Tensor simétrico

Predefinição:Mais notas Em matemática, um tensor simétrico é um tensor que é invariante sob uma permutação de seus argumentos de vetor. Tensores simétricos de rank dois são apenas matrizes simétricas, e então são algumas vezes chamados formas quadráticas. Em termos mais abstratos, tensores simétricos de rank geral são isomórficos a formas algébricas; isto é, polinômios homogêneos e tensores simétricos são a mesma coisa. Um conceito relacionado é o tensor antisimétrico ou forma alternativa; entretanto, tensores anti-simétricos tem propriedades que são muito diferentes dos tensores simétricos, e dividem pouco em comum. Tensores simétricos ocorrem frequentemente em engenharia, física e matemática.

Definição

Um tensor de segunda ordem é apenas uma matriz. Uma matrix A , com componentes A_ij, é dito ser simétrico se

A_ij = A_ji

para todo i, j. Usando notação de vetores, uma matriz é simétrica se, para vetores v e w, uma tem

$A(v,w)=A(w,v)$

Usando notação de tensores, dados vetores base $e_i$, seus duais $e_i^{*}$, pode-se escrever uma matriz em termos do tensor produto da base dual como

$A=\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}{e}_i^{*}\otimes e_j^{*}$

e assim, para uma matriz simétrica, tem-se

$A(v\otimes w)=A(w\otimes v)$

Mais genericamente, os componente de um tensor simétrico de ordem m satisfazem

$A_{i_1{i}_2\cdots i_m}=A_{i_{\pi (1)}{i}_{\pi (2)}\cdots i_{\pi (m)}}$

para qualquer permutação $\pi$. Equivalentemente, pode-se escrever

$A(v_1,v_2,\cdots ,v_m)=A(v_{\pi (1)},v_{\pi (2)},\cdots ,v_{\pi (m)})$

para vetores $v_1,v_2,\cdots$.

Polinômios homogêneos

O dual de ${\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^r(V)$ é isomórfico ao espaço de polinômios homogêneos de grau r sobre V.

Sendo $f\in {\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^2(V)$. Então $f=f^{ij}{e}_i\odot e_j$ e seu dual é $f^{*}=f_{ij}{e}^i\odot e^j$. O mapa $({\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^r(V){)}^{*}={\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^r(V^{*})\to {\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{y}}_r(V):f^{*}\mapsto (v\mapsto f^{*}(v,v,\dots ,v))$ é um isomorfismo de álgebras.

Exemplos

Muitas propriedades dos materiais e campos usados em física e engenharia podem ser representados como campos de tensores simétricos; por exemplo , tensão mecânica, tensor tensão, e conductividade anisotrópica. Tensores de ordem 2 podem ser diagonalizados por escolhendo um quadro ortogonal de valores próprios. Estes valores próprios são os eixos principais do tensor, e geralmente têm um importante significado físico. Por exemplo, os eixos principais do momento de inércia definem o elipsoide que representa tal momento.

Elipsoides são exemplos de variedades algébricas; e então, para ordem geral, tensores simétricos, a pretexto de polinômios homogêneos, são usados para definir variedades projetivas, e são frequentemente estudados como tais.

Propriedades

Qualquer tensor de ordem dois $A_{ij}$ pode ser representado como a soma de um tensor simétrico e um tensor antisimétrico

$A_{ij}=\frac{1}{2}(A_{ij}+A_{ji})+\frac{1}{2}(A_{ij}-A_{ji})$

É facilmente verificado que o primeiro termo, denominado $A_{(ij)}$ não sofre mudança quando índices são intercambiados

$A_{(ij)}=\frac{1}{2}(A_{ij}+A_{ji})=A_{(ji)}$

Quando o segundo termo, $A_{[ij]}$, recebe um sinal menos.

$A_{[ij]}=\frac{1}{2}(A_{ij}-A_{ji})=-A_{[ji]}$

Para um tensor de terceira ordem, as partes simétrica e anti-simétrica são

$A_{(ijk)}=\frac{1}{3!}(A_{ijk}+A_{ikj}+A_{kij}+A_{kji}+A_{jki}+A_{jik})$

$A_{[ijk]}=\frac{1}{3!}(A_{ijk}-A_{ikj}+A_{kij}-A_{kji}+A_{jki}-A_{jik})$

Então para um tensor geral de n-ésima ordem, as partes simétrica e anti-simétrica são dadas por

$T_{({\mu }_1{\mu }_2{\mu }_3\cdots {\mu }_n)}=\frac{1}{n!}\sum _{j=0}^{n!-1}(\text{permuts de }{\mu }_1\cdots {\mu }_n)$ *

$T_{[{\mu }_1{\mu }_2{\mu }_3\cdots {\mu }_n]}=\frac{1}{n!}\sum _{j=0}^{n!-1}(-1{)}^j(\text{permuts de }{\mu }_1\cdots {\mu }_n)$

• permuts significando permutações)

O espaço de tensores simétricos de ordem m definido sobre um espaço vetorial V é frequentemente denominado por $S^m(V)$ or ${\mathrm{Sym}}^m(V)$. Este espaço tem dimensão

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{\mathrm{Sym}}^m(V)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m})$

onde n é a dimensão de V and $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ is the binomial coefficient.

Ver também

• Matriz transposta
• Polinômios simétricos
• Polinômial de Schur
• Simetrizante de Young

Ligações externas

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