Mostrar código-fonte de Espaço compacto

Em [[matemática]], mais especificamente em [[topologia geral]], o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de [[Émile Borel]] e [[Henri Lebesgue]] e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e [[espaços métricos]]) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por [[sequencialmente compacto]], [[enumeravelmente compacto]] (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, [[Kuratowski]], [[Sierpiński]] e [[Stanisław Saks|Saks]] - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje ([[Alexandrof]] e [[Urysohn]] - 1923).

== Definição e Equivalências ==

Um [[Recobrimento (topologia)|recobrimento]] para um conjunto <math>X</math> é uma coleção <math>\mathcal{R}</math> de subconjuntos de <math>X</math> tal que <math>\bigcup \mathcal{R} = X</math>. Um subrecobrimento de <math>\mathcal{R}</math> é uma coleção <math>\mathcal{S}\subseteq\mathcal{R}</math> que também é um recobrimento de <math>X</math>, i.e. <math>\bigcup\mathcal{S} = X</math>.

Diz-se que um espaço topológico <math>X</math> é compacto se possuir a [[ Espaço de Hausdorff | propriedade de Hausdorff]] e qualquer recobrimento por abertos de <math>X</math> admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a [[Espaço de Hausdorff| Espaço Hausdorff]] é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.

Uma família <math>\mathcal{F}</math> de subconjuntos de um conjunto <math>X</math> possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, '''p.i.f.''') se, para qualquer <math>\mathcal{F}_0\subseteq\mathcal{F}</math> finita, verificar <math>\bigcap\mathcal{F}_0 \neq\emptyset </math>. É passivo de verificação que, um espaço topológico <math>X</math> é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de <math>X</math> com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.

Uma base para um espaço topológico <math>X</math> é uma coleção de abertos <math>\mathcal{A}</math> de <math>X</math> tal que, para qualquer aberto <math>U\subseteq X</math>, existe <math>\mathcal{B}_U\subseteq \mathcal{B}</math> tal que <math>U = \bigcup \mathcal{B}_U</math>. Uma subbase para <math>X</math> é uma coleção <math>\mathcal{S}</math> não-vazia de abertos desse espaço tal que

:: <math>\left\{ \bigcap \mathcal{S}_0 : \mathcal{S}_0\subseteq \mathcal{S} \text{ e } \mathcal{S}_0\text{ é finita e não-vazia}\right\}</math>
é uma base de <math>X</math>. É um resultado devido a [[James Waddell Alexander II]] que um espaço topológico <math>X</math> é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer recobrimento de <math>X</math> por abertos de uma subbase desse espaço admitir um subrecobrimento finito.

Se <math>X</math> é um espaço topológico, diz-se que um ponto <math>x\in X</math> é um ponto de acumulação total de um subconjunto <math>A\subseteq X</math> se, dada qualquer vizinhança <math>U\subseteq X</math> de <math>x</math>, <math>|A\cap U| = |A|</math>. É um resultado devido a [[Vietoris]], [[Kuratowski]], [[Sierpinski]], [[Alexandroff]] e [[Urysohn]] que as seguintes afirmações são equivalentes
* <math>X</math> é compacto;
* Qualquer subconjunto infinito de <math>X</math> possui um ponto de acumulação completo;
* Dada qualquer sequência transfinita <math>\subseteq</math>-decrescente <math>\langle F_\lambda \rangle_{\lambda <\alpha}</math> de fechados não-vazios de <math>X</math>, a intersecção <math>\bigcap_{\lambda < \alpha} F_\lambda</math> é não-vazia.

É um resultado devido a [[Kuratowski]], [[Mrówka]] e [[Bourbaki]] que as seguintes afirmações, acerca do espaço <math>X</math>, são equivalentes:
* X é (quase-)compacto;
* Para qualquer espaço <math>Y</math> a projeção <math>p: X\times Y \to Y</math> é fechada;
* Para qualquer [[espaço normal]] <math>Y </math> a projeção <math>p: X\times Y \to Y</math> é fechada.

Em termos de convergência em um espaço Hausdorff <math>X</math>, é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:

* <math>X</math> é (quase-)compacto;
* Qualquer [[filtro]] em <math>X</math> admitir um ponto de acumulação;
* Qualquer [[rede]] em <math>X</math> admitir um ponto de acumulação.

== Exemplos ==

* Qualquer espaço finito é quase-compacto;
* Qualquer espaço carregando topologia cofinita é quase-compacto.
* A topologia de ordem direita e a topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado são (quase-)compactas.
* Qualquer conjunto [[conjunto fechado|fechado]] e [[conjunto limitado|limitado]] de um espaço euclididano (<math>\R^n</math>) é compacto.{{Sfn|Lima|1981|p=43}}
* Qualquer compacto da [[Reta de Sorgenfrey]] é enumerável.

== Propriedades ==
* Qualquer fechado em espaço quase-compacto é quase-compacto;
* Qualquer compacto é um [[espaço normal]];
* Todo subspaço compacto de um espaço Hausdorff é fechado;
* Uma imagem contínua de espaços compactos é compacto.
* Toda bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço Hausdorff é um homeomorfismo;
* A união finita de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
* (Teorema de Tychonoff) O produto qualquer de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
* Toda função contínua de <math>\R^n</math> em <math>\R^m</math> definida num compacto é [[continuidade uniforme|uniformemente contínua]].{{Sfn|Lima|1981|p=46|loc=Teorema 21}}

== Ver também ==
* [[Sequencialmente compacto | Espaço sequencialmente compacto]]
* [[Enumeravelmente Compacto| Espaço enumeravelmente compacto]]
* [[Paracompacidade]]
* [[Espaço de Lindelöf]]
* [[Compactificação]]

{{referências}}

== Bibliografia ==
* {{Citar livro|título=Curso de análise, Volume 2|ultimo=Lima|primeiro=Elon Lages|autorlink=Elon Lages Lima|data=1981|outros=Instituto de Matemática Pura e Aplicada|local=Rio de Janeiro|editora=Instituto de Matemática Pura e Aplicada|ref=harv}}

* Ryszard Engelking, ''General Topology'', Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.

* [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]; ''Elements of Mathematics: General Topology'', Addison–Wesley (1966).

* {{citar livro
 |primeiro = John L.
 |último = Kelley
 |autorlink = John L. Kelley
 |ano= 1975
 |título= General Topology
 |publicado= [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | isbn = 0-387-90125-6
}}

* {{citation|último1 =Munkres |primeiro1 =James R. |autorlink1 =James R. Munkres |título=Topology |publicado=[[Prentice Hall, Incorporated]] |local= | isbn=9780131816299 |ano=2000}}.
*{{citation|último1 =Alexandrov |primeiro1 =Pavel |authorlink1=Pavel Alexandrov |último2 =Urysohn |primeiro2 =Pavel |authorlink2=Pavel Urysohn |título=Mémoire sur les espaces topologiques compacts |periódico=Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the section of mathematical sciences |volume=14 |ano=1929}}.
*{{citation|último1 =Arkhangel'skii |primeiro1 =A.V. |último2 =Fedorchuk |primeiro2 =V.V. |contribuição=The basic concepts and constructions of general topology |editor1=Arkhangel'skii, A.V. |editor2=Pontrjagin, L.S. |título=General topology I |publicado=Springer |ano=1990 |isbn=978-0-387-18178-3 |series=Encyclopedia of the Mathematical Sciences |volume=17}}.
*{{springer|id=C/c023530|title=Compact space|first=A.V.|last=Arkhangel'skii}}.
*{{citation|primeiro =Bernard |último =Bolzano |autorlink =Bernard Bolzano |título=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege |ano=1817 |url=http://books.google.com/?id=EoW4AAAAIAAJ&dq=%22Rein%20analytischer%20Beweis%20des%20Lehrsatzes%22&pg=PA2-IA3#v=onepage&q= |publicado=Wilhelm Engelmann}} (''Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation'').
*{{citation|último =Borel |primeiro =Émile |autorlink =Émile Borel |título=Sur quelques points de la théorie des fonctions |periódico=[[Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure]]|series= 3 |volume=12 |ano=1895 |páginas=9–55 |url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=ASENS_1895_3_12__9_0 |jfm=26.0429.03 }}
*{{citation|último1 =Boyer |primeiro1 =Carl B. |autorlink1 =Carl Benjamin Boyer |título=The history of the calculus and its conceptual development |publicado=[[Dover Publications]] |local=New York | mr=0124178 |ano=1959}}.
* {{citation|primeiro =Cesare |último =Arzelà |autorlink =Cesare Arzelà |título=Sulle funzioni di linee |periódico=Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. |volume=5 |número=5 |páginas=55–74 |ano=1895}}.
* {{citation|primeiro =Cesare |último =Arzelà |autorlink =Cesare Arzelà |título=Un'osservazione intorno alle serie di funzioni |periódico=Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna |páginas=142–159 |ano=1882–1883}}.
* {{citation|primeiro =G. |último =Ascoli |autorlink =Giulio Ascoli |título=Le curve limiti di una varietà data di curve |periódico=Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. |volume=18 |número=3 |páginas=521–586 |ano=1883–1884}}.
*{{citation|primeiro =Maurice |último =Fréchet |autorlink =Maurice Fréchet |título=Sur quelques points du calcul fonctionnel |ano=1906 |periódico= [[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] |volume=22 |doi=10.1007/BF03018603 |páginas=1–72 |número=1}}.
*{{citation|último1 =Gillman|primeiro1 =Leonard|último2 =Jerison|primeiro2 =Meyer|título=Rings of continuous functions|publicado=Springer-Verlag|ano=1976}}.
*{{citation|último =Kelley |primeiro =John |título=General topology |publicado=Springer-Verlag |ano=1955 |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=27}}.
*{{citation|último1 =Kline |primeiro1 =Morris |autorlink1 =Morris Kline |título=Mathematical thought from ancient to modern times |ano=1972 |publicado=[[Oxford University Press]] |edição=3rd | isbn=978-0-19-506136-9 |data-publicacao=1990}}.
*{{citation|primeiro =Henri |último =Lebesgue |título=Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives |url=http://books.google.com/?id=VfUKAAAAYAAJ&dq=%22Lebesgue%22%20%22Le%C3%A7ons%20sur%20l'int%C3%A9gration%20et%20la%20recherche%20des%20fonctions%20...%22&pg=PA1#v=onepage&q= |ano=1904 |publicado=Gauthier-Villars}}.
*{{citation|último1 =Robinson |primeiro1 =Abraham |autorlink1 =Abraham Robinson |título=Non-standard analysis |publicado=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-04490-3 | id={{MathSciNet | id = 0205854}} |ano=1996}}.
*{{citation|primeiro =C.T. |último = Scarborough |primeiro2 = A.H. |último2 = Stone |título= Products of nearly compact spaces |periódico= Transactions of the American Mathematical Society |volume= 124 |ano=1966 |páginas= 131–147 |doi=10.2307/1994440 |número=1 |publicado=Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 124, No. 1 |jstor=1994440}}.
*{{citation|último1 =Steen |primeiro1 =Lynn Arthur |autorlink1 =Lynn Arthur Steen |último2 =Seebach |primeiro2 =J. Arthur Jr. |autorlink2 =J. Arthur Seebach, Jr. |título=[[Counterexamples in Topology]] |anooriginal=1978 |publicado=[[Springer-Verlag]] |local=Berlin, New York |edição=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446 |ano=1995}}

== Ligações externas ==
* {{planetmathref|id=1233|title=Countably compact}}
* {{citar arXiv|último =Sundström |primeiro =Manya Raman | eprint=1006.4131v1 |título=A pedagogical history of compactness |class=math.HO |ano=2010 }}
{{esboço-matemática}}

{{DEFAULTSORT:Espaco Compacto}}
[[Categoria:Topologia (matemática)]]