Fórmula da redução de LSZ

Predefinição:Teoria quântica de campos Em teoria quântica de campos, a fórmula da redução de LSZ é um método para calcular elementos da matriz-S (as amplitudes de espalhamento) das funções de correlação ordenadas no tempo de uma teoria quântica de campos. É um passo da sequência que começa na lagrangeana de alguma teoria quântica de campos, e leva à previsão de quantidades mensuráveis. Seu nome é uma homenagem a três físicos alemães, Harry Lehmann, Kurt Symanzik e Wolfhart Zimmermann.^[1]^[2]^[3]

Embora a fórmula da redução de LSZ não sirva para partículas compostas, partículas sem massa, e sólitons topológicos, ela pode ser generalizada para cobrir partículas compostas, pelo uso de campos compostos que frequentemente são não-locais. Além disso, o método (ou suas variantes) tornou-se igualmente frutífero em outros campos da física teórica. Por exemplo, em física estatística eles podem ser usados para obter uma formulação particularmente geral do teorema da flutuação-dissipação.

Campos Antecessor e Posterior

Elementos da matriz S são pontos de transições entre estados Antecessor e Posterior. Um estado Antecessor $| {p} A n t e c e s s o r ⟩$ descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento no passado, antes de interagir, se movendo livremente com momento definido ${p}$ , e, convencionalmente, um estado Posterior $| {p} P o s t e r i o r ⟩$ descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento posterior, depois de interação, se movendo livremente com momento definido ${p}$ .^[1]^[2]^[3]

Os estados Antecessor e Posterior são estados numa Representação de Heisenberg , não devemos descrever as partículas em um determinado momento, mas sim um sistema de partículas em evolução, de modo que o elemento da matriz S descrevem :

S_{f i} = ⟨ {q} P o s t e r i o r | {p} A n t e c e s s o r ⟩

é a Amplitude de probabilidade a um ajuste no sistema de partículas que foram preparados com momento definido ${p}$ a interagir e ser medidos mais tarde, como um novo conjunto de partículas com momento ${p}$ .

A maneira mais fácil de construir estados Antecessor e Posterior é buscar operadores de campo apropriados que forneçam os operadores de criação e aniquilação. Esses campos são chamados respectivamente de campo Antecessor e Posterior.

Apenas para fixar idéias, suponha que lidar com um campo de Klein-Gordon, que interage de alguma forma que não nos diz respeito:

ℒ = \frac{1}{2} \partial_{μ} φ \partial^{μ} φ - \frac{1}{2} m_{0}^{2} φ^{2} + ℒ_{i n t}

$ℒ_{i n t}$ podem conter uma auto interação $g φ^{3}$ ou interação com outros campos, como uma interação Yukawa $g φ \bar{ψ} ψ$ . Deste Lagrange, usando equações de Euler-Lagrange, a equação do movimento segue:

(\partial^{2} + m_{0}^{2}) φ (x) = j_{0} (x)

Onde, se $ℒ_{i n t}$ não contém acoplamentos derivados:

j_{0} = \frac{\partial ℒ_{i n t}}{\partial φ}

Podemos esperar que o campo Antecessor, se assemelhe ao comportamento assintótico do campo livre como $x^{0} \to - \infty$ , fazendo a suposição de que na interação posterior descrito pelo atual $j_{0}$ é seja desprezível, como partículas estão longe uma da outra. Esta hipótese é chamada de hipótese adiabático. No entanto auto interação nunca desaparece e, além de muitos outros efeitos, faz resulte na diferença entre a massa de Lagrange $m_{0}$ e a massa física $m$ do bóson $φ$ . Este fato deve ser levado em consideração por reescrever a equação de movimento da seguinte forma:

(\partial^{2} + m^{2}) φ (x) = j_{0} (x) + (m^{2} - m_{0}^{2}) φ (x) = j (x)

Esta equação pode ser resolvida utilizando formalmente a função retardada de Green's para o operador Klein-Gordon $\partial^{2} + m^{2}$ :

Δ_{r e t} (x) = i θ (x^{0}) \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3} 2 ω_{k}} {(e^{- i k \cdot x} - e^{i k \cdot x})}_{k^{0} = ω_{k}} ω_{k} = \sqrt{𝐤^{2} + m^{2}}

o que nos permite dividir a interação do comportamento assintótico. A solução é:

φ (x) = \sqrt{Z} φ_{P o s t e r i o r} (x) + \int d^{4} y Δ_{r e t} (x - y) j (y)

O fator $\sqrt{Z}$ é um fator normalizado que virá mais tarde à mão, o campo $φ_{P o s t e r i o r}$ é uma solução da equação homogénea associada com a equação do movimento:

(\partial^{2} + m^{2}) φ_{P o s t e r i o r} (x) = 0,

e, portanto, é um campo livre que descreve uma onda imperturbável de entrada, enquanto que o último termo da solução dá a perturbação da onda devido à interação.

O campo $φ_{A n t e c e s s o r}$ é de fato o campo Antecessor que buscamos, como ele descrevemos o comportamento assintótico do campo, interagindo como $x^{0} \to - \infty$ , embora esta declaração se resumirá mais precisa depois. É um campo escalar livre para ondas planas expandirem-se:

φ_{A n t e c e s s o r} (x) = \int d^{3} k {f_{k} (x) a_{A n t e c e s s o r} (𝐤) + f_{k}^{*} (x) a_{A n t e c e s s o r}^{†} (𝐤)}

onde:

f_{k} (x) = {\frac{e^{- i k \cdot x}}{(2 π)^{\frac{3}{2}} (2 ω_{k})^{\frac{1}{2}}} |}_{k^{0} = ω_{k}}

A função inversa para os coeficientes em termos de campo podem ser facilmente obtidas e apresentadas de forma formal:

a_{A n t e c e s s o r} (𝐤) = i \int d^{3} x f_{k}^{*} (x) {\overset{\leftrightarrow}{\partial}}_{0} φ_{A n t e c e s s o r} (x)

Onde:

g {\overset{\leftrightarrow}{\partial}}_{0} f = g \partial_{0} f - f \partial_{0} g .

Os coeficientes de Fourier satisfazem a álgebra dos operadores de criação e aniquilação:

[a_{A n t e c e s s o r} (𝐩), a_{A n t e c e s s o r} (𝐪)] = 0; [a_{A n t e c e s s o r} (𝐩), a_{A n t e c e s s o r}^{†} (𝐪)] = δ^{3} (𝐩 - 𝐪);

e podem ser usados para construir o estado Antecessor de maneira usual:

| k_{1}, \dots, k_{n} A n t e c e s s o r ⟩ = \sqrt{2 ω_{k_{1}}} a_{A n t e c e s s o r}^{†} (𝐤_{1}) \dots \sqrt{2 ω_{k_{n}}} a_{A n t e c e s s o r}^{†} (𝐤_{n}) | 0 ⟩

A relação entre o campo interagindo e o campo Antecessor não é muito simples de usar, e na presença anterior da função Green's nos deixa descrever algo como:

φ (x) \sim \sqrt{Z} φ_{A n t e c e s s o r} (x) c o m o x^{0} \to - \infty

implicitamente a suposição se faz de que todas as interações tornam-se insignificantes quando as partículas estão longe uma da outra. No entanto, o atual $j (x)$ contém também interações auto como aquelas que produzem o deslocamento de massa de $m_{0}$ a $m$ . Essas interações não desaparecem como as partículas se afastam, muito cuidado, deve-se estabelecer relações assintóticas entre o campo e interação do campo Antecessor.

A prescrição correta, desenvolvida por Lehmann, Symanzik e Zimmermann, requer dois estados normalizados $| α ⟩$ e $| β ⟩$ , e uma solução normalizada $f (x)$ da equação de Klein–Gordon $(\partial^{2} + m^{2}) f (x) = 0$ . Com estas peças é possível afirmar uma relação assintótica correta e útil, mas muito fraca:

\lim_{x^{0} \to - \infty} \int d^{3} x ⟨ α | f (x) {\overset{\leftrightarrow}{\partial}}_{0} φ (x) | β ⟩ = \sqrt{Z} \int d^{3} x ⟨ α | f (x) {\overset{\leftrightarrow}{\partial}}_{0} φ_{A n t e c e s s o r} (x) | β ⟩

O segundo elemento é de facto independente do tempo que pode ser mostrado pela derivação e lembrando-se que tanto $φ_{A n t e c e s s o r}$ e $f$ satisfazem a equação de Klein–Gordon.

Com as mudanças apropriadas os mesmos passos podem ser seguidos para construir um campo Posterior que constrói um estado Posterior. Em particular, a definição do campo Posterior é:

φ (x) = \sqrt{Z} φ_{P o s t e r i o r} (x) + \int d^{4} y Δ_{a d v} (x - y) j (y)

onde $Δ_{a d v} (x - y)$ é a função avançada de Green do operador de Klein-Gordon. A relação assintótica fraca entre campo Posterior e interação do campo é:

\lim_{x^{0} \to \infty} \int d^{3} x ⟨ α | f (x) {\overset{\leftrightarrow}{\partial}}_{0} φ (x) | β ⟩ = \sqrt{Z} \int d^{3} x ⟨ α | f (x) {\overset{\leftrightarrow}{\partial}}_{0} φ_{P o s t e r i o r} (x) | β ⟩

A formula reduzida para o escalar

As relações assintóticas são tudo que necessitamos para obter a Fórmula da redução de LSZ. Por conveniência futura com o inicio com os elementos da matriz:^[1]^[2]^[3]

ℳ = ⟨ β P o s t e r i o r | T φ (y_{1}) \dots φ (y_{n}) | α p A n t e c e s s o r ⟩

que é ligeiramente mais geral do que um elemento da matriz S. de fato, $ℳ$ é o valor esperado do produto ordenado-tempo de um número de campos $φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})$ entre um estado Posterior e um estado Antecessor. O estado Posterior pode conter qualquer coisa a partir do vácuo para um número indefinido de partículas, cujos momentos são resumidos pelo índice $β$ . O estado Antecessor contém pelo menos uma partícula de impulso $p$ , e, possivelmente, muitos outros, cujos momentos são resumidos pelo índice $α$ . Se não existem campos no produto ordenado-tempo, então $ℳ$ é, obviamente, um elemento da matriz S. A partícula com impulso $p$ pode ser 'extraiu-se' a partir do estado Antecessor pelo utilização de um operador de criação:

ℳ = \sqrt{2 ω_{p}} ⟨ β P o s t e r i o r | T [φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] a_{A n t e c e s s o r}^{†} (𝐩) | α A n t e c e s s o r ⟩

Com o pressuposto de que nenhuma partícula com momento $p$ está presente no estado Posterior, ou seja, estamos ignorando a frente espalhando, podemos escrever:

ℳ = \sqrt{2 ω_{p}} ⟨ β P o s t e r i o r | T [φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] a_{A n t e c e s s o r}^{†} (𝐩) - a_{P o s t e r i o r}^{†} (𝐩) T [φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] | α A n t e c e s s o r ⟩

por causa $a_{P o s t e r i o r}^{†}$ agindo sobre a esquerda dá zero. Expressando os operadores de construção em termos dos campos Antecessor e Posterior, temos:

ℳ = - i \sqrt{2 ω_{p}} \int d^{3} x f_{p} (x) \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ⟨ β P o s t e r i o r | T [φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] φ_{A n t e c e s s o r} (x) - φ_{P o s t e r i o r} (x) T [φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] | α A n t e c e s s o r ⟩

Agora podemos usar a condição assintótica a escrever:

ℳ = - i \sqrt{\frac{2 ω_{p}}{Z}} {\lim_{x^{0} \to - \infty} \int d^{3} x f_{p} (x) \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ⟨ β P o s t e r i o r | T [φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] φ (x) | α A n t e c e s s o r ⟩ - \lim_{x^{0} \to \infty} \int d^{3} x f_{p} (x) \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ⟨ β P o s t e r i o r | φ (x) T [φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] | α A n t e c e s s o r ⟩}

Então, notamos que o campo $φ (x)$ pode ser trazido para o produto solicitado em tempo, uma vez que aparece no lado direito quando $x^{0} \to \infty$ e sobre a esquerda quando $x^{0} \to \infty$ :

ℳ = - i \sqrt{\frac{2 ω_{p}}{Z}} (\lim_{x^{0} \to - \infty} - \lim_{x^{0} \to \infty}) \int d^{3} x f_{p} (x) \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ⟨ β P o s t e r i o r | T [φ (x) φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] | α A n t e c e s s o r ⟩

No seguinte, $x$ dependência no produto solicitado em tempo é o que importa, por isso, definir:

⟨ β P o s t e r i o r | T [φ (x) φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] | α A n t e c e s s o r ⟩ = η (x)

É fácil mostrar, através da realização explicitamente a integração vez que:

ℳ = i \sqrt{\frac{2 ω_{p}}{Z}} \int d (x^{0}) \partial_{0} \int d^{3} x f_{p} (x) \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} η (x)

de modo que, por derivação de tempo explícito, temos:

ℳ = i \sqrt{\frac{2 ω_{p}}{Z}} \int d^{4} x {f_{p} (x) \partial_{0}^{2} η (x) - η (x) \partial_{0}^{2} f_{p} (x)}

Por sua definição, vemos que $f_{p} (x)$ é uma solução da equação de Klein-Gordon, o qual pode ser escrito como:

\partial_{0}^{2} f_{p} (x) = (Δ - m^{2}) f_{p} (x)

Substituindo na expressão para $ℳ$ e integrando por partes, chegamos a:

ℳ = i \sqrt{\frac{2 ω_{p}}{Z}} \int d^{4} x f_{p} (x) (\partial_{0}^{2} - Δ + m^{2}) η (x)

Isto é:

ℳ = \frac{i}{(2 π)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}} \int d^{4} x e^{- i p \cdot x} (◻ + m^{2}) ⟨ β P o s t e r i o r | T [φ (x) φ (y_{1}) \dots φ (y_{n})] | α A n t e c e s s o r ⟩

A partir deste resultado, e seguindo o mesmo caminho a outra partícula extrair a partir do estado Antecessor, que conduz à inserção de um outro campo no produto ordenado-tempo. Uma rotina muito semelhante pode extrair as partículas do estado Posterior, e os dois podem ser repetido para conseguir aspirar tanto a direita como a esquerda do produto ordenado do tempo, levando à fórmula geral:

⟨ p_{1}, \dots, p_{n} P o s t e r i o r | q_{1}, \dots, q_{m} A n t e c e s s o r ⟩ = \int \prod_{i = 1}^{m} {d^{4} x_{i} \frac{i e^{- i q_{i} \cdot x_{i}} (◻_{x_{i}} + m^{2})}{(2 π)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}} \prod_{j = 1}^{n} {d^{4} y_{j} \frac{i e^{i p_{j} \cdot y_{j}} (◻_{y_{j}} + m^{2})}{(2 π)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}} ⟨ 0 | T φ (x_{1}) \dots φ (x_{m}) φ (y_{1}) \dots φ (y_{n}) | 0 ⟩

Qual é a fórmula de redução LSZ de Klein-Gordon para escalares. Ele ganha um aspecto muito mais bonito se for escrito usando a transformada de Fourier para função de correlação:

Γ (p_{1}, \dots, p_{n}) = \int \prod_{i = 1}^{n} {d^{4} x_{i} e^{i p_{i} \cdot x_{i}}} ⟨ 0 | T φ (x_{1}) \dots φ (x_{n}) | 0 ⟩

Usando a transformada inversa para substituir na fórmula de redução LSZ, com algum esforço, o seguinte resultado pode ser obtido:

⟨ p_{1}, \dots, p_{n} P o s t e r i o r | q_{1}, \dots, q_{m} A n t e c e s s o r ⟩ = \prod_{i = 1}^{m} {- \frac{i (p_{i}^{2} - m^{2})}{(2 π)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}} \prod_{j = 1}^{n} {- \frac{i (q_{j}^{2} - m^{2})}{(2 π)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}} Γ (p_{1}, \dots, p_{n}; - q_{1}, \dots, - q_{m})

Deixando de lado fatores de normalização, esta fórmula afirma que os elementos da matriz S são os resíduos dos pólos que surgem da transformada de Fourier. É a fórmula de LSZ, onde $Z$ é a constante de renormalização do campo.

Ver também

Predefinição:Div col

Predefinição:Div col end

Predefinição:Referências

Bibliografia

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[FRLSZ1-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Zwanziger, D. Scattering for Quantum Electrodynamics I Infrared Renormalization and Asymptotic fields, Physical Review D, v11 n12 (197506): 3481-3503 Predefinição:ISSN Predefinição:DOI Predefinição:En

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Fórmula da redução de LSZ

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Campos Antecessor e Posterior

A formula reduzida para o escalar

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