Mostrar código-fonte de Fórmula da redução de LSZ

{{Teoria quântica de campos|Topico-c=Ferramentas}}
Em [[teoria quântica de campos]], a '''fórmula da redução de LSZ''' é um método para calcular elementos da [[matriz-S]] (as [[Amplitude de espalhamento|amplitudes de espalhamento]]) das [[Função de correlação|funções de correlação]] [[Ordenação temporal|ordenadas no tempo]] de uma teoria quântica de campos. É um passo da sequência que começa na [[Função de Lagrange|lagrangeana]] de alguma teoria quântica de campos, e leva à previsão de quantidades mensuráveis. Seu nome é uma homenagem a três [[Física|físicos]] [[Alemanha|alemães]], [[Harry Lehmann]], [[Kurt Symanzik]] e [[Wolfhart Zimmermann]].<ref name=FRLSZ>[http://www.ift.unesp.br/users/matheus/files/courses/2012tqc2/aula09.pdf Teoria Quântica de Campos]</ref><ref name=FRLSZ1>Zwanziger, D. '''Scattering for Quantum Electrodynamics I Infrared Renormalization and Asymptotic fields''', Physical Review D, v11 n12 (197506): 3481-3503 {{ISSN|0556-2821}} {{DOI|10.1103/PhysRevD.11.3481}} {{en}}</ref><ref  name=FRLSZ2>Zwanziger, D. '''Scattering for Quantum Electrodynamics II Reduction and Cross-section Formulas''', Physical Review D, v11 n12 (197506): 3504-3530 {{DOI|10.1103/PhysRevD.11.3504}} {{en}}</ref>

Embora a fórmula da redução de LSZ não sirva para [[Partícula composta|partículas compostas]], [[Partícula sem massa|partículas sem massa]], e [[Sóliton topológico|sólitons topológicos]], ela pode ser generalizada para cobrir partículas compostas, pelo uso de [[Campo composto|campos compostos]] que frequentemente são [[Não localidade|não-locais]]. Além disso, o método (ou suas variantes) tornou-se igualmente frutífero em outros campos da física teórica. Por exemplo, em [[física estatística]] eles podem ser usados para obter uma formulação particularmente geral do [[teorema da flutuação-dissipação]].

==Campos Antecessor e Posterior ==

[[Matriz S|Elementos da matriz S]] são pontos de [[Transição de estado|transições]] entre estados ''Antecessor'' e ''Posterior''. Um estado ''Antecessor'' <math>|\{p\}\ \mathrm{Antecessor}\rangle</math> descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento no passado, antes de interagir, se movendo livremente com momento definido <math>\{p\}</math>, e, convencionalmente, um estado ''Posterior'' <math>|\{p\}\ \mathrm{Posterior}\rangle</math> descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento posterior, depois de interação, se movendo livremente com momento definido <math>\{p\}</math>.<ref name=FRLSZ /><ref name=FRLSZ1 /><ref  name=FRLSZ2 />

Os estados ''Antecessor'' e ''Posterior'' são estados numa [[Representação de Heisenberg]] , não devemos descrever as partículas em um determinado momento, mas sim um sistema de partículas em evolução, de modo que o elemento da matriz S descrevem :

:<math>S_{fi}=\langle \{q\}\ \mathrm{Posterior}| \{p\}\ \mathrm{Antecessor}\rangle</math>

é a [[Amplitude de probabilidade]] a um ajuste no sistema de partículas que foram preparados com momento definido <math>\{p\}</math> a interagir e ser medidos mais tarde, como um novo conjunto de partículas com momento <math>\{p\}</math>.

A maneira mais fácil de construir estados ''Antecessor'' e ''Posterior'' é buscar operadores de campo apropriados que forneçam os [[operadores de criação e aniquilação]]. Esses campos são chamados respectivamente de campo ''Antecessor'' e ''Posterior''.

Apenas para fixar idéias, suponha que lidar com um [[Teoria do campo escalar|campo de Klein-Gordon]], que interage de alguma forma que não nos diz respeito:

:<math>\mathcal L= \frac 1 2 \partial_\mu \varphi\partial^\mu \varphi - \frac 1 2 m_0^2 \varphi^2 +\mathcal L_{\mathrm{int}}</math>

<math>\mathcal L_{\mathrm{int}}</math> podem conter uma [[Teoria do campo escalar não-linear|auto interação]]  <math>g \varphi^3</math> ou interação com outros campos, como uma [[interação Yukawa]] <math>g\ \varphi\bar\psi\psi</math>. Deste [[Função de Lagrange|Lagrange]], usando [[Equação de Euler-Lagrange|equações de Euler-Lagrange]], a equação do movimento segue:

:<math>\left(\partial^2+m_0^2\right)\varphi(x)=j_0(x)</math>

Onde, se <math>\mathcal L_{\mathrm{int}}</math> não contém acoplamentos derivados:

:<math>j_0=\frac{\partial\mathcal L_{\mathrm{int}}}{\partial \varphi}</math>

Podemos esperar que o campo ''Antecessor'', se assemelhe ao comportamento assintótico do campo livre como <math> x^0 \to -\infty</math>, fazendo a suposição de que na interação posterior descrito pelo atual <math>j_0</math> é seja desprezível, como partículas estão longe uma da outra. Esta hipótese é chamada de [[hipótese adiabático]]. No entanto auto interação nunca desaparece e, além de muitos outros efeitos, faz resulte na diferença entre a [[massa de Lagrange]] <math>m_0</math> e a massa física <math>m</math> do [[bóson]] <math>\varphi</math>. Este fato deve ser levado em consideração por reescrever a equação de movimento da seguinte forma:

:<math>\left(\partial^2+m^2\right)\varphi(x)=j_0(x)+\left(m^2-m_0^2\right)\varphi(x)=j(x)</math>

Esta equação pode ser resolvida utilizando formalmente a função retardada de Green's para o operador Klein-Gordon  <math>\partial^2+m^2</math>:

:<math>\Delta_{\mathrm{ret}}(x)=i\theta\left(x^0\right)\int \frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^0=\omega_k}\qquad \omega_k=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}</math>

o que nos permite dividir a interação do comportamento assintótico. A solução é:

:<math>\varphi(x)=\sqrt Z \varphi_{\mathrm{Posterior}}(x) +\int \mathrm{d}^4y \Delta_{\mathrm{ret}}(x-y)j(y)</math>

O fator <math>\sqrt Z</math> é um fator normalizado que virá mais tarde à mão, o campo <math>\varphi_{Posterior} </math>  é uma solução da [[Equações homogêneas de primeira ordem|equação homogénea]] associada com a equação do movimento:

:<math>\left(\partial^2+m^2\right) \varphi_{\mathrm{Posterior}}(x)=0,</math>

e, portanto, é um [[campo livre]] que descreve uma onda imperturbável de entrada, enquanto que o último termo da solução dá a [[Teoria da pertubação|perturbação da onda]] devido à interação.

O campo <math>\varphi_{Antecessor} </math> é de fato o campo ''Antecessor'' que buscamos, como ele descrevemos o comportamento assintótico do campo, interagindo como <math> x^0 \to -\infty</math>, embora esta declaração se resumirá mais precisa depois. É um campo escalar livre para ondas planas expandirem-se:

:<math>\varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)=\int \mathrm{d}^3k \left\{f_k(x) a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{k})+f^*_k(x) a^\dagger_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{k})\right\}</math>

onde:

:<math>f_k(x)=\left.\frac{e^{-ik\cdot x}}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}(2\omega_k)^{\frac{1}{2}}}\right|_{k^0=\omega_k}</math>

A função inversa para os coeficientes em termos de campo podem ser facilmente obtidas e apresentadas de forma formal:

:<math>a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{k})=i\int \mathrm{d}^3x f^*_k(x)\overleftrightarrow\partial_0\varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)</math>

Onde:

:<math>{\mathrm{g}}{\overleftrightarrow\partial}_0 f = \mathrm{g}\partial_0 f -f\partial_0 \mathrm{g}.</math>

Os [[coeficientes de Fourier]] satisfazem a álgebra dos [[operadores de criação e aniquilação]]:

:<math>[a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{p}),a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{q})]=0;\quad [a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{p}),a^\dagger_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{q})]=\delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{q});</math>

e podem ser usados para construir o estado ''Antecessor'' de maneira usual:

:<math>\left|k_1,\ldots,k_n\ \mathrm{Antecessor}\right\rangle=\sqrt{2\omega_{k_1}}a_{\mathrm{Antecessor}}^\dagger(\mathbf{k}_1)\ldots \sqrt{2\omega_{k_n}}a_{\mathrm{Antecessor}}^\dagger(\mathbf{k}_n)|0\rangle</math>

A relação entre o campo interagindo e o campo ''Antecessor'' não é muito simples de usar, e na presença anterior da função Green's nos deixa descrever algo como:

:<math>\varphi(x)\sim\sqrt Z\varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)\qquad \mathrm{como}\quad x^0\to-\infty</math>

implicitamente a suposição se faz de que todas as interações tornam-se insignificantes quando as partículas estão longe uma da outra. No entanto, o atual <math>j(x)</math> contém também interações auto como aquelas que produzem o deslocamento de massa de <math>m_0</math> a <math>m</math>. Essas interações não desaparecem como as partículas se afastam, muito cuidado, deve-se estabelecer relações assintóticas entre o campo e interação do campo ''Antecessor''.

A prescrição correta, desenvolvida por Lehmann, Symanzik e Zimmermann, requer dois estados normalizados <math>|\alpha\rangle</math> e <math>|\beta\rangle</math>, e uma solução normalizada <math>f(x)</math> da equação de Klein–Gordon <math>(\partial^2+m^2)f(x)=0</math>. Com estas peças é possível afirmar uma relação assintótica correta e útil, mas muito fraca:

:<math>\lim_{x^0\to-\infty} \int \mathrm{d}^3x \langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow\partial_0\varphi(x)|\beta\rangle= \sqrt Z \int \mathrm{d}^3x \langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow\partial_0\varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)|\beta\rangle</math>

O segundo elemento é de facto independente do tempo que pode ser mostrado pela derivação e lembrando-se que tanto <math>\varphi_{\mathrm{Antecessor}}</math> e <math>f</math> satisfazem a equação de Klein–Gordon.

Com as mudanças apropriadas os mesmos passos podem ser seguidos para construir um campo ''Posterior'' que constrói um estado ''Posterior''. Em particular, a definição do campo ''Posterior'' é:

:<math>\varphi(x)=\sqrt Z \varphi_{\mathrm{Posterior}}(x) +\int \mathrm{d}^4y \Delta_{\mathrm{adv}}(x-y)j(y)</math>

onde <math>\Delta_{\mathrm{adv}}(x-y)</math> é a função avançada de Green do operador de Klein-Gordon. A relação assintótica fraca entre campo ''Posterior'' e interação do campo é:

:<math> \lim_{x^0\to \infty} \int \mathrm{d}^3x \langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow\partial_0\varphi(x)|\beta\rangle= \sqrt Z \int \mathrm{d}^3x
\langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow\partial_0\varphi_{\mathrm{Posterior}}(x)|\beta\rangle </math>

==A formula reduzida para o escalar ==

As relações assintóticas são tudo que necessitamos para obter a '''Fórmula da redução de LSZ'''. Por conveniência futura com o inicio com os elementos da matriz:<ref name=FRLSZ /><ref name=FRLSZ1 /><ref  name=FRLSZ2 />

:<math>\mathcal M=\langle \beta\ \mathrm{Posterior}|\mathrm{T}\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)|\alpha\ p\ \mathrm{Antecessor}\rangle </math>

que é ligeiramente mais geral do que um elemento da matriz S. de fato, <math>\mathcal M</math> é o valor esperado do produto ordenado-tempo de um número de campos <math>\varphi(y_1)\cdots\varphi(y_n)</math> entre um estado ''Posterior'' e  um estado ''Antecessor''. O estado ''Posterior'' pode conter qualquer coisa a partir do vácuo para um número indefinido de partículas, cujos momentos são resumidos pelo índice <math>\beta </math>. O estado ''Antecessor'' contém pelo menos uma partícula de impulso <math>p</math>, e, possivelmente, muitos outros, cujos momentos são resumidos pelo índice <math> \alpha </math>. Se não existem campos no produto ordenado-tempo, então <math>\mathcal M</math> é, obviamente, um elemento da matriz S. A partícula com impulso <math>p</math> pode ser 'extraiu-se' a partir do estado ''Antecessor'' pelo utilização de um operador de criação:

:<math> \mathcal M=\sqrt{2\omega_p}\ \left \langle \beta\ \mathrm{Posterior} \bigg| \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] a_{\mathrm{Antecessor}}^\dagger(\mathbf p) \bigg|\alpha\ \mathrm{Antecessor} \right \rangle </math>

Com o pressuposto de que nenhuma partícula com momento <math>p</math> está presente no estado ''Posterior'', ou seja, estamos ignorando a frente espalhando, podemos escrever:

:<math>\mathcal M=\sqrt{2\omega_p}\ \left \langle \beta\ \mathrm{Posterior} \bigg| \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] a_{\mathrm{Antecessor}}^\dagger (\mathbf p)- a_{\mathrm{Posterior}}^\dagger(\mathbf p) \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] \bigg|\alpha\ \mathrm{Antecessor} \right \rangle</math>

por causa <math>a_{\mathrm{Posterior}}^\dagger</math> agindo sobre a esquerda dá zero. Expressando os operadores de construção em termos dos campos ''Antecessor'' e ''Posterior'', temos:

:<math>\mathcal M=-i\sqrt{2\omega_p}\ \int \mathrm{d}^3x f_p(x)\overleftrightarrow{\partial_0} \left\langle \beta\ \mathrm{Posterior} \bigg| \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] \varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)- \varphi_{\mathrm{Posterior}}(x) \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] \bigg|\alpha\ \mathrm{Antecessor}\right \rangle</math>

Agora podemos usar a condição assintótica a escrever:

:<math>\mathcal M= -i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \left\{ \lim_{x^0\to-\infty} \int \mathrm{d}^3x f_p(x)\overleftrightarrow{\partial_0} \langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] \varphi(x) |\alpha\ \mathrm{Antecessor}\rangle-\lim_{x^0\to\infty} \int \mathrm{d}^3x f_p(x)\overleftrightarrow{\partial_0} \langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \varphi(x) \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] |\alpha\ \mathrm{Antecessor}\rangle \right\}</math>

Então, notamos que o campo <math>\varphi(x)</math> pode ser trazido para o produto solicitado em tempo, uma vez que aparece no lado direito quando <math>x^0\to\infty</math> e sobre a esquerda quando <math>x^0\to\infty</math>:

:<math>\mathcal M=-i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \left(\lim_{x^0\to-\infty}-\lim_{x^0\to \infty}\right) \int \mathrm{d}^3x f_p(x) \overleftrightarrow{\partial_0} \langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \mathrm T\left[\varphi(x)\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] |\alpha\ \mathrm{Antecessor} \rangle </math>

No seguinte, <math>x</math> dependência no produto solicitado em tempo é o que importa, por isso, definir:

:<math>\langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \mathrm T\left[\varphi(x)\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] |\alpha\ \mathrm{Antecessor}\rangle= \eta(x) </math>

É fácil mostrar, através da realização explicitamente a integração vez que:

:<math> \mathcal M=i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \int \mathrm{d}(x^0)\partial_0 \int \mathrm{d}^3x f_p(x)\overleftrightarrow{\partial_0}\eta(x)</math>

de modo que, por derivação de tempo explícito, temos:

:<math>\mathcal M=i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \int \mathrm{d}^4 x\left\{f_p(x)\partial_0^2\eta(x)-\eta(x)\partial_0^2 f_p(x)\right\}</math>

Por sua definição, vemos que <math>f_p(x)</math> é uma solução da equação de Klein-Gordon, o qual pode ser escrito como:

:<math>\partial_0^2f_p(x)=\left(\Delta-m^2\right) f_p(x)</math>

Substituindo na expressão para <math>\mathcal M</math> e integrando por partes, chegamos a:

:<math>\mathcal M=i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \int \mathrm{d}^4 x f_p(x)\left(\partial_0^2-\Delta+m^2\right)\eta(x)</math>

Isto é:

:<math> \mathcal M=\frac{i}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}} \int \mathrm{d}^4 x e^{-ip\cdot x} \left(\Box+m^2\right)\langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \mathrm T\left[\varphi(x)\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] |\alpha\ \mathrm{Antecessor}\rangle</math>

A partir deste resultado, e seguindo o mesmo caminho a outra partícula extrair a partir do estado ''Antecessor'', que conduz à inserção de um outro campo no produto ordenado-tempo. Uma rotina muito semelhante pode extrair as partículas do estado ''Posterior'', e os dois podem ser repetido para conseguir aspirar tanto a direita como a esquerda do produto ordenado do tempo, levando à fórmula geral:

:<math>\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{Posterior}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{Antecessor}\rangle=\int \prod_{i=1}^{m} \left\{\mathrm{d}^4x_i \frac{i e^{-iq_i\cdot x_i} \left(\Box_{x_i}+m^2\right)}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}  \right\} \prod_{j=1}^{n} \left\{ \mathrm{d}^4y_j \frac{i e^{ip_j\cdot y_j}\left(\Box_{y_j}+m^2\right)}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}  \right\} \langle 0|\mathrm{T} \varphi(x_1)\ldots\varphi(x_m)\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)|0\rangle</math>

Qual é a fórmula de redução LSZ de Klein-Gordon para escalares. Ele ganha um aspecto muito mais bonito se for escrito usando a [[transformada de Fourier]] para função de correlação:

:<math> \Gamma \left (p_1,\ldots,p_n \right )=\int \prod_{i=1}^{n} \left\{\mathrm{d}^4x_i e^{i p_i\cdot x_i} \right\} \langle 0|\mathrm{T}\ \varphi(x_1)\ldots\varphi(x_n)|0\rangle</math>

Usando a transformada inversa para substituir na fórmula de redução LSZ, com algum esforço, o seguinte resultado pode ser obtido:

:<math>\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{Posterior}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{Antecessor}\rangle= \prod_{i=1}^{m} \left\{-\frac{i\left(p_i^2-m^2\right)}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}} \right\} \prod_{j=1}^{n} \left\{ -\frac{i\left(q_j^2-m^2\right)}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}  \right\} \Gamma \left (p_1,\ldots,p_n;-q_1,\ldots,-q_m \right )</math>

Deixando de lado fatores de normalização, esta fórmula afirma que os elementos da matriz S são os resíduos dos pólos que surgem da [[transformada de Fourier]]. É a fórmula de LSZ, onde <math>Z \,\!</math> é a constante de [[renormalização]] do [[Campo (física)|campo]].

== Ver também ==

{{div col}}
* [[Física estatística]]
* [[Física matemática]]
* [[Mecânica quântica]]
* [[Estado quântico]]
* [[Estado quântico macroscópico]]
* [[Teoria quântica de campos]]
{{div col end}}

{{Referências}}

== Bibliografia ==

#     Marcelo Otávio Caminha Gomes, '''Teoria Quântica dos Campos''' Vol. 39 , EdUSP ISBN 8-531-40635-8
#     Barton, G. '''Introduction to Dispersion Techniques in Field Theory'''. New York, W.A. Benjamin, 1965. {{OCLC|870782}} {{en}}
#     Gasiorowicz, S. '''Elementary Particle Physics''' , New York : Wiley, 1967. {{OCLC|636225894}} {{en}}
#     Kulish, P.P. e Faddeev, L. D. '''Asymptotic Conditions and Infrared Divergences in Quantum Electrodynamics''', Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers {{DOI|10.1007/BF01066485}} {{ISSN|0040-5779}} Livro {{ISSN|1573-9333}} e-Livro {{en}}
#     Roman, P. '''Introduction to Quantum Field Theory''', New York : J. Wiley, ©1969. {{OCLC|299573264}} {{en}}
#     Schweber, S.S. '''An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory''', Evanston, Ill. : Row, Peterson, 1961. {{OCLC|1478153}} {{en}}

{{esboço-matemática}}
{{Portal3|Física|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Formula Reducao Lsz}}
[[Categoria:Teoria quântica de campos]]