Mostrar código-fonte de Evoluta

[[Imagem:Evolute_of_an_ellipse.gif|right|thumb|Uma [[elipse]] (azul) e sua evoluta (verde). ]]

[[Imagem:Evolute1.gif||right|thumb|A evoluta de uma curva (neste caso, uma elipse) é o envelope de suas normais.]]

Na [[geometria diferencial]] de curvas, a '''evoluta''' de uma [[curva]] é o [[lugar geométrico]] de todos suas circunferências osculatrizes (centros de [[curvatura]]).<ref>{{citar web|título=Circle Evolute - Wolfram Mathworld|url=http://mathworld.wolfram.com/CircleEvolute.html|acessodata=5 de dezembro de 2012}}</ref>[[File:Evolute-parab-1-e.svg|thumb|A '''evoluta''' de uma [[curva]] (parábola azul) é o lugar geométrico de todos os seus centros de curvatura (vermelho).]]Isso significa que, quando o centro de curvatura de cada ponto de uma curva é desenhado, a forma resultante será a evoluta dessa curva. A evoluta de um círculo é, portanto, um único ponto em seu centro.<ref>{{MathWorld|title=Circle Evolute|id=CircleEvolute}}</ref> Equivalente a isso, uma evoluta é o invólucro das [[perpendicular|normais]] a uma curva.

A evoluta de uma curva, uma superfície ou, mais geralmente, de uma [[subvariedade]] é a [[Cáustica (óptica)|cáustica]] do mapa normal. Seja {{mvar|M}} uma subvariedade regular e suave em {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. Para cada ponto {{mvar|p}} em {{mvar|M}} e cada vetor {{math|'''v'''}}, baseado em {{mvar|p}} e normal a {{mvar|M}}, associamos o ponto {{math|''p'' + '''v'''}}. Isso define um mapa lagrangiano, chamado de mapa normal. A cáustica do mapa normal é a evoluta de {{mvar|M}}.<ref name="Arnold">{{Cite book|first=V. I.| last=Arnold | first2=A. N.| last2=Varchenko |first3=S. M. |last3=Gusein-Zade|title=The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1|publisher=[[Birkhäuser]] |year=1985 |isbn=0-8176-3187-9}}</ref>

As evolutas estão intimamente ligadas às [[involuta]]s: uma curva é a evoluta de qualquer uma de suas involutas.

== História ==
Apollonius (Cerca de 200&nbsp;a.C.) discutiu evolutas no Livro V de sua obra ''Cônicas''. Contudo, [[Christiaan Huygens|Huygens]] é, por vezes, creditado como o primeiro a estudá-las (1673). Huygens formulou sua teoria das evolutas por volta de 1659 para ajudar a resolver o problema de encontrar a curva tautócrona, o que, por sua vez, o auxiliou na construção de um [[pêndulo]] isócrono. Isso ocorreu porque a curva tautócrona é uma [[ciclóide|cicloide]], e a cicloide tem a propriedade única de que sua evoluta também é uma cicloide. A teoria das evolutas, na verdade, permitiu a Huygens alcançar muitos resultados que mais tarde seriam encontrados utilizando cálculo.<ref>{{cite book|last=Yoder|first=Joella G.|author-link=Joella Yoder |title=Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature|publisher=[[Cambridge University Press]]|date=2004}}</ref>

== Evoluta de uma curva paramétrica ==
Se <math>\vec x= \vec c(t),\; t\in [t_1, t_2]</math> é a representação paramétrica de uma curva regular no plano com curvatura diferente de 0 e <math>\rho(t)</math> seu [[raio de curvatura]] e <math>\vec n(t)</math> a unidade normal apontando para o centro de curvatura, então
<math display="block">\vec E(t) = \vec c(t) + \rho (t) \vec n(t)</math>
descreve a '''evoluta''' da curva dada.

Para <math>\vec c(t)=(x(t),y(t))^\mathsf{T}</math> e <math>\vec E=(X,Y)^\mathsf{T}</math>, obtém-se
<math display="block"> X(t) = x(t) - \frac{y'(t) \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)}</math> e
<math display="block"> Y(t) = y(t) + \frac{x'(t) \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)}.</math>

== Propriedades da evoluta ==
[[File:Evolute-parab-2-e.svg|thumb|A normal no ponto P é a tangente no centro de curvatura C.]]
Para derivar propriedades de uma curva regular, é vantajoso usar o [[comprimento do arco]] <math>s</math> como parâmetro da curva dada, por conta de <math display="inline">\left|\vec c'\right| = 1</math> e <math display="inline">\vec n' = -\vec c'/\rho</math> (ver Fórmulas de Frenet–Serret). Assim, o vetor tangente da evoluta <math display="inline">\vec E=\vec c +\rho \vec n </math> é:
<math display="block">\vec E' = \vec c' +\rho'\vec n + \rho\vec n' = \rho'\vec n\ .</math>
A partir dessa equação, obtém-se as seguintes propriedades da evoluta:
* Em pontos com <math>\rho' = 0</math>, a evoluta não é ''regular''. Ou seja: em pontos de curvatura máxima ou mínima ([[Vértice|vértices]] da curva dada), a evoluta possui ''cúspides''. (Ver os diagramas das evolutas da parábola, da elipse, da cicloide e da nefroide.)
* Para qualquer arco da evoluta que não inclua uma [[cúspide]], o comprimento do arco é igual à diferença entre os raios de curvatura nos pontos extremos. Esse fato leva a uma prova fácil do teorema de Tait–Kneser sobre aninhamento de círculos osculadores.<ref>{{cite journal|last1=Ghys| first1=Étienne|author1-link=Étienne Ghys| last2=Tabachnikov|first2=Sergei|author2-link=Sergei Tabachnikov| last3=Timorin| first3=Vladlen| arxiv=1207.5662| doi=10.1007/s00283-012-9336-6| issue=1| journal=The Mathematical Intelligencer| mr=3041992|pages=61–66| title=Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem| volume=35|year=2013}}</ref>
* As normais da curva dada em pontos de curvatura diferente de zero são tangentes à evoluta, e as normais da curva em pontos de curvatura zero são assíntotas da evoluta. Portanto: a evoluta é o ''invólucro das normais'' da curva dada.
* Em trechos da curva com <math>\rho' > 0</math> ou <math>\rho' < 0</math>, a curva é uma ''involuta'' de sua evoluta.

[[File:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|upright=1.2|thumb|Cicloide (azul), seu círculo osculador (vermelho) e sua evoluta (verde).]]

[[File:Nephroide-evolute-e.svg|upright=1.2|thumb|A evoluta da nefroide grande (azul) é a nefroide pequena (vermelha).]]

== Evolutas de algumas curvas ==
A evoluta
* de uma [[parábola]] é uma parábola semicúbica (ver acima),
* de uma [[elipse]] é uma asteroide não simétrica (ver acima),
* de uma linha é um ponto,
* de uma nefroide é uma nefroide (metade do tamanho, veja o diagrama),
* de uma [[astroide]] é uma astroide (duas vezes maior),
* de uma [[cardioide]] é uma cardioide (um terço do tamanho),
* de um [[círculo]] é o seu centro,
* de uma deltoide é uma deltoide (três vezes maior),
* de uma [[cicloide]] é uma cicloide congruente,
* de uma [[espiral logarítmica]] é a mesma espiral logarítmica,
* de uma [[tractriz]] é uma catenária.

== Curva radial ==
Uma curva com uma definição semelhante é a '''radial''' de uma dada curva. Para cada ponto na curva, tome o vetor do ponto até o centro de curvatura e o traduza para que comece na origem. Em seguida, o lugar geométrico dos pontos no final de tais vetores é chamado de radial da curva. A equação para a radial é obtida removendo-se os termos {{mvar|x}} e {{mvar|y}} da equação da evoluta. Isso produz:
<math display="block">(X, Y)= \left(-y'\frac{{x'}^2+{y'}^2}{x'y''-x''y'}\; ,\; x'\frac{{x'}^2+{y'}^2}{x'y''-x''y'}\right) .</math>

{{Referências}}

[[Categoria:Geometria diferencial]]
[[Categoria:Curvas]]
[[Categoria:Christiaan Huygens]]