Cálculo de Ricci

Em matemática, o cálculo de Ricci constitui as regras da notação de índice e manipulação de tensores e campos tensoriais. Também é o nome moderno para o que costumava ser chamado de cálculo diferencial absoluto (a base do cálculo tensorial), desenvolvido por Gregorio Ricci-Curbastro em 1887-1896, e posteriormente popularizado em um artigo escrito com seu pupilo Tullio Levi-Civita em 1900. Jan Arnoldus Schouten desenvolveu a notação moderna e o formalismo para esta estrutura matemática, e fez contribuições com a teoria, durante suas aplicações à relatividade geral e geometria diferencial no início do século XX.

Partes simétricas e anti-simétricas

Parte simétrica do tensor

Parênteses, ( ), em torno de vários índices denota a parte simetrizada do tensor. Ao simetrizar índices p usando σ para variar sobre as permutações dos números 1 a p, obtém-se uma soma sobre as permutações desses índices Predefinição:Math por Predefinição:Math, e então divide pelo número de permutações:

$A_{({\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_p){\alpha }_{p+1}\cdots {\alpha }_q}=\frac{1}{p!}\sum _{\sigma }{A}_{{\alpha }_{\sigma (1)}\cdots {\alpha }_{\sigma (p)}{\alpha }_{p+1}\cdots {\alpha }_q}.$

Por exemplo, dois índices de simetrização significam que há dois índices para permutar e somar:

$A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }=\frac{1}{2!}(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots })$

enquanto para três índices de simetrização, existem três índices para somar e permutar:

$A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }=\frac{1}{3!}(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots })$

A simetrização é distributiva em relação à adição;

$A_{(\alpha }(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots })=A_{(\alpha }{B}_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }{C}_{\beta )\gamma \cdots }$

Os índices não fazem parte da simetrização quando são:

• não no mesmo nível, por exemplo;

  $A_{(\alpha }{B}^{\beta }{}_{\gamma )}=\frac{1}{2!}(A_{\alpha }{B}^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }{B}^{\beta }{}_{\alpha })$

• entre parênteses e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modificando o exemplo anterior;

  $A_{(\alpha }{B}_{|\beta |}{}_{\gamma )}=\frac{1}{2!}(A_{\alpha }{B}_{\beta \gamma }+A_{\gamma }{B}_{\beta \alpha })$

Aqui os índices α e γ são simetrizados, β não.

Parte anti-simétrica ou alternada do tensor

Colchetes, [ ], em torno de vários índices denota a parte anti-simetrizada do tensor. Para índices p anti-simetrizantes - a soma das permutações desses índices Predefinição:Math multiplicado pela assinatura da permutação Predefinição:Math é tomado, então dividido pelo número de permutações:

$\begin{array}{cc}& A_{[{\alpha }_1\cdots {\alpha }_p]{\alpha }_{p+1}\cdots {\alpha }_q}\\ =& \frac{1}{p!}\sum _{\sigma }\mathrm{sgn}(\sigma )A_{{\alpha }_{\sigma (1)}\cdots {\alpha }_{\sigma (p)}{\alpha }_{p+1}\cdots {\alpha }_q}\\ =& {\delta }_{{\alpha }_1\cdots {\alpha }_p}^{{\beta }_1\dots {\beta }_p}{A}_{{\beta }_1\cdots {\beta }_p{\alpha }_{p+1}\cdots {\alpha }_q}\\ \end{array}$

onde Predefinição:Math é o delta de Kronecker generalizado de grau 2p, com escala conforme definido abaixo.

Por exemplo, dois índices anti-simetrizantes implicam:

$A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }=\frac{1}{2!}(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots })$

enquanto três índices anti-simetrizantes implicam:

$A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }=\frac{1}{3!}(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots })$

como para um exemplo mais específico, se F representa o tensor eletromagnético, então a equação

$0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=\frac{1}{3!}(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha })$

representa a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de indução de Faraday.

Como antes, a anti-simetrização é distributiva em relação à adição;

$A_{[\alpha }(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots })=A_{[\alpha }{B}_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }{C}_{\beta ]\gamma \cdots }$

Tal como acontece com a simetrização, os índices não são anti-simetrizados quando são:

• não no mesmo nível, por exemplo;

  $A_{[\alpha }{B}^{\beta }{}_{\gamma ]}=\frac{1}{2!}(A_{\alpha }{B}^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }{B}^{\beta }{}_{\alpha })$

• dentro dos colchetes e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modifica o exemplo anterior;

  $A_{[\alpha }{B}_{|\beta |}{}_{\gamma ]}=\frac{1}{2!}(A_{\alpha }{B}_{\beta \gamma }-A_{\gamma }{B}_{\beta \alpha })$

  Aqui os índices α e γ são anti-simetrizados, β não.

Soma das partes simétricas e antissimétricas

Qualquer tensor pode ser escrito como a soma de suas partes simétricas e antissimétricas em dois índices:

$A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }$

como pode ser visto adicionando as expressões acima para Predefinição:Math e Predefinição:Math. Isso não se aplica a outros índices.Predefinição:Referências