campo de Einstein. As equações de campo do vácuo (obtidas quando {{Math|''T''{{Subscrito|''μν''}}}} é zero em todos os lugares) definem <!--[[:en:Einstein manifold]]-->variedades de Einstein.

As equações são mais complexas do que parecem. Dada uma distribuição especificada de matéria e energia na forma de um tensor de tensão e energia, as equações de campo de Einstein são entendidas como equações para o tensor métrico <math>g_{\mu \nu}</math>, uma vez que tanto o tensor de Ricci quanto a curvatura escalar dependem da métrica de uma maneira que não é linear complicada. Quando totalmente escritas, as equações de campo de Einstein são um sistema de dez [[Equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]] hiperbólicas-elípticas que não são lineares acopladas.<ref>{{Cite journal |first=Alan D. |last=Rendall |title=''Theorems on Existence and Global Dynamics for the Einstein Equations'' |journal=Living Rev. Relativ. |volume=8 |year=2005 |issue=1 |at=Article number: 6 |doi=10.12942/lrr-2005-6 |pmid=28179868 |pmc=5256071 |arxiv=gr-qc/0505133 |bibcode=2005LRR.....8....6R |doi-access=free |language=en }}</ref>

===Convenção de sinais===
A forma acima das equações de campo de Einstein é o padrão estabelecido por [[Gravitation (livro)|Misner, Thorne e Wheeler]] (MTW).{{Sfnp|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=501ff}} Os autores analisaram as convenções existentes e as classificaram de acordo com três sinais ([S1] [S2] [S3]):
<math display="block">\begin{align}
g_{\mu \nu} & = [S1] \times \operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1) \\[6pt]
{R^\mu}_{\alpha \beta \gamma} & = [S2] \times \left(\Gamma^\mu_{\alpha \gamma,\beta} - \Gamma^\mu_{\alpha \beta,\gamma} + \Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma \alpha} - \Gamma^\mu_{\sigma \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta \alpha}\right) \\[6pt]
G_{\mu \nu} & = [S3] \times \kappa T_{\mu \nu}
\end{align}</math>
O terceiro sinal acima está relacionado à escolha da convenção para o tensor de Ricci:
<math display="block">R_{\mu \nu} = [S2] \times [S3] \times {R^\alpha}_{\mu\alpha\nu} </math>
Com essas definições, [[Gravitation (livro)|Misner, Thorne e Wheeler]] se classificam como {{Math|(+ + +)}}, enquanto Weinberg (1972){{Sfnp|Weinberg|1972}} é {{Math|(+ − −)}}, Peebles (1980)<ref>{{Cite book |last=Peebles |first=Phillip James Edwin |title=The Large-scale Structure of the Universe |publisher=''Princeton University Press'' |year=1980 |isbn=0-691-08239-1 |language=en}}</ref> e Efstathiou ''et al.'' (1990)<ref>{{Cite journal |last1=Efstathiou |first1=G. |first2=W. J. |last2=Sutherland |first3=S. J. |last3=Maddox |s2cid=12988317 |title=''The cosmological constant and cold dark matter'' |journal=[[Nature (journal)|Nature]] |volume=348 |issue=6303 |year=1990 |pages=705 |doi=10.1038/348705a0 |bibcode=1990Natur.348..705E |language=en}}</ref> são (− + +), Rindler (1977),<!----> Atwater (1974),<!----> Collins Martin & Squires (1989)<!----> e Peacock (1999)<ref>{{Cite book |last1=Collins |first1=P. D. B. |last2=Martin |first2=A. D. |last3=Squires |first3=E. J. |year=1989 |title=Particle Physics and Cosmology |location=''New York'' |publisher=''Wiley'' |isbn=0-471-60088-1 |language=en}}</ref> são {{Math|(− + −)}}.

Autores incluindo Einstein usaram um sinal diferente em sua definição para o tensor de Ricci, o que resulta no sinal da constante no lado direito sendo negativo:
<math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = -\kappa T_{\mu \nu}</math>
O sinal do termo cosmológico mudaria em ambas as versões se a <!--[[:en:Sign convention]]-->convenção de sinal métrico {{Math|(+ − − −)}} fosse usada em vez da convenção de sinal métrico de Misner, Thorne e Wheeler (MTW) {{Math|(− + + +)}} adotada aqui.

===Formulações equivalentes===
Tomando o <!--[[:en:Scalar curvature#Definition]]-->traço em relação à métrica de ambos os lados das equações de campo de Einstein obtém-se
<math display="block">R - \frac{D}{2} R + D \Lambda = \kappa T </math>
onde {{Mvar|D}} é a dimensão do espaço-tempo. Resolvendo para {{Math|''R''}} e substituindo isso nas equações de campo de Einstein originais, obtém-se a seguinte forma "traço revertido" equivalente:
<math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{2}{D-2} \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{D-2}Tg_{\mu \nu}\right) </math>
Em {{Math|1=''D'' = 4}} dimensões isso se reduz a
<math display="block">R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}T\,g_{\mu \nu}\right) </math>
Reverter o traço novamente restauraria as equações de campo de Einstein originais. A forma de traço revertido pode ser mais conveniente em alguns casos (por exemplo, quando alguém está interessado no limite de campo fraco e pode substituir <math>g_{\mu \nu}</math> na expressão à direita pela <!--[[:en:Minkowski space#Minkowski metric]]-->métrica de Minkowski sem perda significativa de precisão).

==A constante cosmológica==
{{Artigo principal|Constante cosmológica}}
Nas equações de campo de Einstein
<math display="block">G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu} \,</math>
o termo contendo a constante cosmológica {{Math|Λ}} estava ausente da versão em que ele os publicou originalmente. Einstein então incluiu o termo com a constante cosmológica para permitir um [[Universo estático|universo que não está se expandindo ou se contraindo]]. Este esforço não teve sucesso porque:
*qualquer solução de estado estacionário desejada descrita por esta equação é instável, e
*observações de [[Edwin Hubble]] mostraram que nosso universo está se [[Expansão métrica do espaço|expandindo]].

Einstein então abandonou a {{Math|Λ}}, comentando com [[George Gamow]] "que a introdução do termo cosmológico foi o maior erro de sua vida".<ref name=gamow>{{Cite book|last=Gamow|first=George|author-link=George Gamow|title=My World Line : An Informal Autobiography|publisher=[[Viking Press|''Viking Adult'']]|date=28-04-1970|isbn=0-670-50376-2|url=http://www.jb.man.ac.uk/~jpl/cosmo/blunder.html|access-date=2007-03-14|language=en}}</ref>

A inclusão deste termo não cria inconsistências. Por muitos anos, a constante cosmológica foi quase universalmente assumida como zero. Observações [[Astronomia|astronômicas]] mais recentes mostraram uma [[expansão acelerada do universo]], e para explicar isso um valor positivo de {{Math|Λ}} é necessário.<ref name=wahl>{{Cite news|last=Wahl|first=Nicolle|date=2005-11-22|title=''Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?''|url=http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp |publisher=University of Toronto|work=News@UofT |archive-url=https://web.archive.org/web/20070307191343/http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp|archive-date=2007-03-07|language=en}}</ref><ref name=turner>
{{Cite journal|last=Turner |first=Michael S.|s2cid=16669258|date=05-2001|title=''Making Sense of the New Cosmology''|journal=Int. J. Mod. Phys. A|volume=17|issue=S1|pages=180–196|doi=10.1142/S0217751X02013113|arxiv=astro-ph/0202008|bibcode=2002IJMPA..17S.180T|language=en}}</ref> O efeito da constante cosmológica é insignificante na escala de uma galáxia ou menor.

Einstein pensou na constante cosmológica como um parâmetro independente, mas seu termo na equação de campo também pode ser movido algebricamente para o outro lado e incorporado como parte do tensor de tensão e energia:
<math display="block">T_{\mu \nu}^\text{(vác)} = - \frac{\Lambda}{\kappa} g_{\mu \nu} \,</math>
Este tensor descreve um [[Vácuo quântico|estado de vácuo]] com uma [[Energia do vácuo|densidade de energia]] {{Math|''ρ''{{Subscrito|vác}}}} e pressão isotrópica {{Math|''p''{{Subscrito|vác}}}} que são constantes fixas e dadas por
<math display="block">\rho_\text{vác} = - p_\text{vác} = \frac{\Lambda}{\kappa}</math>
onde se assume que {{Math|Λ}} tem unidade SI m{{Sobrescrito|−2}} e {{Math|''κ''}} é definido como acima.

A existência de uma constante cosmológica é, portanto, equivalente à existência de uma energia de vácuo e uma pressão de sinal oposto. Isso levou os termos "constante cosmológica" e "energia de vácuo" a serem usados de forma intercambiável na relatividade geral.

==Características==
===Conservação de energia e momento===
A relatividade geral é consistente com a conservação local de energia e momento expressa como
<math display="block">\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = {T^{\alpha\beta}}_{;\beta} = 0</math>
{{Math proof|title=Derivação da conservação local de energia e momento|proof=Contratando a <!--[[:en:Riemann curvature tensor#Symmetries and identities]]-->[[Tensor de curvatura de Riemann#Segunda identidade de Bianchi|identidade Bianchi diferencial]]
<math display="block">R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\varepsilon]} = 0</math>
com {{Mvar|g{{Sobrescrito|αβ}}}} dá, usando o fato de que o tensor métrico é covariantemente constante, ou seja, {{Math|1=''g{{Sobrescrito|αβ}}{{Subscrito|;γ}}'' = 0}},
<math display="block">{R^\gamma}_{\beta\gamma\delta;\varepsilon} + {R^\gamma}_{\beta\varepsilon\gamma;\delta} + {R^\gamma}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} = 0</math>
A antissimetria do tensor de Riemann permite que o segundo termo da expressão acima seja reescrito:
<math display="block">{R^\gamma}_{\beta\gamma\delta;\varepsilon} - {R^\gamma}_{\beta\gamma\varepsilon;\delta} + {R^\gamma}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} = 0</math>
que é equivalente a
<math display="block">R_{\beta\delta;\varepsilon} - R_{\beta\varepsilon;\delta} + {R^\gamma}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} = 0</math>
usando o definição do [[Tensor de curvatura de Ricci|tensor de Ricci]].

Em seguida, contrate novamente com a métrica
<math display="block">g^{\beta\delta}\left(R_{\beta\delta;\varepsilon} - R_{\beta\varepsilon;\delta} + {R^\gamma}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma}\right) = 0</math>
para obter
<math display="block">{R^\delta}_{\delta;\varepsilon} - {R^\delta}_{\varepsilon;\delta} + {R^{\gamma\delta}}_{\delta\varepsilon;\gamma} = 0</math>
As definições do tensor de curvatura de Ricci e da curvatura escalar mostram então que
<math display="block">R_{;\varepsilon} - 2{R^\gamma}_{\varepsilon;\gamma} = 0</math>
que pode ser reescrito como
<math display="block">\left({R^\gamma}_{\varepsilon} - \tfrac{1}{2}{g^\gamma}_{\varepsilon}R\right)_{;\gamma} = 0</math>
Uma contração final com {{Mvar|g{{Sobrescrito|εδ}}}} dá
<math display="block">\left(R^{\gamma\delta} - \tfrac{1}{2}g^{\gamma\delta}R\right)_{;\gamma} = 0</math>
que pela simetria do termo entre colchetes e a definição do [[tensor de Einstein]], dá, após renomear os índices,
<math display="block"> {G^{\alpha\beta}}_{;\beta} = 0 </math>
Usando as equações de campo de Einstein, isso dá imediatamente,
<math display="block">\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = {T^{\alpha\beta}}_{;\beta} = 0</math>
}}
que expressa a conservação local de tensão e energia. Esta lei de conservação é um requisito físico. Com suas equações de campo, Einstein garantiu que a relatividade geral é consistente com esta condição de conservação.

===Não linearidade===
A não linearidade das equações de campo de Einstein distingue a relatividade geral de muitas outras teorias físicas fundamentais. Por exemplo, as [[equações de Maxwell]] do [[eletromagnetismo]] são lineares nos campos [[Campo elétrico|elétrico]] e [[Campo magnético|magnético]], e distribuições de carga e corrente (ou seja, a soma de duas soluções também é uma solução); outro exemplo é a [[equação de Schrödinger]] da [[mecânica quântica]], que é linear na [[função de onda]].

===O princípio da correspondência===
As equações de campo de Einstein reduzem-se à [[Lei da gravitação universal|lei da gravidade de Newton]] usando tanto a [[Aproximação para campos gravitacionais fracos|aproximação de campo fraco]] quanto a <!--[[:en:Slow-motion approximation]]-->aproximação de movimento lento. De fato, a constante {{Mvar|G}} que aparece nas equações de campo de Einstein é determinada fazendo essas duas aproximações.
{{Math proof|title=Derivação da lei da gravidade de Newton|proof=A gravitação newtoniana pode ser escrita como a teoria de um campo escalar, <math>\Phi</math>, que é o potencial gravitacional em joules por quilograma do campo gravitacional <math>g=-\nabla\Phi</math>, veja a <!--[[:en:Gauss's law for gravity#Poisson's equation and gravitational potential]]-->lei de Gauss para a gravidade
<math display="block">\nabla^2 \Phi \left(\vec{x},t\right) = 4 \pi G \rho \left(\vec{x},t\right)</math>
onde {{Mvar|ρ}} é a densidade de massa. A órbita de uma partícula em [[queda livre]] satisfaz
<math display="block">\ddot{\vec{x}}(t) = \vec{g} = - \nabla \Phi \left(\vec{x} (t),t\right) \,</math>
Na notação tensorial, estes se tornam
<math display="block">\begin{align}
\Phi_{,i i} &= 4 \pi G \rho \\
\frac{d^2 x^i}{d t^2} &= - \Phi_{,i} \,
\end{align}</math>
Na relatividade geral, essas equações são substituídas pelas equações de campo de Einstein na forma de traço invertido
<math display="block">R_{\mu \nu} = K \left(T_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2} T g_{\mu \nu}\right)</math>
para alguma constante, {{Mvar|K}}, e a <!--[[:en:Geodesic equation]]-->equação geodésica
<math display="block">\frac{d^2 x^\alpha}{d \tau^2} = - \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} \frac{d x^\beta}{d \tau} \frac{d x^\gamma}{d \tau} \,</math>
Para ver como o último se reduz ao primeiro, assumimos que a velocidade da partícula de teste é aproximadamente zero
<math display="block">\frac{d x^\beta}{d \tau} \approx \left(\frac{dt}{d \tau}, 0, 0, 0\right) </math>
e, portanto,
<math display="block">\frac{d}{d t} \left( \frac{dt}{d \tau} \right) \approx 0 </math>
e que a métrica e suas derivadas são aproximadamente estáticas e que os quadrados dos desvios da métrica de Minkowski são desprezíveis. A aplicação dessas suposições simplificadoras aos componentes espaciais da equação geodésica fornece
<math display="block">\frac{d^2 x^i}{d t^2} \approx - \Gamma^i_{0 0} </math>
onde dois fatores de ⁠{{Math|{{Sfrac|''dt''|''dτ''}}}} foram divididos. Isso será reduzido à sua contraparte newtoniana, desde que
<math display="block">\Phi_{,i} \approx \Gamma^i_{0 0} = \tfrac{1}{2} g^{i \alpha} \left(g_{\alpha 0 , 0} + g_{0 \alpha , 0} - g_{0 0 , \alpha}\right) \,</math>
Nossas suposições forçam {{Math|1=''α'' = ''i''}} e as derivadas de tempo (0) a serem zero. Então isso simplifica para
<math display="block">2 \Phi_{,i} \approx g^{i j} \left(- g_{0 0 , j}\right) \approx - g_{0 0 , i}</math>
que é satisfeito deixando
<math display="block">g_{0 0} \approx - c^2 - 2 \Phi \,</math>
Voltando-se para as equações de Einstein, precisamos apenas do componente de tempo e tempo
<math display="block">R_{0 0} = K \left(T_{0 0} - \tfrac{1}{2} T g_{0 0}\right)</math>
as suposições de baixa velocidade e campo estático implicam que
<math display="block">T_{\mu \nu} \approx \operatorname{diag} \left(T_{0 0}, 0, 0, 0\right) \approx \operatorname{diag} \left(\rho c^4, 0, 0, 0\right) \,</math>
Então
<math display="block">T = g^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta} \approx g^{0 0} T_{0 0} \approx -\frac{1}{c^2} \rho c^4 = - \rho c^2</math>
e assim
<math display="block">K \left(T_{0 0} - \tfrac{1}{2} T g_{0 0}\right) \approx K \left(\rho c^4 - \tfrac{1}{2} \left(- \rho c^2\right) \left(- c^2\right)\right) = \tfrac{1}{2} K \rho c^4 \,</math>
Da definição do tensor de Ricci
<math display="block">R_{0 0} = \Gamma^\rho_{0 0 , \rho} - \Gamma^\rho_{\rho 0 , 0}
+ \Gamma^\rho_{\rho \lambda} \Gamma^\lambda_{0 0}
- \Gamma^\rho_{0 \lambda} \Gamma^\lambda_{\rho 0}</math>
Nossas suposições simplificadoras fazem com que os quadrados de {{Mvar|Γ}} desapareçam junto com as derivadas temporais
<math display="block">R_{0 0} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \,</math>
Combinando as equações acima juntas
<math display="block">\Phi_{,i i} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \approx R_{0 0} = K \left(T_{0 0} - \tfrac{1}{2} T g_{0 0}\right) \approx \tfrac{1}{2} K \rho c^4 </math>
que se reduz à equação de campo newtoniana fornecida
<math display="block">\tfrac{1}{2} K \rho c^4 = 4 \pi G \rho \,</math>
que ocorrerá se
<math display="block">K = \frac{8 \pi G}{c^4} \,</math>
}}

==Equações de campo de vácuo==
[[Imagem:Swiss-Commemorative-Coin-1979b-CHF-5-obverse.png|thumb|Uma moeda comemorativa suíça de 1979, mostrando as equações de campo de vácuo com constante cosmológica zero (topo).]]
Se o tensor de energia e momento {{Mvar|T{{Subscrito|μν}}}} for zero na região em consideração, então as equações de campo também são chamadas de equações de campo de vácuo. Ao definir {{Math|1=''T{{Subscrito|μν}}'' = 0}} nas [[#Formulações equivalentes|equações de campo de traço reverso]], as equações de campo de vácuo, também conhecidas como "equações de vácuo de Einstein" (EVE), podem ser escritas como
<math display="block">R_{\mu \nu} = 0 \,</math>
No caso de constante cosmológica diferente de zero, as equações são
<math display="block">R_{\mu \nu} = \frac{\Lambda}{\frac{D}{2} -1} g_{\mu \nu} \,</math>
As soluções para as equações do campo de vácuo são chamadas de [[Solução do vácuo (relatividade geral)|soluções de vácuo]]. O [[espaço de Minkowski]] plano é o exemplo mais simples de uma solução de vácuo. Exemplos que não são triviais incluem a [[Métrica de Schwarzschild|solução de Schwarzschild]] e a [[Métrica de Kerr|solução de Kerr]].

[[Variedade (matemática)|Variedades]] com um [[Tensor de curvatura de Ricci|tensor de Ricci]] nulo, {{Math|1=''R{{Subscrito|μν}}'' = 0}}, são chamadas de <!--[[:en:Ricci-flat manifold]]-->variedades de Ricci-planas e variedades com um tensor de Ricci proporcional à métrica, de <!--[[:en:Einstein manifold]]-->variedades de Einstein.

==Equações de Einstein e Maxwell==
{{VT|Equações de Maxwell em espaço-tempo curvo}}
Se o tensor de energia e momento {{Mvar|T{{Subscrito|μν}}}} for o de um [[campo eletromagnético]] no [[Vácuo|espaço livre]], ou seja, se o [[Tensor eletromagnético de tensão–energia|tensor eletromagnético de tensão e energia]]
<math display="block">T^{\alpha \beta} = \, -\frac{1}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right) </math>
é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas de ''equações de Einstein e Maxwell'' (com [[constante cosmológica]] {{Math|Λ}}, considerada zero na teoria da relatividade convencional):
<math display="block">G^{\alpha \beta} + \Lambda g^{\alpha \beta} = \frac{\kappa}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right)</math>
Além disso, as <!--[[:en:Electromagnetic tensor#The field tensor and relativity]]-->equações covariantes de Maxwell também são aplicáveis no espaço livre:
<math display="block">\begin{align}
{F^{\alpha\beta}}_{;\beta} &= 0 \\
F_{[\alpha\beta;\gamma]}&=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta;\gamma} + F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta,\gamma} + F_{\beta\gamma,\alpha}+F_{\gamma\alpha,\beta}\right)= 0
\end{align}</math>
onde o ponto e vírgula representa uma [[derivada covariante]], e os colchetes denotam <!--[[:en:Exterior_algebra#Alternating_tensor_algebra]]-->antissimetrização. A primeira equação afirma que a 4-[[divergência]] da [[Forma diferencial|2-forma]] {{Mvar|F}} é zero, e a segunda que sua <!--[[:en:Exterior derivative]]-->derivada exterior é zero. A partir desta última, segue-se pelo <!--[[:en:Poincaré lemma]]-->lema de Poincaré que em um gráfico de coordenadas é possível introduzir um potencial de campo eletromagnético {{Mvar|A<sub>α</sub>}} tal que
<math display="block">F_{\alpha\beta} = A_{\alpha;\beta} - A_{\beta;\alpha} = A_{\alpha,\beta} - A_{\beta,\alpha}</math>
em que a vírgula denota uma derivada parcial. Isso é frequentemente tomado como equivalente à equação covariante de Maxwell da qual é derivada.<ref>{{Cite book|last=Brown|first=Harvey|url=https://books.google.com/books?id=T6IVyWiPQksC&q=Maxwell+and+potential+and+%22generally+covariant%22&pg=PA164| title=Physical Relativity|page=164|publisher=''Oxford University Press''|year=2005 | isbn=978-0-19-927583-0|language=en}}</ref> No entanto, existem soluções globais da equação que podem não ter um potencial definido globalmente.<ref>{{Cite journal |last1=Trautman |first1=Andrzej |s2cid=123364248 |author-link=Andrzej Trautman |title=''Solutions of the Maxwell and Yang–Mills equations associated with Hopf fibrings'' |year=1977 |journal=<!--[[:en:International Journal of Theoretical Physics]]-->International Journal of Theoretical Physics |volume=16 |issue=9 |pages=561–565 |doi=10.1007/BF01811088 |bibcode=1977IJTP...16..561T |language=en}}</ref>

==Soluções==
{{Artigo principal|Soluções das equações de campo de Einstein}}
As soluções das equações de campo de Einstein são <!--[[:en:Metric tensor (general relativity)]]-->métricas do espaço-tempo. Essas métricas descrevem a estrutura do espaço-tempo, incluindo o movimento inercial de objetos no espaço-tempo. Como as equações de campo não são lineares, elas nem sempre podem ser completamente resolvidas (ou seja, sem fazer aproximações). Por exemplo, não há solução completa conhecida para um espaço-tempo com dois corpos massivos nele (que é um modelo teórico de um sistema estelar binário, por exemplo). No entanto, aproximações são geralmente feitas nesses casos. Elas são comumente chamadas de <!--[[:en:Post-Newtonian approximation]]-->aproximações pós-newtonianas. Mesmo assim, há vários casos em que as equações de campo foram resolvidas completamente, e essas são chamadas de soluções exatas.<ref name="Stephani et al" />

O estudo de soluções exatas das equações de campo de Einstein é uma das atividades da [[Cosmologia física|cosmologia]]. Ele leva à previsão de [[Buraco negro|buracos negros]] e a diferentes modelos de evolução do [[universo]].

Também é possível descobrir novas soluções das equações de campo de Einstein por meio do método de quadros ortonormais, como pioneiro de Ellis e MacCallum.<ref>{{Cite journal|last1=Ellis|first1=G. F. R.|last2=MacCallum|first2=M.|s2cid=122577276|title=''A class of homogeneous cosmological models''|journal=Comm. Math. Phys.|volume=12|issue=2|date=1969|pages=108–141|bibcode=1969CMaPh..12..108E |doi=10.1007/BF01645908|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103841345|language=en}}</ref> Nessa abordagem, as equações de campo de Einstein são reduzidas a um conjunto de equações diferenciais ordinárias, que não são lineares e acopladas. Conforme discutido por Hsu e Wainwright,<ref>{{Cite journal|last1=Hsu|first1=L.|last2=Wainwright|first2=J|title=''Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions''|journal=Class. Quantum Grav.|volume=3|date=1986|issue=6|pages=1105–1124|doi=10.1088/0264-9381/3/6/011|bibcode=1986CQGra...3.1105H|s2cid=250907312|language=en}}</ref> soluções autossimilares para as equações de campo de Einstein são pontos fixos do [[sistema dinâmico]] resultante. Novas soluções foram descobertas usando esses métodos por LeBlanc<ref>{{Cite journal|last=LeBlanc|first=V. G.|title=''Asymptotic states of magnetic Bianchi I cosmologies''|date=1997|journal=Class. Quantum Grav.|volume=14|issue=8|page=2281 |doi=10.1088/0264-9381/14/8/025|bibcode=1997CQGra..14.2281L|s2cid=250876974|language=en}}</ref> e Kohli e Haslam.<ref>{{Cite journal|last1=Kohli |first1=Ikjyot Singh|last2=Haslam|first2=Michael C.|title=''Dynamical systems approach to a Bianchi type I viscous magnetohydrodynamic model''|journal=Phys. Rev. D|volume=88|page=063518|date=2013|issue=6|doi=10.1103/physrevd.88.063518| arxiv=1304.8042| bibcode=2013PhRvD..88f3518K|s2cid=119178273|language=en}}</ref>

==As equações de campo de Einstein linearizadas==
<!---->A não linearidade das equações de campo de Einstein dificulta encontrar soluções exatas. Uma maneira de resolver as equações de campo é fazer uma aproximação, ou seja, que longe da(s) fonte(s) de matéria gravitacional, o [[campo gravitacional]] é muito fraco e o [[espaço-tempo]] se aproxima do espaço de Minkowski. A métrica é então escrita como a soma da métrica de Minkowski e um termo que representa o desvio da métrica verdadeira da <!--[[:en:Minkowski_metric]]-->métrica de Minkowski, ignorando termos de maior potência. Este procedimento de linearização pode ser usado para investigar os fenômenos da [[Onda gravitacional|radiação gravitacional]].

==Forma polinomial==
Apesar das equações de campo de Einstein escritas conterem o inverso do tensor métrico, elas podem ser arranjadas em uma forma que contém o tensor métrico em forma polinomial e sem seu inverso. Primeiro, o determinante da métrica em 4 dimensões pode ser escrito
<math display="block">\det(g) = \tfrac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}</math>
usando o [[símbolo de Levi-Civita]]; e o inverso da métrica em 4 dimensões pode ser escrito como
<math display="block">g^{\alpha\kappa} = \frac{\tfrac{1}{6} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu} }{ \det(g)}\,</math>
Substituindo esta expressão do inverso da métrica nas equações e então multiplicando ambos os lados por uma potência adequada de {{Math|det(''g'')}} para eliminá-la do denominador resulta em equações polinomiais no tensor métrico e suas primeira e segunda derivadas. A [[Ação de Einstein–Hilbert|ação de Einstein e Hilbert]] da qual as equações são derivadas também pode ser escrita na forma polinomial por redefinições adequadas dos campos.<ref>{{Cite journal|last=Katanaev|first=M. O.|s2cid=6263993|year=2006|title=''Polynomial form of the Hilbert–Einstein action''|journal=Gen. Rel. Grav.|volume=38|issue=8|pages=1233–1240|arxiv=gr-qc/0507026|doi=10.1007/s10714-006-0310-5|bibcode=2006GReGr..38.1233K|language=en}}</ref>

==Ver também==
*[[Ação de Einstein–Hilbert|Ação de Einstein e Hilbert]]
*[[Buraco negro]]
*[[Cálculo de Ricci]]
*[[Equações de Friedmann]]
*[[Matemática da relatividade geral]]
*[[Princípio da equivalência]]
*[[Relatividade geral]]
*[[Relatividade numérica]]
*[[Singularidade gravitacional]]
*[[Soluções exatas em relatividade geral]]

{{referências}}
===Bibliografia===
Ver [[Relatividade geral#Leitura adicional|Recursos sobre relatividade geral]].
*{{Cite book|author1-link=Charles Misner|first1=Charles W.|last1=Misner|author2-link=Kip S. Thorne|first2=Kip S.|last2=Thorne |author3-link=John Archibald Wheeler|first3=John Archibald|last3=Wheeler|title=[[Gravitation (livro)|Gravitation]]|location=''San Francisco''|publisher=[[W. H. Freeman and Company|''W. H. Freeman'']]|year=1973|isbn=978-0-7167-0344-0|language=en}}
*{{Cite book|last=Weinberg|first=Steven|year=1972|title=Gravitation and Cosmology|isbn=0-471-92567-5|publisher=''John Wiley & Sons'' |author-link=Steven Weinberg|url-access=registro|url=https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0|language=en}}
*{{Cite book|last=Peacock|first=John A.|year=1999|title=Cosmological Physics|url=https://archive.org/details/cosmologicalphys0000peac |url-access=registro|isbn=978-0521410724|publisher=''Cambridge University Press''|author-link=John Andrew Peacock|language=en}}

==Ligações externas==
*{{Citar web|url=http://www.on.br/site_edu_dist_2006/pdf/modulo3/teoria_da_gravitacao_de_einstein.pdf|arquivo-url=https://web.archive.org/web/20070115204439/http://www.on.br/site_edu_dist_2006/pdf/modulo3/teoria_da_gravitacao_de_einstein.pdf|arquivo-data=2007-01-15|título=A Teoria da Gravitação de Einstein - As equações de campo de Einstein: o trabalho do físico relativista|publicado=Observatório Nacional|website=www.on.br|urlmorta=sim}}

{{Einstein}}
{{Campos de estudo da Física}}
{{Portal3|Física|Cosmologia}}
{{Controle de autoridade}}
{{DEFAULTSORT:Equações de campo de Einstein}}
[[Categoria:Albert Einstein]]
[[Categoria:Equações da física]]
[[Categoria:Equações de derivadas parciais]]
[[Categoria:Relatividade geral]]