Equações de campo de Einstein

Na teoria da relatividade geral, as equações de campo de Einstein (também conhecidas como equações de Einstein) relacionam a geometria do espaço-tempo à distribuição de matéria dentro dele.

As equações foram publicadas por Albert Einstein em 1915 na forma de uma equação tensorial que relacionava a curvatura do espaço-tempo local (expressa pelo tensor de Einstein) com a energia, momento e tensão locais dentro desse espaço-tempo (expressos pelo tensor de tensão e energia).Predefinição:Sfnp

Analogamente à maneira como os campos eletromagnéticos são relacionados à distribuição de cargas e correntes por meio das equações de Maxwell, as equações de campo de Einstein relacionam a geometria do espaço-tempo à distribuição de massa e energia, momento e estresse, ou seja, elas determinam o tensor métrico do espaço-tempo para um determinado arranjo de estresse, energia e momento no espaço-tempo. A relação entre o tensor métrico e o tensor de Einstein permite que as equações de campo de Einstein sejam escritas como um conjunto de equações diferenciais parciais que não são lineares quando usadas dessa maneira. As soluções das equações de campo de Einstein são os componentes do tensor métrico. As trajetórias inerciais de partículas e radiação (geodésicas) na geometria resultante são então calculadas usando a equação geodésica.

Além de implicar conservação de energia e momento local, as equações de campo de Einstein reduzem-se à lei da gravitação de Newton no limite de um campo gravitacional fraco e velocidades muito menores que a velocidade da luz.

Soluções exatas para as equações de campo de Einstein só podem ser encontradas sob suposições simplificadoras, como simetria. Classes especiais de soluções exatas são mais frequentemente estudadas, pois modelam muitos fenômenos gravitacionais, como buracos negros rotativos e o universo em expansão. Uma simplificação adicional é alcançada ao aproximar o espaço-tempo como tendo apenas pequenos desvios do espaço-tempo plano, levando às equações de campo de Einstein linearizadas. Essas equações são usadas para estudar fenômenos como ondas gravitacionais.

Forma matemática

Predefinição:Espaço-tempo As equações de campo de Einstein podem ser escritas na forma

$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

As equações de campo de Einstein na parede do Rijksmuseum Boerhaave em Leiden, Holanda

onde $G_{\mu \nu }$ é o tensor de Einstein, $g_{\mu \nu }$ é o tensor métrico, $T_{\mu \nu }$ é o tensor de tensão e energia, $\mathrm{\Lambda }$ é a constante cosmológica e $\kappa$ é a constante gravitacional de Einstein.

O tensor de Einstein é definido como

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$

onde $R_{\mu \nu }$ é o tensor de curvatura de Ricci, e $R$ é a curvatura escalar. Este é um tensor simétrico de segundo grau que depende apenas do tensor métrico e de suas primeira e segunda derivadas.

A constante gravitacional de Einstein é definida como

$\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}\approx 2,07665\times 10^{-43}{\text{N}}^{-1},$ ou $\text{m/J},$

onde Predefinição:Mvar é a constante newtoniana da gravitação e Predefinição:Mvar é a velocidade da luz no vácuo.

As equações de campo de Einstein podem, portanto, também ser escritas como

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

Em unidades padrão, cada termo à esquerda tem unidades de 1/comprimento².

A expressão à esquerda representa a curvatura do espaço-tempo conforme determinado pela métrica; a expressão à direita representa o conteúdo de tensão, energia e momento do espaço-tempo. As equações de campo de Einstein podem então ser interpretadas como um conjunto de equações que ditam como a tensão, a energia e o momento determinam a curvatura do espaço-tempo.

Essas equações, juntamente com a equação geodésica, que dita como a matéria em queda livre se move através do espaço-tempo, formam o núcleo da formulação matemática da relatividade geral.

As equações de campo de Einstein são uma equação tensorial que relaciona um conjunto de tensores simétricos 4 × 4. Cada tensor tem 10 componentes independentes. As quatro identidades de Bianchi reduzem o número de equações independentes de 10 para 6, deixando a métrica com quatro graus de liberdade de fixação de gauge, que correspondem à liberdade de escolher um sistema de coordenadas.

Embora as equações de campo de Einstein tenham sido inicialmente formuladas no contexto de uma teoria quadridimensional, alguns teóricos exploraram suas consequências em Predefinição:Mvar dimensões. As equações em contextos fora da relatividade geral ainda são chamadas de equações de campo de Einstein. As equações de campo do vácuo (obtidas quando Predefinição:Math é zero em todos os lugares) definem variedades de Einstein.

As equações são mais complexas do que parecem. Dada uma distribuição especificada de matéria e energia na forma de um tensor de tensão e energia, as equações de campo de Einstein são entendidas como equações para o tensor métrico $g_{\mu \nu }$, uma vez que tanto o tensor de Ricci quanto a curvatura escalar dependem da métrica de uma maneira que não é linear complicada. Quando totalmente escritas, as equações de campo de Einstein são um sistema de dez equações diferenciais parciais hiperbólicas-elípticas que não são lineares acopladas.

Convenção de sinais

A forma acima das equações de campo de Einstein é o padrão estabelecido por Misner, Thorne e Wheeler (MTW).Predefinição:Sfnp Os autores analisaram as convenções existentes e as classificaram de acordo com três sinais ([S1] [S2] [S3]): $$\begin{array}{cc}{g}_{\mu \nu }& =[S1]\times \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\\ {R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }& =[S2]\times ({\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \beta }^{\mu }{\mathrm{\Gamma }}_{\gamma \alpha }^{\sigma }-{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \gamma }^{\mu }{\mathrm{\Gamma }}_{\beta \alpha }^{\sigma })\\ G_{\mu \nu }& =[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{array}$$ O terceiro sinal acima está relacionado à escolha da convenção para o tensor de Ricci: $$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }$$ Com essas definições, Misner, Thorne e Wheeler se classificam como Predefinição:Math, enquanto Weinberg (1972)Predefinição:Sfnp é Predefinição:Math, Peebles (1980) e Efstathiou et al. (1990) são (− + +), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) e Peacock (1999) são Predefinição:Math.

Autores incluindo Einstein usaram um sinal diferente em sua definição para o tensor de Ricci, o que resulta no sinal da constante no lado direito sendo negativo: $$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }-\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }$$ O sinal do termo cosmológico mudaria em ambas as versões se a convenção de sinal métrico Predefinição:Math fosse usada em vez da convenção de sinal métrico de Misner, Thorne e Wheeler (MTW) Predefinição:Math adotada aqui.

Formulações equivalentes

Tomando o traço em relação à métrica de ambos os lados das equações de campo de Einstein obtém-se $$R-\frac{D}{2}R+D\mathrm{\Lambda }=\kappa T$$ onde Predefinição:Mvar é a dimensão do espaço-tempo. Resolvendo para Predefinição:Math e substituindo isso nas equações de campo de Einstein originais, obtém-se a seguinte forma "traço revertido" equivalente: $$R_{\mu \nu }-\frac{2}{D-2}\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-\frac{1}{D-2}T{g}_{\mu \nu })$$ Em Predefinição:Math dimensões isso se reduz a $$R_{\mu \nu }-\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu })$$ Reverter o traço novamente restauraria as equações de campo de Einstein originais. A forma de traço revertido pode ser mais conveniente em alguns casos (por exemplo, quando alguém está interessado no limite de campo fraco e pode substituir $g_{\mu \nu }$ na expressão à direita pela métrica de Minkowski sem perda significativa de precisão).

A constante cosmológica

Predefinição:Artigo principal Nas equações de campo de Einstein $$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$$ o termo contendo a constante cosmológica Predefinição:Math estava ausente da versão em que ele os publicou originalmente. Einstein então incluiu o termo com a constante cosmológica para permitir um universo que não está se expandindo ou se contraindo. Este esforço não teve sucesso porque:

• qualquer solução de estado estacionário desejada descrita por esta equação é instável, e
• observações de Edwin Hubble mostraram que nosso universo está se expandindo.

Einstein então abandonou a Predefinição:Math, comentando com George Gamow "que a introdução do termo cosmológico foi o maior erro de sua vida".

A inclusão deste termo não cria inconsistências. Por muitos anos, a constante cosmológica foi quase universalmente assumida como zero. Observações astronômicas mais recentes mostraram uma expansão acelerada do universo, e para explicar isso um valor positivo de Predefinição:Math é necessário. O efeito da constante cosmológica é insignificante na escala de uma galáxia ou menor.

Einstein pensou na constante cosmológica como um parâmetro independente, mas seu termo na equação de campo também pode ser movido algebricamente para o outro lado e incorporado como parte do tensor de tensão e energia: $$T_{\mu \nu }^{\text{(vác)}}=-\frac{\mathrm{\Lambda }}{\kappa }{g}_{\mu \nu }$$ Este tensor descreve um estado de vácuo com uma densidade de energia Predefinição:Math e pressão isotrópica Predefinição:Math que são constantes fixas e dadas por $${\rho }_{\text{vác}}=-p_{\text{vác}}=\frac{\mathrm{\Lambda }}{\kappa }$$ onde se assume que Predefinição:Math tem unidade SI mPredefinição:Sobrescrito e Predefinição:Math é definido como acima.

A existência de uma constante cosmológica é, portanto, equivalente à existência de uma energia de vácuo e uma pressão de sinal oposto. Isso levou os termos "constante cosmológica" e "energia de vácuo" a serem usados de forma intercambiável na relatividade geral.

Características

Conservação de energia e momento

A relatividade geral é consistente com a conservação local de energia e momento expressa como $${\mathrm{\nabla }}_{\beta }{T}^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$$ Predefinição:Math proof que expressa a conservação local de tensão e energia. Esta lei de conservação é um requisito físico. Com suas equações de campo, Einstein garantiu que a relatividade geral é consistente com esta condição de conservação.

Não linearidade

A não linearidade das equações de campo de Einstein distingue a relatividade geral de muitas outras teorias físicas fundamentais. Por exemplo, as equações de Maxwell do eletromagnetismo são lineares nos campos elétrico e magnético, e distribuições de carga e corrente (ou seja, a soma de duas soluções também é uma solução); outro exemplo é a equação de Schrödinger da mecânica quântica, que é linear na função de onda.

O princípio da correspondência

As equações de campo de Einstein reduzem-se à lei da gravidade de Newton usando tanto a aproximação de campo fraco quanto a aproximação de movimento lento. De fato, a constante Predefinição:Mvar que aparece nas equações de campo de Einstein é determinada fazendo essas duas aproximações. Predefinição:Math proof

Equações de campo de vácuo

Uma moeda comemorativa suíça de 1979, mostrando as equações de campo de vácuo com constante cosmológica zero (topo).

Se o tensor de energia e momento Predefinição:Mvar for zero na região em consideração, então as equações de campo também são chamadas de equações de campo de vácuo. Ao definir Predefinição:Math nas equações de campo de traço reverso, as equações de campo de vácuo, também conhecidas como "equações de vácuo de Einstein" (EVE), podem ser escritas como $$R_{\mu \nu }=0$$ No caso de constante cosmológica diferente de zero, as equações são $$R_{\mu \nu }=\frac{\mathrm{\Lambda }}{\frac{D}{2}-1}{g}_{\mu \nu }$$ As soluções para as equações do campo de vácuo são chamadas de soluções de vácuo. O espaço de Minkowski plano é o exemplo mais simples de uma solução de vácuo. Exemplos que não são triviais incluem a solução de Schwarzschild e a solução de Kerr.

Variedades com um tensor de Ricci nulo, Predefinição:Math, são chamadas de variedades de Ricci-planas e variedades com um tensor de Ricci proporcional à métrica, de variedades de Einstein.

Equações de Einstein e Maxwell

Predefinição:VT Se o tensor de energia e momento Predefinição:Mvar for o de um campo eletromagnético no espaço livre, ou seja, se o tensor eletromagnético de tensão e energia $$T^{\alpha \beta }=-\frac{1}{{\mu }_0}({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+\frac{1}{4}{g}^{\alpha \beta }{F}_{\psi \tau }{F}^{\psi \tau })$$ é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas de equações de Einstein e Maxwell (com constante cosmológica Predefinição:Math, considerada zero na teoria da relatividade convencional): $$G^{\alpha \beta }+\mathrm{\Lambda }{g}^{\alpha \beta }=\frac{\kappa }{{\mu }_0}({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+\frac{1}{4}{g}^{\alpha \beta }{F}_{\psi \tau }{F}^{\psi \tau })$$ Além disso, as equações covariantes de Maxwell também são aplicáveis no espaço livre: $$\begin{array}{cc}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }& =0\\ F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}& =\frac{1}{3}(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta })=\frac{1}{3}(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta })=0\end{array}$$ onde o ponto e vírgula representa uma derivada covariante, e os colchetes denotam antissimetrização. A primeira equação afirma que a 4-divergência da 2-forma Predefinição:Mvar é zero, e a segunda que sua derivada exterior é zero. A partir desta última, segue-se pelo lema de Poincaré que em um gráfico de coordenadas é possível introduzir um potencial de campo eletromagnético Predefinição:Mvar tal que $$F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }$$ em que a vírgula denota uma derivada parcial. Isso é frequentemente tomado como equivalente à equação covariante de Maxwell da qual é derivada. No entanto, existem soluções globais da equação que podem não ter um potencial definido globalmente.

Soluções

Predefinição:Artigo principal As soluções das equações de campo de Einstein são métricas do espaço-tempo. Essas métricas descrevem a estrutura do espaço-tempo, incluindo o movimento inercial de objetos no espaço-tempo. Como as equações de campo não são lineares, elas nem sempre podem ser completamente resolvidas (ou seja, sem fazer aproximações). Por exemplo, não há solução completa conhecida para um espaço-tempo com dois corpos massivos nele (que é um modelo teórico de um sistema estelar binário, por exemplo). No entanto, aproximações são geralmente feitas nesses casos. Elas são comumente chamadas de aproximações pós-newtonianas. Mesmo assim, há vários casos em que as equações de campo foram resolvidas completamente, e essas são chamadas de soluções exatas.

O estudo de soluções exatas das equações de campo de Einstein é uma das atividades da cosmologia. Ele leva à previsão de buracos negros e a diferentes modelos de evolução do universo.

Também é possível descobrir novas soluções das equações de campo de Einstein por meio do método de quadros ortonormais, como pioneiro de Ellis e MacCallum. Nessa abordagem, as equações de campo de Einstein são reduzidas a um conjunto de equações diferenciais ordinárias, que não são lineares e acopladas. Conforme discutido por Hsu e Wainwright, soluções autossimilares para as equações de campo de Einstein são pontos fixos do sistema dinâmico resultante. Novas soluções foram descobertas usando esses métodos por LeBlanc e Kohli e Haslam.

As equações de campo de Einstein linearizadas

A não linearidade das equações de campo de Einstein dificulta encontrar soluções exatas. Uma maneira de resolver as equações de campo é fazer uma aproximação, ou seja, que longe da(s) fonte(s) de matéria gravitacional, o campo gravitacional é muito fraco e o espaço-tempo se aproxima do espaço de Minkowski. A métrica é então escrita como a soma da métrica de Minkowski e um termo que representa o desvio da métrica verdadeira da métrica de Minkowski, ignorando termos de maior potência. Este procedimento de linearização pode ser usado para investigar os fenômenos da radiação gravitacional.

Forma polinomial

Apesar das equações de campo de Einstein escritas conterem o inverso do tensor métrico, elas podem ser arranjadas em uma forma que contém o tensor métrico em forma polinomial e sem seu inverso. Primeiro, o determinante da métrica em 4 dimensões pode ser escrito $$\det (g)=\frac{1}{24}{\epsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }{\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }{g}_{\alpha \kappa }{g}_{\beta \lambda }{g}_{\gamma \mu }{g}_{\delta \nu }$$ usando o símbolo de Levi-Civita; e o inverso da métrica em 4 dimensões pode ser escrito como $$g^{\alpha \kappa }=\frac{\frac{1}{6}{\epsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }{\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }{g}_{\beta \lambda }{g}_{\gamma \mu }{g}_{\delta \nu }}{\det (g)}$$ Substituindo esta expressão do inverso da métrica nas equações e então multiplicando ambos os lados por uma potência adequada de Predefinição:Math para eliminá-la do denominador resulta em equações polinomiais no tensor métrico e suas primeira e segunda derivadas. A ação de Einstein e Hilbert da qual as equações são derivadas também pode ser escrita na forma polinomial por redefinições adequadas dos campos.

Ver também

• Ação de Einstein e Hilbert
• Buraco negro
• Cálculo de Ricci
• Equações de Friedmann
• Matemática da relatividade geral
• Princípio da equivalência
• Relatividade geral
• Relatividade numérica
• Singularidade gravitacional
• Soluções exatas em relatividade geral

Bibliografia

Ver Recursos sobre relatividade geral.

• Predefinição:Cite book
• Predefinição:Cite book
• Predefinição:Cite book

Ligações externas

• Predefinição:Citar web